А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если f0 : D1 → D2 – произвольный биголоморфизм, то любой биголоморфизм f : D1 → D2 записывается в видеf = ϕ2 ◦ f0 = f0 ◦ ϕ1 ,где ϕ1 ∈ Aut D1 , ϕ2 ∈ Aut D2 – некоторые автоморфизмы.Обратимся теперь к описанию групп автоморфизмов и начнем с областей,которые будут называться основными. К таковым мы будем относить расширенную комплексную плоскость C, комплексную плоскость C и единичный кругU = {|z| < 1}. Группы дробно-линейных автоморфизмов этих областей былиописаны в лекции 3. Следующая теорема показывает, что, на самом деле, всеих автоморфизмы дробно-линейны, т.е. результаты лекции 3 дают описаниегрупп всех автоморфизмов основных областей.Теорема 1. Любой автоморфизм основной области является дробно-линейным.Доказательство разбивается на три случая.Случай I: расширенная комплексная плоскость C.Пусть автоморфизм ϕ : C → C переводит некоторую точку z0 ∈ C в ∞ ∈ C(в частности, z0 может совпадать с ∞).
Тогда функция ϕ : C \ {z0 } → C голоморфна и имеет полюс в точке z0 (по определению из п. 7.5). Покажем, что этополюс 1-го порядка. Действительно, функция 1/ϕ голоморфна в окрестностиz0 и имеет в этой точке нуль. Порядок этого нуля должен быть равен 1, поскольку иначе (по критерию локальной однолистности из п. 14.2) функция 1/ϕ,а вместе с ней и ϕ, была бы неоднолистной в в проколотой окрестности z0 ).Тем самым, 1/ϕ имеет в точке z0 нуль 1-го порядка, а функция ϕ имеет z0своим полюсом 1-го порядка. Согласно описанию функций, мероморфных на C(п.
7.11), это означает, что функция ϕ имеет вид a+b ,если z0 6= ∞ϕ(z) = z−z0az + b ,если z0 = ∞для некоторых констант a, b ∈ C.Случай II: комплексная плоскость C.Чтобы свести этот случай к предыдущему, достаточно показать, что любойавтоморфизм ϕ : C → C можно продолжить до автоморфизма ϕ : C → C,полагая ϕ(∞) = ∞.Проверим сначала непрерывность такого продолжения в точке ∞, т.е. покажем, что ϕ(zn ) → ∞ для всякой последовательности zn → ∞.Действительно, если бы последовательность {ϕ(zn )} не сходилась к ∞, тоона содержала бы ограниченную подпоследовательность, из которой, в своюочередь, можно было бы выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке w0 ∈ C.
Но в этом случае обратное отображение ϕ−1 : C → C былобы разрывно в точке w0 .Итак, отображение ϕ непрерывно в точке ∞. Отсюда вытекает, что функция1/ϕ, голоморфная в проколотой окрестности бесконечности, имеет в ∞ устранимую особенность (для того, чтобы убедиться в этом, достаточно применить22критерий из п.
7.6 к функции ψ(ζ) = 1/ϕ(1/ζ) в точке ζ = 0). По определениюголоморфности отображений расширенной комплексной плоскости (см. п. 2.6)это означает, что функция ϕ голоморфна в точке ∞. Применяя те же рассуждения к обратному отображению ϕ−1 : C → C, продолжим его также доголоморфного отображения ϕ−1 : C → C. Так как это отображение являетсяобратным к ϕ на C, это означает, что ϕ есть биголоморфизм C, переводящий∞ в ∞. Как доказано в случае I, такой автоморфизм линеен, т.е. ϕ(z) = az + bдля некоторых a, b, ∈ C.Случай III: единичный круг U .Пусть ϕ : U → U – произвольный автоморфизм единичного круга, которыйпереводит начало 0 ∈ U в некоторую точку w0 . Рассмотрим дробно-линейныйавтоморфизм круга Uw − w0ζ = λ(w) =,1 − w0 wкоторый переводит точку w0 в 0. Тогда композицияf := λ ◦ ϕ : U −→ Uбудет автоморфизмом U , оставляющим точку 0 на месте.
Поскольку |f (z)| < 1при z ∈ U , то применяя к f лемму Шварца, получим, что|f (z)| 6 |z|при всех z ∈ U .Снова применяя лемму Шварца, на этот раз к автоморфизму z = f −1 (ζ), будемиметь|f −1 (ζ)| 6 |ζ| при всех ζ ∈ U .Подставляя в это неравенство ζ = f (z), получим, что|z| 6 |f (z)| при всех z ∈ U .Из двух полученных неравенств следует, что|f (z)| ≡ |z| .Следовательно, опять по лемме Шварца (случай равенства)f (z) = eiθ zдля некоторой константыθ∈R.Окончательно,ϕ(z) = λ−1 ◦ f (z) = λ−1 (eiθ z) ,т.е.
отображение ϕ дробно-линейно.Вспоминая описание групп дробно-линейных автоморфизмов основных областей из п. 3.7, получаем следующее описание групп их автоморфизмов:az + bAut C = z 7→, где a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0 ,cz + dAut C = {z 7→ az + b, где a, b ∈ C, a 6= 0} ,iθ z − aAut U = z 7→ e, где a ∈ C, θ ∈ R, |a| < 1 .1 − az23Заметим, что группа Aut C зависит от 3 комплексных параметров (числитель изнаменатель можно поделить на комплексное число), т.е. имеет вещественнуюразмерность 6; группа Aut C зависит от 2 комплексных параметров и имеетвещественную размерность 4; группа Aut U зависит от одного комплексного иодного вещественного параметра и имеет вещественную размерность 3.
Этоуказывает на то, что группы автоморфизмов основных областей не изоморфны,а сами основные области не биголоморфны друг другу. Докажем последнееутверждение непосредственно.Теорема 2. Основные области не биголоморфны между собой.Доказательство. Расширенная комплексная плоскость C даже не гомеоморфна C и U , поскольку она компактна в отличие от C и U . Комплекснаяплоскость C не биголоморфна единичному кругу U , поскольку биголоморфноеотображение f : C → U должно было бы задаваться ограниченной целой функцией, а все такие функции по теореме Лиувилля являются константами.Стоит отметить, что основные области, рассматриваемые как подмножестварасширенной комплексной плоскости C, и топологически различны — границаC пуста, граница C состоит из одной точки, а граница U совпадает с окружностью (т.е. одномерным континуумом).
Все эти области односвязны.В следущем параграфе мы докажем одну из основных теорем курса — теорему Римана, утверждающую, что всякая односвязная область в C биголоморфнаодной из основных областей. Отсюда будет следовать, с учетом теоремы 2, чтов C имеется всего три класса биголоморфной эквивалентности односвязных областей — по числу основных областей.17.2.
Теорема Римана.Теорема Римана. Любая односвязная область D ⊂ C, граница которойсодержит более одной точки, биголоморфна единичному кругу U .Доказательство теоремы проводится в три шага.Шаг 1. В D найдется голоморфная однолистная функция, по модулю ограниченная единицей.Действительно, по условию граница ∂D содержит две различные точки α, β.Рассмотрим полную аналитическую функциюrz−αz−βв D, которая задается, как обычно, выбором канонического элемента в какойлибо точке z0 ∈ D и его аналитическим продолжением вдоль всевозможныхпутей в D.
Так как область D односвязна, то по теореме о монодромии в нейвыделяются две голоморфных однозначных ветви указанной полной аналитической функции, отличающиеся друг от друга знаком. Обозначим эти ветвичерез ϕ1 и ϕ2 .Заметим, что функции ϕ1 , ϕ2 однолистны в D. Действительно, из равенстваϕj (z1 ) = ϕj (z2 ) ,24j = 1, 2 ,возведением в квадрат получаемz1 − αz2 − α=,z1 − βz2 − βоткуда z1 = z2 в силу однолистности дробно-линейных отображений.Введем обозначениеD1∗ := ϕ1 (D),D2∗ := ϕ2 (D) .Множества D1∗ и D2∗ не пересекаются. Действительно, если быϕ1 (z1 ) = ϕ2 (z2 )для некоторыхz1 , z2 ∈ D ,то возведение в квадрат давало бы, как и выше, что z1 = z2 =: z ∈ D.Поскольку ϕ2 (z) = −ϕ1 (z) по построению, отсюда следовало бы, чтоϕ1 (z) = ϕ2 (z) = 0 .Последнее невозможно, ибо ϕ1 , ϕ2 не имеют нулей в D.По принципу сохранения области, D2∗ содержит некоторый кругU ∗ = {w ∈ C : |w − w0 | < r ∗ } .Тогда, по доказанному, ϕ1 не принимает значений из U ∗ .
Введем функциюϕ0 (z) :=r∗,ϕ1 (z) − w0z∈D .Она голоморфна и однолистна в D и ограничена по модулю единицей. Темсамым, эта функция является решением задачи, поставленной в Шаге 1.Шаг 2. Обозначим через F семейство всех голоморфных и однолистныхв D функций, ограниченных по модулю единицей.
Оно непусто и компактно(по теореме Монтеля из п. 16.2), однако предел последовательности функций изF может оказаться константой. Чтобы избежать этого, введем подсемействоFa ⊂ F , состоящее из всех функций f ∈ F таких, что|f ′ (a)| > |ϕ′0 (a)|в некоторой фиксированной точке a ∈ D. Заметим, что |ϕ′0 (a)| > 0 в силуоднолистности ϕ0 . Семейство Fa по-прежнему компактно в силу теоремы Монтеля. Более того, оно компактно в себе, поскольку предел f0 любой последовательности fn ∈ Fa , сходящейся в топологии O(D), есть функция, голоморфнаяв D и удовлетворяющая неравенству|f ′ (a)| > |ϕ′0 (a)| > 0 ,откуда f0 6≡ const и значит, по следствию из теоремы Гурвица (п. 14.3), функция f0 однолистна в D и потому f0 ∈ Fa .25Рассмотрим функционал J : Fa → C, задаваемый формулойJ(f ) := f ′ (a) .Согласно п.
16.3, он непрерывен на Fa и (по лемме из п. 16.3) достигает на Faсвоей верхней грани, т.е. найдется функция f0 ∈ Fa такая, что|f ′ (a)| 6 |f0′ (a)| для всехf ∈ Fa .Шаг 3. По определению семейства Fa , функция f0 конформно отображаетобласть D внутрь единичного круга U . Для завершения доказательства остается установить, что образ D при этом отображении совпадает со всем кругомU.Будем пользоваться следующим легко проверяемым свойством автоморфизмов круга:z−c1если ψc (z) :=.(1), то ψc′ (0) = 1 − |c|2 и ψc′ (c) =1 − cz1 − |c|2Покажем сначала, что f0 (a) = 0. Действительно, допустим, напротив, чтоf0 (a) =: c отлично от 0.
Тогда функцияf0 (z) − cg(z) := (ψc ◦ f0 )(z) =1 − cf0 (z)принадлежит Fa , но из формулы (1) следует, что|f ′ (a)||g ′ (a)| = |ψc′ (c)||f0′ (a)| = 0 21 − |c|строго больше |f0′ (a)|, вопреки определению f0 .Покажем теперь, что f0 отображает область D на единичный круг U ,т.е. все значения b ∈ U \ {0} принадлежат f0 (D).Действительно, допустим, напротив, что значение b ∈ U \ {0} не принимается f0 . Рассмотрим тогда функциюspf0 (z) − b, z∈D ,h(z) := ψb ◦ f0 (z) =1 − bf0 (z)задаваемую однозначной голоморфной ветвью указанного корня в D (которуюможно выделить по теореме о монодромии из п. 10.6). Так же как в Шаге 1,проверяется, что функция h однолистна в D, т.е.
h ∈ F . В силу формулы (1)производная функции h(z)2 в точке a равна f0′ (a)(1 − |b|2 ). Поэтому|f ′ (a)|(1 − |b|2 )1 − |b|2|h′ (a)| = 0= p |f0′ (a)| .2|h(a)|2 |b|Как мы видели выше, это значение можно увеличить, рассмотрев вместо hфункциюh0 := ψc ◦ h , где c = h(a) .А именно, h0 ∈ F и|h′ (a)|(1 − |b|2 )|f0′ (a)|1 + |b|p|h′0 (a)| === p |f0′ (a)| > |f0′ (a)| ,21 − |h(a)|2 |b|(1 − |b|)2 |b|поскольку |b| < 1. Но это противоречит экстремальности f0 в Fa . Такимобразом, f0 осуществляет биголоморфизм D → U и теорема Римана доказана.26Следствие. Любые две односвязные области D ⊂ C, границы которыхсодержат более одной точки, биголоморфны друг другу.Задачи.(1) Использованный в доказательстве теоремы Римана класс F состоял, по определению, из голоморфных функций, ограниченных по модулю единицей. Приэтом не уточнялось, имеется ли в виду неравенство |f (z)| < 1 или |f (z)| 6 1.Покажите в связи с этим, что если f ∈ O(D) и|f (z)| 6 1 для всех z ∈ D ,то либо f ≡ const, либо |f (z)| < 1 для всех z ∈ D.(2) Пусть область D биголоморфна единичному кругу U .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
