А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЛЕКЦИИ ПО КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУА.В.Домрин, А.Г.СергеевII-Е ПОЛУГОДИЕЛекция 13. Принцип аргумента13.2.Принцип аргумента13.3.Теорема РушеЛекция 14. Принцип сохранения области и обращение голоморфных функций14.1.Принцип сохранения области14.2.Локальное обращение голоморфных функций14.3.Теорема ГурвицаЛекция 15. Принцип максимума модуля и его следствия15.1.Принцип максимума модуля15.2.Лемма ШварцаЛекция 16. Принцип компактности. Последовательности голоморфных функций16.1.Принцип компактности16.2.Теорема Монтеля16.3.Непрерывные функционалы на семействах голоморфных функцийЛекция 17. Теорема Римана17.1.Автоморфизмы основных областей17.2.Теорема РиманаЛекция 18.

Соответствие границ и принцип симметрии18.1.Принцип соответствия границ18.2.Принцип симметрииЛекция 19. Конформное отображение полуплоскости на многоугольник19.1.Конформное отображение полуплоскости на прямоугольник19.2.Интеграл Кристоффеля–ШварцаЛекция 20.

Эллиптические функции20.1.Эллиптический синус20.2.Периоды мероморфных функций20.3.Определение и свойства эллиптических функцийЛекция 21. Функция ВейерштрассаTypeset by AMS-TEX121.1.Определение и основные свойства21.2.Описание эллиптических функций с заданной решеткой периодов21.3.Дифференциальное уравнение для функции ВейерштрассаЛекция 22. Реализация тора в виде кубической кривой в C222.1.Определения тора и кубической кривой в C222.2.Параметризация кубической кривой с помощью функции Вейерштрасса22.3.Сложение точек на кубической кривойЛекция 23. Модулярная функция и теорема Пикара23.1.Построение модулярной функции23.2.Теорема Пикара2ВТОРОЕ ПОЛУГОДИЕЛекция 13. Принцип аргумента13.1. Логарифмический вычет. Пусть функция f голоморфна в проколотой окрестности V = {0 < |z − a| < r} точки a и не имеет нулей в V .

Темсамым, точка a является изолированной особенностью как для функции f , таки для функции 1/f .Определение. Логарифмическим вычетом функции f в точке a называется вычет ее логарифмической производной f ′ (z)/f (z) в этой точке. Инымисловами, логарифмический вычет f в точке a равенresaf ′ (z)1=f (z)2πiZ|z−a|=ρf ′ (z)dzf (z)для любого0<ρ<r .Вычислим логарифмический вычет мероморфной функции в ее нуле и полюсе.Пример 1. Пусть a – нуль порядка n функции f , голоморфной в окрестности a. Тогда в некоторой окрестности U точки a справедливо разложениеf (z) = (z − a)n ϕ(z) ,где ϕ голоморфна в U и не имеет нулей в U .

Следовательно,f ′ (z)n(z − a)n−1 ϕ(z) + (z − a)n ϕ′ (z)1 nϕ(z) + (z − a)ϕ′ (z)ψ(z)==·=:,f (z)(z − a)n ϕ(z)z−aϕ(z)z−aгде функция ψ голоморфна в U и ψ(a) = n 6= 0. Поэтому логарифмическийвычет f в нуле порядка n равен n.Пример 2. Пусть a – полюс порядка p функции f . Тогда функция g(z) :=1/f (z) имеет при z = a нуль порядка p. Поскольку f ′ /f = −g ′ /g, получаем,что логарифмический вычет f в полюсе порядка p равен −p.Приведенные примеры подсказывают, что с помощью логарифмического вычета мероморфной функции можно подсчитывать число ее нулей и полюсов сучетом их кратности. Это подтверждается нижеследующей теоремой.Теорема.

Пусть D ⊂ C – область с простой границей и f (z) – функция,которая мероморфна в области G ⊃ D и не имеет нулей и полюсов на ∂D.Обозначим через N (f, D) и P (f, D) соответственно число нулей и полюсовf в области D (с учетом их кратностей). Тогда1N (f, D) − P (f, D) =2πiZ∂Df′dz .f(1)Доказательство. Поскольку функция f мероморфна в окрестности замыкания D области D, в этой области имеется лишь конечное число нулей a1 , . . . ,3ak и полюсов b1 , . . . , bl функции f (см. п.

7.11). Функция g := f ′ /f голоморфнавсюду в окрестности замыкания D, за исключением точек {a1 , . . . , ak , b1 , . . . , bl }.Поэтому к ней применима теорема Коши о вычетах:12πiZk∂DlXf′f′ Xf′dz =+.resairesbjfffi=1j=1Согласно вычислениям, проведенным в примерах 1 и 2, правая часть равнаN (f, D) − P (f, D), что и требовалось доказать.Задача. Примеры 1 и 2 показывают, что логарифмическая производная f ′ /f функции f имеет в точке a полюс 1-го порядка всякий раз, когда сама функция f имеет нульили полюс в этой точке. Докажите обратное: если f голоморфна в проколотой окрестности точки a и f ′ /f имеет в точке a полюс 1-го порядка, то f имеет в этой точке нульили полюс.13.2. Принцип аргумента.

Пусть γ : I → C – непрерывный путь накомплексной плоскости, параметризованный единичным отрезком I = [0, 1] иf : γ(I) → C \ {0} – функция, непрерывная вдоль γ.Тогда найдется непрерывная функция θ : I → R такая, чтоf (γ(t)) = |f (γ(t))|eiθ(t)для всехt∈I .(2)Такая функция θ определяется не единственным образом, но любые две подобные функции θ1 , θ2 отличаются на константу 2πn для некоторого n ∈ Z.(Доказательство этих утверждений повторяет рассуждения из п.

4.5 и оставляется читателю в качестве упражнения). Отсюда следует, в частности, чтовещественное число θ(1) − θ(0) не зависит от выбора функции θ. Оно называется приращением аргумента функции f вдоль пути γ и обозначается через∆γ arg f .Замечание 1. Приращение аргумента ∆γ arg f не зависит от выбора параметризации пути γ. Точнее, если заменить путь γ на путь γ ◦ Φ, где Φ : I → I– любое биективное монотонно возрастающее непрерывное отображение, то:∆γ◦Φ arg f = ∆γ arg f(почему?) .Тем самым, приращение аргумента функции f корректно определено не тольковдоль пути γ, но и вдоль задаваемой им ориентированной кривой.Заметим, что для монотонно убывающего биективного отображения Φ : I →I правая и левая части этого равенства отличаются знаком:∆γ◦Φ arg f = −∆γ arg f .Замечание 2. Рассмотрим отображение w = f (z), задаваемое функцией fи обозначим через Γ путь Γ = f ◦ γ.

Заметим, что функция (см. формулу (2))F (t) := ln |f (γ(t))| + iθ(t)4является первообразной функции g(w) := 1/w вдоль Γ (проверьте это!). Поэтому, применяя формулу Ньютона–Лейбница, получим:ZZdwg(w) dw == F (1) − F (0) ,Γf ◦γ wоткудаZf ◦γdw|f (γ(1))|= ln+ i (θ(1) − θ(0)) .w|f (γ(0))|(3)Из этой формулы можно вывести два полезных следствия. Во-первых, взявот обеих частей последнего равенства мнимую часть, получим, что:ZdwIm= ∆γ arg ff ◦γ wдля произвольного пути γ.

Во-вторых, для любого замкнутого непрерывногопути γ : I → C и любой непрерывной функции f : γ(I) → C \ {0} формулу (3)можно переписать в видеZdw= i∆γ arg f .(4)f ◦γ wПринцип аргумента. Пусть D ⊂ C – область с простой границей, причем ∂D связна и, следовательно, является кусочно-гладкой жордановой кривой. (Напомним, что ∂D ориентирована так, что область D остается слева при обходе вдоль ∂D).

Пусть функция f (z) мероморфна в области G ⊃ Dи не имеет нулей и полюсов на ∂D. ТогдаN (f, D) − P (f, D) =1∆∂D arg f .2π(5)Доказательство. Параметризуем ∂D отображением γ : I → C. Пользуясь формулой (1) из п. 13.1 и определением интеграла, запишем левую частьформулы (5) в видеZf ′ (z)1dz =N (f, D) − P (f, D) =2πi ∂D f (z)Z 1 ′Z11f (γ(t)) ′dwγ (t) dt =.2πi 0 f (γ(t))2πi f ◦γ wНоZf ◦γdw= i∆∂D arg fwсогласно формуле (4), откуда и следует доказываемая формула (5).Замечание.

Геометрически, правая часть формулы (5), равнаяarg f , совпадает с числом оборотов, совершаемых точкой f (z) вокруг начала координат, когда переменная z (однократно) обегает ∂D против часовойстрелки. Пользуясь этой интерпретацией, удается иногда вычислить приращение аргумента ∆∂D arg f , глядя на изображение f (γ). К сожалению, такоеслучается редко, чаще прибегают к доказываемой в следующем параграфе теореме Руше.1∆2π ∂D513.3. Теорема Руше. Эта теорема позволяет посчитывать число нулейголоморфной функции в области, отбрасывая ”малые” слагаемые.Теорема Руше.

Пусть, как и в принципе аргумента, D ⊂ C есть область, ограниченная кусочно-гладкой жордановой кривой. Предположим, чтофункции f и g голоморфны в области G ⊃ D, причем|f (z)| > |g(z)|при всех z ∈ ∂D .Тогда функции f и f + g имеют в области D одинаковое число нулей.Доказательство. Заметим, что функции f и f + g не обращаются в нульна ∂D, поскольку|f (z)| > |g(z)| для всех z ∈ ∂D .Поэтому к функции f + g применим принцип аргумента, согласно которомуN (f + g, D) =1∆∂D arg(f + g) .2π(6)Воспользуемся тем, что приращение аргумента произведения двух непрерывных функций вдоль пути равно сумме приращений их аргументов (это свойствовытекает непосредственно из определения приращения аргумента). Тогда gg= ∆∂D arg f + ∆∂D arg 1 +.∆∂D arg(f + g) = ∆∂D arg f 1 +ffПокажем, чтоg∆∂D arg 1 +f=0.(7)Неформально, это равенство вытекает из того, что образ ∂D при отображении g(z) w(z) = 1 + fg(z)целикомлежитвкруге{w:|w−1|<1}(поскольку(z)f (z) при z ∈ ∂D) и потому точка w(z) не может сделать ни одного полного оборотавокруг начала координат при обходе z вдоль ∂D.Формальное доказательство можно провести так.

По формуле (4)1∆∂D arg w(z) =iZf (∂D)dw.w(8)Функция 1/w имеет первообразную в круге {|w−1| < 1} (ее можно указать явно:F (w) = ln |w| + i arg w, где −π/2 < arg w < π/2, — или же просто сослатьсяна предложение 2 из п. 4.4). Поэтому правая часть формулы (8) равна нулю поформуле Ньютона–Лейбница.С учетом равенства (7) получаем из формулы (6), снова пользуясь принципом аргумента:1N (f + g, D) =∆∂D arg f = N (f, D) ,2πчто и требовалось доказать.6Замечание.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций