А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Мы будем предполагать, чтоD1 ∩ D1∗ = ∅ = D2 ∩ D2∗ ,а множестваG1 := D1 ∪ γ1 ∪ D1∗иG2 := D2 ∪ γ2 ∪ D2∗являются областями в C. Пусть, далее, функция f , голоморфная в областиD1 и непрерывная влоть до γ1 , биголоморфно отображает D1 на D2 и задает гомеоморфизм γ1 на γ2 . Тогда она голоморфно продолжается через γ1 в31область G1 . Иными словами, существует функция F ∈ O(G1 ), совпадающаяс f на D1 ∪ γ1 , которая биголоморфно отображает область G1 на областьG2 .
При этомF (z) = f (z ∗ )∗ для z ∈ D1∗(3)(в этом равенстве первая z ∗ – точка, симметричная z ∈ D1∗ относительноl1 , а f (z ∗ )∗ – точка, симметричная f (z ∗ ) ∈ D2 относительно l2 ).Формула (3) объясняет название “принцип симметрии”: отображение F , задаваемое этой формулой, переводит точки, симметричные относительно l1 вточки, симметричные относительно l2 .Доказательство. 1◦ . Пусть, сначала, D1 , D2 ⊂ C, а дуги γ1 , γ2 являютсяотрезками вещественной оси (т.е. l1 = l2 = R). Положимf (z),z ∈ D1 ∪ γ1 ,F (z) :=f (z),z ∈ D1∗ .Функция F (z) непрерывна на G1 , так как в любой точке a ∈ γ1 пределы F (z)при z → a сверху и снизу совпадают в силу условия f (γ1 ) ⊂ γ2 ⊂ R.
Крометого, она голоморфна на G1 \ R = D1 ∪ D1∗ . Действительно, нужно проверятьэто только точках a ∈ D1∗ . Разлагая функцию f в ряд Тейлора с центром всимметричной точке a ∈ D1 , получим разложение в ряд Тейлора функцииF (z) = f (z) =∞Xn=0cn (z −a)n=∞Xn=0cn (z − a)nв соответствующей окрестности точки a.Следовательно, функция F удовлетворяет условиям леммы о голоморфномпродолжении в области G1 , из которой вытекает, что F голоморфна во всейобласти G1 . Далее, из определения F следует, что F биективно отображаетD1∗ на D2∗ . Так как отображение f : γ1 → γ2 является гомеоморфизмом иD1 ∩ D1∗ = ∅ = D2 ∩ D2∗ , отсюда следует, что F биективно отображает G1 наG2 .
Согласно замечанию 3 из п. 14.2 это означает, что F есть биголоморфизмG1 на G2 .2◦ . В общем случае рассмотрим дробно-линейные преобразования λj : C →C, переводящие дуги γj ⊂ lj в отрезки λj (γj ) вещественной оси R (j = 1, 2). Посвойству сохранения симметрии при дробно-линейных преобразованиях (п.
3.5)пары симметричных областей D1 , D1∗ и D2 , D2∗ переходят в пары областейλ1 (D1 ), λ1 (D1∗ ) и λ2 (D2 ), λ2 (D2∗ ), симметричных относительно вещественнойоси и не содержащих точку ∞ (иначе, пересечение D1 ∩ D1∗ или D2 ∩ D2∗ былобы непусто). Функцияfe := λ2 ◦ f ◦ λ−11биголоморфно отображает область λ1 (D1 ) ⊂ C на область λ2 (D2 ) ⊂ C и непрерывно продолжается до биективного отображения отрезка λ1 (γ1 ) ⊂ R наотрезок λ2 (γ2 ) ⊂ R. Согласно случаю 1◦ , функция fe аналитически продолжается до биголоморфизма Fe области λ1 (G1 ) на λ2 (G2 ).
При этом, поскольку λ1и λ2 сохраняют симметрию, отображениеeF := λ−12 ◦ F ◦ λ132есть биголоморфизм G1 на G2 , обладающий указанными в теореме свойствами.Замечание 1. Значительная часть доказательства использует только голоморфность, но не биективность f . Пользуясь этим, можно получить следующий вариант принципа симметрии, дающий еще один метод аналитическогопродолжения голоморфных функций.Утверждение. Пусть D1 ⊂ C – область, граница которой содержит дугу γ1 обобщенной окружности l1 . Обозначим через D1∗ область, симметричную D1 относительно l1 . Предположим, чтоD1 ∩ D1∗ = ∅ ,а множество G1 := D1 ∪ γ1 ∪ D1∗ является областью в C.
Пусть C-значнаяфункция f , голоморфная в D1 и непрерывная в D1 ∪ γ1 , отображает дугу γ1на подмножество некоторой обобщенной окружности l2 ⊂ C. Тогда существует C-значная функция F , голоморфная в области G1 , которая совпадаетс f на D1 ∪ γ1 . При этомF (z) = f (z ∗ )∗для z ∈ D1∗(в этом равенстве первая ∗ означает симметрию относительно l1 , а вторая— относительно l2 ).Замечание 2.
Если множество D1 ∩ D1∗ непусто, то функции f (z) и f (z ∗ )∗не обязаны на нем совпадать. Возьмем, например,D1 = {z ∈ C : 0 < arg z < 3π/2} с γ1 = [0, +∞)√и f (z) = z (мы выбираемветвь,удовлетворяющуюусловию1 = 1). Тогда√f (z ∗ )∗ есть вторая ветвь z на области√D1 ∩ D1∗ = {Re z < 0}и f (z) 6= f (z ∗ )∗ на D1 ∩ D1∗ . Если мы все же попытаемся применить конструкцию принципа симметрии в ситуации, когда имеются непустые пересеченияобластей и их симметричных образов, то она приведет к полной аналитическойфункции, поднимающейся до конформного отображения областей на соответствующих римановых поверхностях.
Это еще одна конструкция в комплексноманализе, которая, наряду с локальным обращением голоморфных функций, неизбежно приводит к многозначным аналитическим функциям.Замечание 3. В формулировке принципа симметрии мы потребовали, чтобы множестваD1 ∪ γ1 ∪ D1∗ и D2 ∪ γ2 ∪ D2∗были областями. Это условие эквивалентно тому, что каждая точка z0 ∈ γj(j = 1, 2) включается в Dj ∪ γj ∪ Dj∗ вместе с некоторой окрестностью. Данноетребование необходимо для применимости леммы о голоморфном продолжениии оно не вытекает из остальных условий.
Убедиться в этом можно рассмотревследующий пример:D1 = {Im z > 0} \ {z = iy : 0 < y ≤ 1} ,γ1 = R ,z0 = 0 .Впрочем, можно избежать подобных ситуаций, если потребовать дополнительно, чтобы D1 и D2 были областями с простой границей. соответствующийтопологический факт.33Задачи.(1) Модулем концентрического кольца {r < |z − a| < R} называется отношениеR/r . Пользуясь теоремой Каратеодори (см п.
18.1) и принципом симметрии,покажите, что два концентрических кольца биголоморфны ⇐⇒ их модулиравны. Покажите, что группа автоморфизмов такого кольца зависит от одноговещественного параметра (а именно, порождается поворотами z 7→ a+eiθ (z−a)и отображением z 7→ rR/z ). Сравните это с описанием групп автоморфизмоводносвязных областей в п. 17.1.(2) Покажите, что прямоугольник, отличный от квадрата, нельзя конформно отобразить на квадрат так, чтобы вершины перешли в вершины.(3) Пусть U = {|z| < 1} и γ ⊂ ∂U – дуга единичной окружности.
Предположим,что функция f ∈ O(U ) ∩ C(U ∪ γ) равна нулю всюду на γ . Докажите, чтоf ≡ 0.(4) (Принцип Шварца). Пусть граница области D1 ⊂ C есть жорданова кривая, содержащая аналитическую дугу γ1 (т.е. образ единичного отрезка [0, 1] ⊂ R ⊂ Cпри конформном отображении некоторой окрестности этого отрезка в C), а граница области D2 ⊂ C также жорданова и содержит аналитическую дугу γ2 .Покажите, что всякое биголоморфное отображение f : D1 → D2 , непрерывнопродолжающееся до гомеоморфизма γ1 на γ2 , допускает голоморфное продолжение в окрестность γ1 (т.е.
существует область G ⊃ D1 ∪ γ1 и функцияF ∈ O(G), совпадающая с f на D1 ∪ γ1 ). Пользуясь замечаниями 1 и 3 выше,сформулируйте и докажите вариант этого утверждения, не требующий биективности f и жордановости границ D1 , D2 .Следующая серия задач относится к теореме единственности для функций,голоморфных в области D, которые принимают чисто мнимые значения на ∂D.Задачи.(5) Пусть D = {|z| < 1}, f ∈ O(D) ∩ C(D) и Re f ≡ 0 на ∂D. Пользуясьпринципом симметрии и теоремой Лиувилля, докажите, что f ≡ const.(6) Покажите на примере, что утверждение задачи (5) перестает быть верным дляфункций, вещественная часть которых равна нулю лишь на некоторой непустойоткрытой дуге γ ⊂ ∂D.(7) Повторяя доказательство равенства (1) из п.
18.1, покажите, что принцип аргумента (п. 14.3) остается верен для функций f , голоморфных в области D инепрерывных в ее замыкании D (иначе говоря, требование голоморфности fв окрестности D, наложенное в формулировке принципа, является излишним).Пользуясь этим, дайте другое доказательство утверждения задачи (5), считаяD произвольной односвязной областью с простой границей.(8) Применяя принцип максимума к функциям e±f (z) , дайте еще одно доказательство утверждения задачи (5), считая на этот раз D произвольной ограниченнойобластью.34Лекция 19. Конформное отображениеполуплоскости на многоугольник19.1.
Конформное отображение полуплоскости на прямоугольник.Обозначим черезD+ = {z ∈ C : Im z > 0}верхнюю полуплоскость и фиксируем число 0 < k < 1. Эллиптический интеграл 1-го рода задается при z ∈ D + ⊂ C выражением видаF (z) = F (z, k) :=Zz0dζp=(1 − ζ 2 )(1 − k 2 ζ 2 )Zz0dζ.ϕ(ζ)(1)Для того, чтобы формула (1) стала корректной, необходимо уточнить смыслвходящего в нее корняp(1 − ζ 2 )(1 − k 2 ζ 2 ) .Мы рассматриваем его голоморфную ветвь ϕ(ζ) в односвязной области D, которая получается выбрасыванием из комплексной плоскости C четырех лучейвида1{z : z = ±1 − iy , z = ± − iy , y ≥ 0} .kУказанная ветвь выделяется в D по теореме о монодромии (см.
п. 10.6) и однозначно определяется условием ϕ(0) = 1.Интеграл в формуле (1) берется по любому кусочно-гладкому пути γ в множествеD + ∩ D = D+ \ {±1, ±1/k} ,соединяющему начало координат 0 с точкой z (независимость F (z) от выборапути интегрирования гарантируется теоремой Коши для односвязной областиD). В пяти исключительных точках z = ±1, ±1/k, ∞ из замыкания D+ ⊂ Cфункция F (z) может быть доопределена как абсолютно сходящийся несобственный интеграл. Например, при z = 1F (1) =Z10dξ= limϕ(ξ) x→1−Z0xdξ,ϕ(ξ)где сходимость указанного несобственного интеграла вытекает из оценки|ϕ(ζ)| > Cp|1 − ζ| при |1 − ζ| 6 δ .(2)Аналогично определяются значения F (z) при z = −1, ±1/k.
Для определенияF (z) при z = ∞ нужно воспользоваться оценкой|ϕ(ζ)| > C|ζ|235при |ζ| > R .Утверждение 1. Функция F (z) голоморфна в D+ и непрерывна на D+ .Доказательство. Поскольку F есть первообразная функции, голоморфнойв области D, она голоморфна не только на D+ , но и во всех точках множестваD + ∩ D = D+ \ {±1, ±1/k} .Непрерывность F в оставшихся точках ±1, ±1/k, ∞ ∈ D+ вытекает из приведенных выше оценок. Предположим, например, что |z − 1| 6 δ. ТогдаF (z) − F (1) совпадает с интегралом от 1/ϕ(ζ) по прямолинейному отрезку[1, z], который можно параметризовать какz = 1 + ρeiθ ,0 6 ρ 6 |z − 1| .Отсюда следует, что|F (z) − F (1)| 6Z|z−1|0dρ2p|z − 1| ,√ =C ρC(3)т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
