А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Это отображение целиком определяется заданием решетки L на комплексной плоскости. В даннойлекции мы подробно изучим свойства этого замечательного отображения. Начнем с точных определений, относящихся к тору T и кубической кривой C.22.1. Определения тора и кубической кривой в C2 . Каждой решеткеL на комплексной плоскости C отвечает комплексный торT = TL := C/L ,являющийся одномерным комплексным многообразием.
По определению, Tесть множество классов эквивалентности точек комплексной плоскости C относительно отношенияz1 ∼ z2 ⇐⇒ z1 − z2 ∈ L .56Локальная карта в малой окрестности произвольной точки ζ ∈ T , с помощьюкоторой вводится локальная координата в точке ζ (см. п.
12.5), задается тождественным отображением этой окрестности на себя. Проекция π : C → T , сопоставляющая каждой точке плоскости отвечающий ей класс эквивалентностив T = C/L, есть неразветвленное голоморфное накрытие в смысле п. 12.6.Тор T = TL является естественной областью определения для эллиптическихфункций с решеткой периодов L.
Более точно, мероморфная функция f : C → Cэллиптична с решеткой периодов L ⇐⇒ существует голоморфное отображение Φ : TL → C такое, что f = Φ ◦ π:Сопоставим теперь решетке L ⊂ C комплексную кубическую кривуюгдеC = CL := {(u, v) ∈ C2 : v 2 = 4u3 − g2 u − g3 } ,g2 = g2 (L) = 60G4 (L) ,g3 = g3 (L) = 140G6 (L) .Заметим, что вместе с каждой точкой (u, v) кривая C содержит и симметричную точку (u, −v).Чтобы задать структуру одномерного комплексного многообразия на C =CL , рассмотрим полную аналитическую функциюpv = P (u) на C \ {e1 , e2 , e3 } ,гдеP (u) := 4u3 − g2 u − g3 = 4(u − e1 )(u − e2 )(u − e3 )(см. формулы (4), (5) из п. 21.3). В окрестности любой точки u0 ∈ C\{e1 , e2 , e3 }указанная функция распадается (по теореме о монодромии) на две голоморфныхветви, так что пересечениеC ∩ {(u, v) ∈ C2 : |u − u0 | < ε}является объединением графиков этих ветвей.
Поэтому в окрестности каждойиз двух точек (u0 , ±v0 ) ∈ C, лежащих над точкой u0 ∈ C\{e1 , e2 , e3 }, множествоC однозначно (и непрерывно) проектируется на плоскость переменной u. Этупроекцию мы и выбираем в качестве локальной карты в точках (u0 , ±v0 ) ∈ C.Рассмотрим теперь оставшиеся точки C (которые проектируются в точки u0 = e1 , e2 , e3 ).
Заметим, прежде всего, что для любой решетки L числаe1 , e2 , e3 попарно различны. Действительно, допустим, напротив, что одно иззначений ej совпадает с другим значением ek . Тогда функция ℘(z) будет принимать значение ej = ek в фундаментальном параллелограмме не менее 4 разс учетом кратностей, тогда как ее порядок равен 2. Противоречие.Следовательно, P ′ (ej ) 6= 0, т.е. функция v = P (u) обратима в окрестности точки u = ej (см. п. 14.2), а значит множество C в окрестности каждойиз трех оставшихся точек (ej , 0) ∈ C (j = 1, 2, 3) однозначно проектируетсяна плоскость переменной v. Эта проекция задает локальные карты в указанных точках.
(С помощью аналогичного рассуждения можно было бы избежатьссылки на теорему о монодромии в предыдущем абзаце).Проверку того, что построенная система локальных карт действительно задает на CL структуру одномерного комплексного многообразия (т.е. удовлетворяет условию определения 1 из п. 12.5), оставляем читателю в качестве упражнения.57Задача. Покажите, что ни один из указанных приемов не позволяет ввести на подмножествах {v 2 = u3 } и {v 2 = u2 (u − 1)} пространства C2 структуру одномерногокомплексного многообразия вблизи точки (0, 0).22.2. Параметризация кубической кривой с помощью функцииВейерштрасса. Построенные в предыдущем пункте локальные карты на кривой CL задают на ней локальную параметризацию (комплексным параметром, изменяющимся на комплексной плоскости).
Однако, отображение z 7→(℘(z), ℘′ (z)) позволяет ввести на CL и глобальную параметризацию. Точнее,справедливо следующееПредложение. Отображениеγ : TL \ {0} −→ C2 ,задаваемое формулойz 7−→ γ(z) = (℘(z), ℘′ (z)) ,является биголоморфизмом проколотого тора TL \ {0} на кубическую кривую CL .Доказательство. То, что образ отображения γ содержится в CL , вытекает из формулы (5) в п. 21.3. С другой стороны, голоморфность γ, рассматриваемого как отображение TL \ {0} → CL , следует из описания локальныхкарт в п.
22.1. Поскольку биективное голоморфное отображение одномерныхкомплексных многообразий является биголоморфизмом (это доказывается также, как для плоских областей в замечании 3 из п. 14.2), осталось только показать, что отображение γ : TL \ {0} → CL биективно. Иными словами, длякаждой точки (u0 , v0 ) ∈ CL существует единственная точка z ∈ TL \ {0} такая,чтоγ(z) = (u0 , v0 ) ⇐⇒ ℘(z) = u0 , ℘′ (z) = v0 .Пусть сначала v0 = 0, т.е. u0 есть один из трех корней e1 , e2 , e3 уравненияP (u) = 0.
Значение u = ej принимается функцией u = ℘(z) в единственнойточке z = τj /2 фундаментального параллелограмма Π, но с кратностью 2,поэтому ℘′ (τj /2) = 0. Следовательно, z = τj /2 есть единственное решениеуравнения γ(z) = (ej , 0) в параллелограмме Π (или, эквивалентно, на торе TL ).Пусть теперь v0 6= 0, т.е. u0 ∈ C \ {e1 , e2 , e3 }. Тогда значение u = u0принимается функцией u = ℘(z) ровно в двух различных точках z1 , z2 параллелограмма Π (оба раза с кратностью 1), причемz2 ≡ −z1mod Lи℘′ (z2 ) = −℘′ (z1 ) 6= 0 .Тем самым,u0 = ℘(z1 ) = ℘(z2 ) ,22v02 = 4u30 − g2 u0 − g3 = [℘′ (z1 )] = [℘′ (z2 )] .Таким образом, каждая из точек (u0 , ±v0 ) кривой CL , лежащих над точкой u0плоскости u, имеет единственный прообраз (а именно, z1 или z2 ) при отображении γ.58Замечание 1. Можно продолжить построенное отображение γ в точку z =0, если рассмотреть замыкание C кубической кривой C ⊂ C2 в комплексномпроективном пространстве CP 2 ⊃ C2 .
Точке z = 0 будет отвечать при этом(единственная) точка c0 ∈ C, лежащая на бесконечно удаленной комплекснойпрямой L∞ ⊂ CP 2 . Отметим без доказательства, что проекция C на L∞ однозначна в окрестности точки c0 (так как C и L∞ касаются друг друга в точке c0как гладкие 2-мерные подмногообразия CP 2 ) и может быть взята за локальнуюкарту на C в окрестности этой точки. Продолженное отображение γ являетсябиголоморфизмом тора TL на кубическую кривую C L ⊂ CP 2 .Замечание 2. Отметим еще, что метод изучения кубических кривых вида{v 2 = 4u3 − γ2 u − γ3 } с помощью функции Вейерштрасса применим к любымкубическим кривым. Точнее, для любых γ2 , γ3 ∈ C, удовлетворяющих условиюg23 − 27γ32 6= 0 (которое означает, что все три корня полинома P (u) = 4u3 −γ2 u − γ3 различны), найдется решетка L, для которой g2 (L) = γ2 , g3 (L) = γ3 .Задача.
Пусть 0 < k < 1. Определим числа K, K ′ > 0 также, как в утверждении2 из п. 19.1, и рассмотрим решетку L := 4KZ+2iK ′ Z. Опишите структуру одномерногокомплексного многообразия на кривой 4-ой степениCL′ := {(u, v) ∈ C2 : v 2 = (1 − u2 )(1 − k 2 u2 )}и покажите, что отображение z 7→ (sn(z), sn′ (z)) задает биголоморфизм тора TL с′.двумя выколотыми точками (полюсами sn(z)) на кривую CL[Указание. См. уравнение (2) из п. 20.1]22.3.
Сложение точек на кубической кривой. Сложение чисел на комплексной плоскости порождает операцию сложения точек на торе, а она с помощью отображения γ индуцирует операцию сложения точек кубической кривой.Найдем явную формулу для этой операции.Пусть точки P1 , P2 кубической кривой C отвечают точкам z1 , z2 фундаментального параллелограмма Π, т.е.P1 = (℘(z1 ), ℘′ (z1 )) ,P2 = (℘(z2 ), ℘′ (z2 )) .Проведем через них комплексную прямую v = au + b, так что℘′ (zj ) = a℘(zj ) + b приj = 1, 2 .Эллиптическая функция ℘′ (z) − a℘(z) − b имеет в фундаментальном параллелограмме Π единственный полюс z = 0 кратности 3.
Поэтому (см. свойство 4из п. 20.3) уравнение℘′ (z) − a℘(z) − b = 0имеет в Π ровно 3 корня (с учетом кратности), а именно, z1 , z2 и еще одинкорень z3 (который может совпадать с z1 или z2 ). Пользуясь свойством 5из п. 20.3 и тем, что сумма полюсов функции ℘′ (z) − a℘(z) − b равна нулю,получаем, чтоz1 + z2 + z3 ≡ 0 mod L ,т.е.59z3 ≡ −(z1 + z2 ) mod L .Следовательно, третья точка пересечения прямой v = au + b с кубической кривой C имеет видP3′ = (℘(z3 ), ℘′ (z3 )) = (℘(−z1 − z2 ), ℘′ (−z1 − z2 )) = (℘(z1 + z2 ), −℘′ (z1 + z2 )) .Иными словами, точка P3 := (℘(z1 +z2 ), ℘′ (z1 +z2 )), отвечающая сумме z1 +z2 ,“симметрична” точке пересечения P3′ относительно оси u.Утверждение. Значение ℘(z1 + z2 ) выражается через ℘(z1 ) и ℘(z2 ) алгебраической формулой (см.
формулу (1) ниже).Доказательство. Предположим, что все три точки z1 , z2 , z1 + z2 ∈ TL различны и ни одна из них не совпадает с 0. Тогда, согласно предыдущему пункту,значенияu1 = ℘(z1 ) , u2 = ℘(z2 ) , u3 = ℘(z1 + z2 )являются тремя (различными) корнями уравнения(au + b)2 = 4u3 − g2 u − g3 .Выражая коэффициент при u2 в этом уравнении через его корни по теоремеВиета, получаем, чтоa2= ℘(z1 ) + ℘(z2 ) + ℘(z1 + z2 ) .4При этом параметр a находится из условия℘′ (z1 ) − ℘′ (z2 )℘′ (z1 ) = a℘(z1 ) + b.=⇒a=℘′ (z2 ) = a℘(z2 ) + b℘(z1 ) − ℘(z2 )Отсюда1℘(z1 + z2 ) = −℘(z1 ) − ℘(z2 ) +4℘′ (z1 ) − ℘′ (z2 )℘(z1 ) − ℘(z2 )2,(1)т.е.
℘(z1 + z2 ) является рациональной функцией от ℘(zj ), ℘′ (zj ), j = 1, 2. Ноp℘′ (z) = 4℘3 (z) − g2 ℘(z) − g3 ,так что ℘′ (zj ) выражается через ℘(zj ) алгебраической формулой.Замечание. Алгебраическая формула, выражающая ℘(z1 + z2 ) через ℘(z1 )и ℘(z2 ), получена нами в предположении, что z1 6≡ z2 mod L.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
