А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 4
Текст из файла (страница 4)
|f (z)| 6 |z|.Если |f (z0 )| = |z0 | (и тем самым |g(z0 )| = 1) для некоторого z0 ∈ U \ {0},то функция |g| достигает локального максимума во внутренней точке z0 ∈ U .Тогда, по теореме 1, g тождественно равна константе, по модулю равной 1.Замечание. Хотя доказанное утверждение и называется леммой Шварца,оно было впервые сформулировано и доказано в указанном виде Каратеодорив 1912 г. Сам Шварц в 1869 г. доказал следующее утверждение: если f ∈O(|z| 6 1) и|f (z)| 6 δ при |z| 6 1(при этом не предполагается, что f (0) = 0), то |f ′ (0)| 6 δ.Задачи.(1) Выведите результат Шварца из неравенств Коши.(2) Докажите следующее обобщение леммы Шварца. Положим U = {|z| < 1} иρ(z1 , z2 ) :=|z1 − z2 |.|1 − z1 z 2 |Предположим, что функция f ∈ O(U ) удовлетворяет неравенству|f (z)| 6 1 при z ∈ U .16Тогда для любых z1 , z2 ∈ U справедлива оценкаρ(f (z1 ), f (z2 )) 6 ρ(z1 , z2 ) .При этом, если для каких-то z1 6= z2 в этой оценке достигается равенство, тофункция f дробно-линейна.
(Обычная лемма Шварца получается отсюда приz2 = 0, f (z2 ) = 0).(3) Пусть U = {|z| < 1} и функция f ∈ O(U ) удовлетворяет оценке|f (z)| 6 1 при z ∈ U .Предположим, что уравнение f (z) = z имеет два различных решения z1 6= z2в круге U . Покажите, что f (z) ≡ z .Лекция 16. Принцип компактности.Последовательности голоморфных функций16.1. Принцип компактности.Определение.
Семейство функций F = {f }, заданных в области D, называется локально равномерно ограниченным, если для любого компакта K ⋐D найдется константа A = A(K) такая, что|f (z)| 6 Aдля всех z ∈ Kи всех f ∈ F .Семейство F = {f } называется локально равностепенно непрерывным, еслидля любого компакта K ⋐ D и любого ε > 0 найдется δ = δ(K, ε) такое, что|f (z ′ ) − f (z ′′ )| < εдля всехz ′ , z ′′ ∈ K с |z ′ − z ′′ | < δи всех f ∈ F .Теорема 1. Если семейство функций F = {f }, голоморфных в областиD, локально равномерно ограничено, то оно и локально равностепенно непрерывно.Доказательство.
Пусть K ⋐ D. Положимρ :=11dist(K, ∂D) = inf{|z − ζ| : z ∈ K, ζ ∈ ∂D}22(если D = C, то за ρ можно взять любое положительное число). Рассмотримρ-раздутие компакта K, определяемое какKρ := {z ∈ C : dist(z, K) 6 ρ} .Очевидно, Kρ есть снова компакт в D. Поэтому по условию теоремы найдетсяконстанта A = A(Kρ ) такая, что|f (z)| 6 Aдля всех z ∈ Kρ17и всех f ∈ F .Пусть z0 – произвольная точка из K. Тогда кругBρ (z0 ) := {|z − z0 | < ρ}компактно содержится в Kρ и для всех z ∈ Bρ (z0 ) и всех f ∈ F справедливонеравенство|f (z) − f (z0 )| 6 |f (z)| + |f (z0 )| 6 2A .Рассмотрим отображение круга Bρ (z0 ) на единичный круг U = {|ζ| < 1},задаваемое формулойz − z0ζ : z 7−→ ζ(z) =,ρи введем функциюg(ζ) :=f (z0 + ρζ) − f (z0 ).2AОна голоморфна в круге U и удовлетворяет условию леммы Шварца:g(0) = 0и|g(ζ)| 6 1 .Поэтому по этой лемме|g(ζ)| 6 |ζ| при всех ζ ∈ U ,откуда|f (z) − f (z0 )| 62A|z − z0 | для всех z ∈ Bρ (z0 ) .ρ(1)Положим теперь для любых ε > 0 и K ⋐ Dδ = δ(ε, K) = minn ερ2A,ρo.Тогда, ввиду произвольности z0 ∈ K, из неравенства (1) вытекает, что|f (z ′ ) − f (z ′′ )| < ε для всех f ∈ Fи всехz ′ , z ′′ ∈ Kс |z ′ − z ′′ | < δ ,т.е.
семейство F локально равностепенно непрерывно.16.2. Теорема Монтеля.Определение. Семейство функций F = {f }, голоморфных в области D,называется компактным в D, если из любой последовательности {fn } функций этого семейства можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся втопологии O(D).
Семейство F называется компактным в себе, если пределлюбой такой последовательности снова принадлежит F .18Теорема Монтеля. Если семейство функций F = {f }, голоморфных вобласти D, локально равномерно ограничено, то оно компактно в D.Доказательство. Шаг 1. Если последовательность {fn } функций из семейства F сходится в каждой точке всюду плотного подмножества E ⊂ D,то она сходится и в топологии O(D).Действительно, пусть заданы ε > 0 и компакт K ⋐ D. Определим ρ, какв доказательстве теоремы 1, и рассмотрим ρ-раздутие Kρ компакта K.
Потеореме 1 последовательность {fn } локально равностепенно непрерывна в D.Поэтому найдется δ = δ( 3ε , Kρ ) такое, что|fn (z ′ ) − fn (z ′′ )| <ε3для всехz ′ , z ′′ ∈ Kρс |z ′ − z ′′ | < δи всех n ∈ N .Рассмотрим покрытие компакта K кругами радиуса r = minрами в точках из K и выберем из него конечное подпокрытиеδ2, ρс цент-{Uj : j = 1, . .
. , M } .Все круги Uj содержатся в Kρ и при каждом j справедливо неравенство|fn (z ′ ) − fn (z ′′ )| <ε3для всехz ′ , z ′′ ∈ Ujи всехn∈N.(2)Выберем в каждом круге Uj (j = 1, . . . , M ) точку zj ∈ E, пользуясь всюдуплотностью множества E в D. Так как последовательность fn сходится вкаждой точке E, то найдется N такое, что|fn (zj ) − fm (zj )| <ε3при всехn, m > Nи всехj = 1, . . . , M .(3)Пусть, теперь, z – произвольная точка компакта K.
Тогда найдется круг Uj ,содержащий эту точку, поэтому при всех n, m > N , в силу неравенств (2), (3),будет выполняться оценка|fn (z) − fm (z)| 6 |fn (z) − fn (zj )| + |fn (zj ) − fm (zj )| + |fm (zj ) − fm (z)| < ε .Следовательно, по критерию Коши, последовательность {fn } сходится равномерно на K, а значит, ввиду произвольности K, и в топологии O(D).Шаг 2. Найдется счетное всюду плотное подмножество E ⊂ D такое,что из любой локально равномерно ограниченной последовательности {fn }функций из семейства F можно извлечь подпоследовательность, сходящуюсяв каждой точке E.Действительно, выберем в качестве E множествоE := {z = x + iy ∈ D : x, y рациональны} .Это счетное всюду плотное подмножество в D, точки которого можно занумеровать:E = {z1 , z2 , .
. . , zk , . . . } .19Выбор подпоследовательности, сходящейся в каждой точке zj ∈ E, производится с помощью канторовского диагонального процесса.Сначала, ввиду ограниченности числовой последовательности {fn (z1 )}, выберем подпоследовательность функцийfk1 := fnk ,которая сходится в точкеz1 .Затем, пользуясь ограниченностью числовой последовательности {fn1 (z2 )}, выберем подпоследовательностьfk2 := fnk 1 ,которая сходится в точке z2(а также, по построению, в точке z1 ).
Продолжим процесс построения функцийfkl , l = 1, 2, . . . , по индукции и выберем диагональную подпоследовательностьf11 , f22 , . . . , fkk , . . . .Она сходится в точке zk для любого фиксированного k ∈ N, поскольку все еечлены, начиная с k-го, выбраны из последовательности {fnk }, сходящейся вточках z1 , . . . , zk .Задачи.(1) Пусть функция f (z) голоморфна и ограничена в полосе {a < Im z < b}, причемдля некоторого y0 ∈ (a, b) существует пределlim f (x + iy0 ) =: A .x→+∞Докажите, что тогда для всех y ∈ (a, b) существует пределlim f (x + iy) ,x→+∞равный A .[Указание. Теорема Монтеля применима к любой последовательности fn (z)= f (z + xn ) с xn → +∞](2) Покажите на примере функции f (z) = exp(e−z ), что утверждение предыдущейзадачи теряет силу для неограниченных функций f .16.3. Непрерывные функционалы на семействах голоморфныхфункций.Определение. Пусть F = {f } – семейство функций, голоморфных в области D.
ФункционалJ :F →C ,f 7−→ J(f ) ∈ C ,называется непрерывным на семействе F , если для любой последовательности {fn } функций из F , сходящейся в топологии O(D) к функции f ∈ F ,справедливо соотношениеJ(fn ) −→ J(f ) .20Пример. Пусть F = O(D). Фиксируем точку a ∈ D и натуральное числоp ∈ N и рассмотрим функционалJ(f ) = f (p) (a) ,сопоставляющий каждой функции f ∈ F ее p-ую производную в точке a. Этотфункционал непрерывен на O(D), так как для всякой последовательности fn ∈O(D), сходящейся к f в топологии O(D),fn(p) (a) −→ f (p) (a)по теореме Вейерштрасса (п. 6.14).Лемма. Если функционал J непрерывен на компактном в себе семействефункций F , голоморфных в области D, то |J| ограничен на F и достигаетсвоей верхней грани, т.е.
найдется функция f0 ∈ F такая, что|J(f )| 6 |J(f0 )|для всехf ∈F .Доказательство. ПоложимA := sup |J(f )|f ∈F(при этом не предполагается, что A < ∞). По определению верхней грани,найдется последовательность fn ∈ F такая, что|J(fn )| → Aприn→∞.Так как семейство F компактно в себе, то найдется подпоследовательностьfnk , сходящаяся в топологии O(D) к некоторой функции f0 ∈ F . Тогда в силунепрерывности J|J(fnk )| −→ |J(f0 )| при k → ∞ .Из двух полученных предельных соотношений следует, что A = |J(f0 )|. Вчастности, A < ∞ и функционал |J| достигает своей верхней грани A на элементе f0 .Лекция 17. Теорема Римана17.1.
Автоморфизмы основных областей. Напомним, что конформноеи взаимнооднозначное отображение f : D1 → D2 области D1 на область D2называется биголоморфизмом. Биголоморфизм ϕ : D → D области D на себяназывается ее автоморфизмом.Отметим два простых общих факта, относящихся к этим понятиям.1◦ . Совокупность Aut D всех автоморфизмов области D образует группуотносительно композиции ϕ1 ◦ ϕ2 , в которой роль единицы играет тождественное отображение, а обратным элементом к автоморфизму ϕ является обратноеотображение ϕ−1 (оно автоматически голоморфно, см. замечание 3 из п. 14.2).212◦ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
