А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Фигура(”звезда”), полученная объединением ∆l с прилегающими к нему треугольниками ∆l1 , ∆l2 , ∆l3 (включая их общие стороны), гомеоморфно отображаетсяµ на C \ {0, 1} (заметим, что значения 0, 1 принимаются функцией µ только ввершинах гиперболических треугольников, а все они лежат на ∂U ).Существование окрестности Vw для точек w ∈ C \ {0, 1}. Пусть, сначала, w ∈ C \ R = D+ ∪ D− . Предположим, для определенности, что w ∈ D+ .В этом случае существование окрестности Vw вытекает из того, что прообразµ−1 (w) принадлежит объединению гиперболических треугольников ∆lk , которые попарно не пересекаются между собой, и ограничение µ на каждый из этихтреугольников конформно отображает его на D+ (случай w ∈ D− рассматривается аналогично).

Пусть, далее, точка w принадлежит w ∈ R \ {0, 1} =(0, 1) ∪ (1, +∞) ∪ (−∞, 0). Для определенности предположим, что w ∈ (0, 1).В этом случае существование окрестности Vw вытекает из того, что прообраз µ−1 (w) принадлежит объединению гиперболических четырехугольниковl,mk,k+1 , которые также попарно не пересекаются, и ограничение µ на общуюlmсторону составляющих l,mk,k+1 гиперболических треугольников ∆k и ∆k+1 гомеоморфно отображает ее на интервал (0, 1) (случаи w ∈ (1, +∞) и w ∈ (−∞, 0)рассматриваются аналогично).Таким образом, µ задает неразветвленное голоморфное накрытие Ω → C \{0, 1}, откуда вытекает следующая теорема, которая будет использована наминиже при доказательстве теоремы Пикара.Теорема.

Существует неразветвленное голоморфное накрытиеπ : U −→ C \ {0, 1} ,где U = {|z| < 1} – единичный круг, а C\{0, 1} – плоскость без точек z = 0, 1.64Задача. Проверьте следующее утверждение, использованное при построении модулярной функции: два гиперболических треугольника имеют непустое пересечение тогдаи только тогда, когда их вершины перемежаются.23.2. Теорема Пикара.Теорема Пикара. Целая функция, отличная от постоянной, принимаетвсе значения из C за исключением, быть может, одного.Доказательство. Допустим, напротив, что целая функция f не принимает значений двух значений a, b ∈ C.

Заменяя f (z) на целую функциюg(z) :=f (z) − f (a),b−aможно считать, что a = 0, b = 1.Рассмотрим неразветвленное голоморфное накрытие π : U → C \ {0, 1} изпредыдущей теоремы. Как было отмечено в п. 12.6 (примените конструкциюиз замечания в п. 12.6 к Φ ≡ Id), каждый элемент обратной функции π −1 допускает продолжение вдоль любого непрерывного пути в C \ {0, 1}. Так какфункция g не принимает значений 0, 1, то в качестве такого пути можно взятьлюбой путь вида g ◦ γ, где γ : [0, 1] → C – произвольный путь в C. Поэтомукаждый элемент функции π −1 ◦ g допускает продолжение вдоль любого путив C и по теореме о монодромии (п.

10.6) это продолжение задает некоторую(однозначную) голоморфную функцию F ∈ O(C). По построению, все значения F лежат в единичном круге U , откуда следует, по теореме Лиувилля, чтоF ≡ const. Так как g = F ◦ π всюду на C, то функция g также являетсяконстантой вопреки условию теоремы.Замечание. Принципиальным моментом доказательства является утверждение о том, что каждый элемент функции π −1 допускает продолжение вдольлюбого непрерывного пути в C \ {0, 1} (оно необходимо для применения теоремы о монодромии). Это утверждение вытекает из теоремы о поднятии путейдля голоморфных неразветвленных накрытий из п. 12.6.

Покажем, что указанное свойство аналитического продолжения, вообще говоря, не имеет местадля голоморфных, сюръективных и локально обратимых отображений π, неявляющихся накрытиями.Рассмотрим функциюZzf (z) =g(ζ)dζ ,0где g – произвольная непостоянная целая функция, которая является четной ине имеет нулей (в качестве g можно взять, например, функцию g(z) = exp(z 2 )).Покажем, что отображение f : C → C голоморфно, сюръективно и локальнообратимо, но некоторые элементы f −1 не допускают продолжения вдольнекоторых путей в C.Действительно, из односвязности C вытекает, что интеграл в определенииf (z) не зависит от пути и задает целую функцию f : C → C.

Так как производная g := f ′ не обращается в нуль на C, то f локально обратимо (см. теоремуиз п. 14.2). Покажем далее, что отображение f : C → C сюръективно. Действительно, функция f нечетна, поскольку ее производная g, по условию, четна.65Поэтому, если бы f не принимала какого-то значения a 6= 0, то она не принимала бы и значения −a, откуда по теореме Пикара вытекало бы, что f ≡ const,т.е. g ≡ 0, что невозможно по условию.

Следовательно, f принимает все значения a 6= 0, а значение a = 0 (опять же в силу нечетности) принимается еюпри z = 0. Таким образом, отображение f : C → C сюръективно.Если бы все элементы f −1 допускали продолжение вдоль произвольных путей в C, то полученная полная аналитическая функция на C была бы однозначной по теореме о монодромии. Отсюда вытекало бы, что f является автоморфизмом комплексной плоскости C на себя, т.е.

линейной функцией (см. п. 17.1),что противоречит условию g 6≡ const.Задачи.(1) Покажите, что всякая голоморфная в C \ {0} функция, отличная от постоянной,принимает все значения из C за исключением, быть может, одного.(2) Покажите, что функция f (z) = zez принимает все значения из C.(3) Покажите, что мероморфная в C функция, отличная от постоянной, принимаетвсе значения из C за исключением, быть может, двух.(4) Целые функции f (z) = sin z и g(z) = cos z удовлетворяют уравнению f 2 +g 2 ≡ 1. Существуют ли непостоянные целые функции f , g , удовлетворяющиеуравнению f 3 + g 3 ≡ 1?66.

Характеристики

Список файлов лекций