А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Докажите, что для заданной точки z0 ∈ D и вещественного числа θ0 найдется единственный биголоморфизм f : D → U такой, чтоf (z0 ) = 0 иarg f ′ (z0 ) = θ0 .Заметим, что в силу замечаний в начале п. 17.1, совокупность всех биголоморфизмов D → U зависит от 3 вещественных параметров. Сформулированнаязадача дает, тем самым, один из способов фиксирования этих параметров.(3) Поскольку группа Aut U зависит от 3 вещественных параметров, то для любыхдвух точек z1 , w1 ∈ U найдется автоморфизм U , переводящий z1 в w1 (докажите это!). По той же причине мы не можем ожидать, что для любых двухпар несовпадающих точек (z1 , z2 ) и (w1 , w2 ) круга U найдется автоморфизмϕ : U → U , переводящий z1 в w1 и z2 в w2 . Приведите пример пар точек, биголоморфно не эквивалентных друг другу и найдите условие на пары (z1 , z2 ) и(w1 , w2 ), при котором требуемый автоморфизм ϕ : U → U все же существует.(4) Докажите, что в условиях теоремы Римана максимальное значение |f ′ (a)| повсем функциям f ∈ O(D), удовлетворяющим условию|f (z)| 6 1 для всех z ∈ D(но не обязательно однолистным), совпадает с аналогичным значением, вычисленным по всем функциям класса Fa .
Покажите, что оно достигается толькона скалярных кратных конформного отображения f0 области D на U , удовлетворяющего условиюf0 (a) = 0 ,arg f0′ (a) = 0(эти условия однозначно определяют отображение f0 согласно задаче (2)).27Лекция 18. Соответствие границ и принцип симметрии18.1. Принцип соответствия границ.Теорема. Пусть D1 , D2 ⋐ C – области с простыми границами, причемграница ∂D1 связна.
Предположим, что функция f : D1 → D2 , голоморфнаяв области D1 и непрерывная в ее замыкании D 1 , гомеоморфно отображает∂D1 на ∂D2 . Тогда f биголоморфно отображает D1 на D2 .Доказательство. 1) Фиксируем произвольную точку w0 в области D2 .Так как функция f по условию не принимает значения w0 на ∂D1 , тоf −1 (w0 ) := {z ∈ D1 : f (z) = w0 }есть компактное подмножество области D1 в силу непрерывности f на D1 .Примем следующий топологический факт как наглядно очевидный: еслиD ⊂ C – область с простой связной границей, то для всякого компакта K ⊂e с простой связной границей такая, что K ⊂ De ⋐DD найдется область De ∂D гомотопны как замкнутые кривые на множестве D \ K.и кривые ∂ D,Применяя это утверждение к компакту K := f −1 (w0 ) и области D := D1 ,e 1 с простой связной границей, такую что K ⊂ De 1 ⋐ D1 .найдем область De 1 ).Пусть N есть число нулей функции f (z) − w0 в области D1 (а значит и в DeПо принципу аргумента (см.
п. 13.2) для области D1 получаем, чтоN=1∆ e arg(f (z) − w0 ) .2π ∂ D1e 1 , ∂D1 и непрерывности функции fВ силу гомотопности границ областей ∂ D1на D 1 правая часть этого равенства совпадает с 2π∆∂D1 arg(f (z) − w0 ), откудаследует, что1N=∆∂D1 arg(f (z) − w0 ) .(1)2π(Заметим, что оно могло быть получено сразу из принципа аргумента дляобласти D1 , если бы мы дополнительно предположили, что f голоморфна вокрестности замыкания D 1 ).Поскольку f биективно отображает ∂D1 на ∂D2 , правая часть (1) равна±1∆∂D2 arg(w − w0 )2π(знак ”минус” перед этим выражением возникает в случае, когда гомеоморфизмf : ∂D1 → ∂D2 обращает ориентацию границы; если f сохраняет ориентацию— нужно ставить знак ”плюс”).
Снова по принципу аргумента указанное числоесть± число нулей функции F (w) = w − w0 в D2 .Последнее число равно ±1. Поскольку левая часть (1) неотрицательна, в последнем выражении нужно выбрать знак ”плюс”, и формула (1) принимаетвидN =1.28Таким образом, функция f принимает в D1 каждое значение w0 ∈ D2 ровноодин раз с учетом кратности.2) Выбирая точку w0 ∈ C \ D2 и повторяя для нее предыдущие рассуждения,покажем, что в этом случае N = 0, т.е. функция f не принимает в D1 значенийw0 из дополнения C \ D2 . Она не может принимать в D1 и значений w0 ∈ ∂D2 ,поскольку f гомеоморфно отображает ∂D1 на ∂D2 .Таким образом, f осуществляет взаимнооднозначное голоморфное отображение D1 на D2 , т.е. биголоморфизм D1 на D2 (см. замечание 3 из п. 14.2).Справедливо следующее “обращение” принципа соответствия границ, не налагающее никаких условий на поведение отображения на границе.Теорема Каратеодори.
Пусть каждая из областей D1 , D2 ⋐ C ограничена конечным числом непересекающихся замкнутых жордановых кривых.Тогда всякий биголоморфизм f : D1 → D2 продолжается до гомеоморфизмазамыканий D1 → D 2 .Мы приводим эту теорему без доказательства (которое можно найти в ?).Заметим, что в формулировке теоремы не требуется, чтобы границы областейбыли кусочно гладкими.Принцип соответствия границ, вообще говоря, не выполняется для неограниченных областей, даже с очень хорошими границами (напомним, что все области с простыми границами по определению ограничены). Чтобы продемонстрировать, какие эффекты могут при этом возникать, рассмотрим областьD1 = {z ∈ C : Im z > 0} и заданную в ней функцию f (z) = z 3 . Тогда fголоморфна в D1 и непрерывна (даже голоморфна) в D 1 (понимая непрерывность и голоморфность в ∞ в смысле, указанном в лекции 2). Кроме того, fгомеоморфно отображает R = ∂D1 на R.
Однако образ f (D1 ) в этом случае неявляется областью с границей R, напротив, f (D1 ) = C \ {0}.Тем не менее, принцип соответствия границ для отображений f : D1 → D2неограниченных областей D1 удается сохранить, если дополнительно потребовать, чтобы область D2 ⋐ C имела простую границу, а область D1 ⊂ Cбыла ограничена конечным числом непресекающихся замкнутых жордановыхкусочно-гладких кривых на расширенной плоскости C.Докажем частный случай этого утверждения, который понадобится нам вследующей лекции. (Применение этого же приема позволяет доказать принципсоответствия и в указанном общем случае).Предложение. Пусть D1 = {z ∈ C : Im z > 0} есть верхняя полуплоскость, а D2 ⋐ C – область с простой границей. Предположим, что функцияf голоморфна в области D1 и непрерывна в ее замыкании D1 на расширеннойкомплексной плоскости C.
Если f гомеоморфно отображает ∂D1 ⊂ C на∂D2 , то f является биголоморфизмом D1 на D2 .Доказательство. Заметим, что D1 = {Im z > 0} является биголоморфнымобразом единичного круга U = {|ζ| < 1} (являющегося областью с простойграницей) при дробно-линейном преобразованииϕ : U −→ D1 ,ζ 7−→ i291−ζ.1+ζСквозное отображение g := f ◦ ϕ, голоморфное в круге U и непрерывное вего замыкании, удовлетворяет всем условиям принципа соответствия границ.Поэтому оно является биголоморфизмом U на D2 . Отсюда следует, что и отображениеf = g ◦ ϕ−1 : D1 = ϕ(U ) −→ D2является биголоморфизмом D1 на D2 .Вопрос.
Почему нельзя повторить то же самое рассуждение для биголоморфизмаf : D1 → D2 , где D1 = D2 = {Im z > 0}, сводя его к обычному принципу соответствия границ для отображения g = ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ?18.2. Принцип симметрии. Прежде, чем переходить к формулировкепринципа симметрии, приведем лемму о голоморфном продолжении функцийчерез отрезок, которая является частным случаем одной теоремы Привалова ибудет использована нами при доказательстве принципа симметрии.Лемма о голоморфном продолжении.
Предположим, что прямая l пересекает область D ⊂ C, а функция f : D → C голоморфна в D \ l и непрерывна в D. Тогда f голоморфна во всей области D.Доказательство. Для доказательства голоморфности f в области D достаточно, по теореме Морера, показать, чтоZf (z) dz = 0∂∆для любого треугольника ∆ ⋐ D. Пересечение замкнутого треугольника ∆ спрямой l может быть: (a) пустым множеством, (b) вершиной треугольника,(c) стороной треугольника или (d) отрезком, соединяющим внутренние точкидвух сторон треугольника или одну из его вершин с внутренней точкой противоположной стороны.В случае (a) имеем ∆ ⋐ D\l и равенство нулю требуемого интеграла следуетиз теоремы Коши.В случае (b) обозначим вершину ∆, лежащую на l, через a, а через Bε –малый круг {|z − a| < ε} с центром в этой точке.
Положим∆1ε := ∆ \ B ε,∆2ε := ∆ ∩ Bε .Тогда интеграл от f по ∂∆ есть сумма интегралов от f по ∂∆1ε и ∂∆2ε . Первыйиз них равен нулю, так как ∆1ε ⋐ D \ l, а второй стремится к нулю при ε → 0+по стандартной оценке интеграла 5◦ из п. 4.2:Zf (z) dz ≤ max |f (z)| · |∂∆2ε | −→ 0 ∂∆2ε z∈∆при ε → 0+. Так как интеграл от f по ∂∆ не зависит от ε, он должен бытьравен нулю.В случае (c) пусть ab есть сторона ∆, лежащая на l, а Pε – прямоугольникс основанием ab высоты ε, лежащий в той же полуплоскости с границей l,30что и ∆. Тогда ∆ \ Pε можно разложить в объдинение (одного или двух)треугольников двух типов — треугольников, компактно содержащихся в D \ l,и треугольников типа (b), опирающихся одной из вершин на прямую l.
Сдругой стороны, Pε \ ∆ также состоит из (одного или двух) треугольниковуказанных типов. Заметим, что интегралы по границам треугольников обоихуказанных типов равны нулю по доказанному в случаях (a) и (b), поэтомутакие интегралы можно добавлять или убирать из интеграла по ∂∆.
Эторассуждение показывает, чтоZZf (z) dz =f (z) dz(2)∂∆∂Pεпри всех достаточно малых ε > 0. Оценим теперь интеграл от f по ∂Pε . Интегралы по сторонам Pε , перпендикулярным ab, стремятся к нулю при ε → 0 поупомянутой выше стандартной оценке. С другой стороны, чтобы оценить суммы интегралов по двум остальным сторонам прямоугольника, предположим,что прямая l совпадает с осью x, а треугольник ∆ лежит в верхней полуплоскости (этого всегда можно добиться движением плоскости). Тогда указаннаясумма будет равнаZ b{f (x) − f (x + iε)} dx ,aчто не превосходит по модулю|b − a| max |f (x) − f (x + iε)| .a6x6bПоследняя величина стремится к нулю при ε → 0 в силу равномерной непрерывности f . (Действительно, рассмотрим любую область G ⋐ D, содержащуюотрезок [a, b].
Тогда все прямоугольники Pε , начиная с некоторого ε0 > 0, содержатся в G и функция f равномерно непрерывна на G). Так как левая часть(2) не зависит от ε, то она должна быть равна нулю.Наконец, в случае (d) треугольник ∆ разрезается на два или три треугольника типов (b) и (c), откуда снова следует, что интеграл от f по ∂∆ равеннулю.Принцип симметрии. Пусть D1 , D2 – области в C. Допустим, что граница ∂D1 содержит дугу (т.е. непустое открытое связное подмножество) γ1обобщенной окружности l1 , а граница ∂D2 – дугу γ2 обобщенной окружности l2 . Обозначим через Dj∗ , j = 1, 2, область, симметричную области Djотносительно lj .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
