А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Действительно, допустим, напротив, что нашелся элементτ ∈ T , представимый в видеτ = (n + α)τ1 + (m + β)τ2 ,где n, m ∈ Z и 0 6 α, β < 1 – некоторые числа, из которых хотя бы одноотлично от 0. Но тогда периодατ1 + βτ2 = τ − nτ1 − mτ2принадлежал бы параллелограмму Π и был отличен от его вершин, что противоречит выбору Π. Таким образом, в этом случае функция f имеет двалинейно независимых периода τ1 и τ2 таких, что все остальные периоды fявляются их целочисленными линейными комбинациями.45Задача. Покажите, что всякая замкнутая дискретная подгруппа аддитивной группы Rn имеет вид{k1 x1 + k2 x2 + · · · + km xm : k1 , .
. . , km ∈ Z}для некоторых линейно независимых векторов x1 , . . . , xm ∈ Rn .20.3. Определение и свойства эллиптических функций.Определение. Любая непостоянная двоякопериодическая мероморфнаяфункция f : C → C называется эллиптической функцией.Как мы видели, множество периодов эллиптической функции есть решеткавидаL = {nτ1 + mτ2 : n, m ∈ Z} .Для определенности будем всегда считать, что τ2>0,Imτ1т.е. направление вектора τ2 получается из направления вектора τ1 поворотом на угол от 0 до π. В силу двоякопериодичности эллиптическую функцию f достаточно изучать в любом параллелограмме Π с вершинами в точкахz0 , z0 + τ1 , z0 + τ2 , z0 + τ1 + τ2 .
Такой параллелограмм называется фундаментальным. Далее, мы будем обычно считать для простоты, что z0 = 0. Длятого, чтобы сдвиги параллелограмма Π на векторы решетки L не пересекалисьмежду собой и покрывали всю плоскость, будем присоединять к внутренностипараллелограмма Π также открытые отрезки (0, τ1 ), (0, τ2 ), лежащие на егосторонах, и точку 0.Свойство 1. Эллиптические функции с данной решеткой периодов L, если к ним добавить все тождественно постоянные функции на C, образуютполе, замкнутое относительно операции дифференцирования.Свойство 2 (теорема Лиувилля). Всякая эллиптическая функция имеет хотя бы один полюс.
Иными словами, не существует целых эллиптических функций.Доказательство. Целая эллиптическая функция была бы ограничена насвоем фундаментальном параллелограмме Π, а значит и на всей плоскости C.По теореме Лиувилля она должна быть тождественной константой.Свойство 3. Сумма вычетов эллиптической функции по всем полюсам,принадлежащим фундаментальному параллелограмму Π, равна нулю.Доказательство.
Выберем фундаментальный параллелограмм Π с вершинами в точках z0 , z0 + τ1 , z0 + τ2 , z0 + τ1 + τ2 так, чтобы на границе Π не былополюсов f . Функция f принимает одинаковые значения на противоположныхсторонах Π. Поэтому, по теореме Коши о вычетах,ZXresa f =f dz = 0 ,2πi∂Πa∈Πпоскольку противоположные стороны Π проходятся в противоположных направлениях и интегралы по ним в сумме дают нуль.46Следствие. Эллиптическая функция имеет в фундаментальном параллелограмме не менее двух полюсов (с учетом кратности).Доказательство. Иначе, функция f имела бы в параллелограмме Π единственный полюс 1-го порядка.
При этом вычет в этом полюсе был бы равен0 по свойству 3, т.е. указанный полюс был бы устранимой особой точкой, чтоневозможно по свойству 2.Определение. Число полюсов эллиптической функции в фундаментальном параллелограмме (с учетом кратностей) называется ее порядком.Свойство 4. Эллиптическая функция принимает в фундаментальном параллелограмме каждое значение a ∈ C одинаковое число раз, равное ее порядку.Доказательство. Снова можно считать, что на ∂Π нет полюсов и a-точекфункции f .
(Напомним, что z называется a-точкой функции f , если f (z) = a).Пусть Na есть число a-точек f в параллелограмме Π. По принципу аргумента,примененному к функции f (z) − a, имеем:Z1f ′ (z)dz .Na − P =2πi ∂Π f (z) − aТак как подынтегральная функция является эллиптической с теми же периодами, что и f , то интеграл в правой части равен 0 по теореме Коши о вычетах(см. свойство 3), откуда следует, что Na = P совпадает с порядком f .Следствие. Предположим, что эллиптическая функция f имеет в фундаментальном параллелограмме Π нули {ak } порядков nk и полюсы {bl } порядков ml . ТогдаXXN −P =nk −ml = 0 .Свойство 5. Предположим, что эллиптическая функция f имеет в фундаментальном параллелограмме Π нули {ak } порядков nk и полюсы {bl } порядков ml .
ТогдаXXnk a k −ml bl = nτ1 + mτ2 для некоторых n, m ∈ Z .Иначе говоря,Xnk a k −Xml bl ≡ 0 mod L .Доказательство. Выберем фундаментальный параллелограмм Π с вершинами в точках z0 , z0 + τ1 , z0 + τ2 , z0 + τ1 + τ2 , так, чтобы точка 0 не принадлежала Π и на ∂Π не было нулей и полюсов функции f .
Введем функциюg(z) := zf ′ (z).f (z)Она мероморфна в окрестности Π, а ее полюсы в Π располагаются в нулях иполюсах функции f . При этом вычет g в нуле ak порядка nk равен nk ak , а47вычет g в полюсе bl порядка ml равен −ml bl (это проверяется также, как впримерах 1, 2 из п. 13.1). Применим к функции g теорему Коши о вычетах:2πiXnk a k −Xml bl =Zg(z) dz .∂Π(Заметим, что это равенство есть частный случай задачи (4) из п. 13.3). Вкладпары сторон [z0 , z0 + τ1 ] и [z0 + τ2 , z0 + τ2 + τ1 ] параллелограмма Π в правуючасть равенZ z0 +τ1 +τ2Z z0 +τ1g(z) dz −g(z) dz .z0z0 +τ2После замены z = ζ + τ2 во втором интеграле последнее выражение принимаетвидZz0 +τ1z0f ′ (z)zdz −f (z)Zz0 +τ1z0f ′ (ζ)(ζ + τ2 )dζ = −τ2f (ζ)Zz0 +τ1z0f ′ (z)dz = −2πimτ2 ,f (z)гдеm :=1∆[z0 ,z0 +τ1 ] arg f (z) .2πЭто целое число, поскольку f (z0 ) = f (z0 + τ1 ) (см. п.
13.2). Аналогично получаем, что сумма интегралов от g(z) по остальным двум сторонам параллелограмма равна 2πinτ1 для некоторого n ∈ Z.Замечание. В свойстве 5 можно заменить нули f на a-точки f для произвольного a ∈ C.Лекция 21. Функция Вейерштрасса21.1. Определение и основные свойства. В п.
20.1 мы рассмотрели конкретный пример эллиптической функции — эллиптический синус sn(z). Этафункция имеет прямоугольную решетку периодов, порождаемую периодамиτ1 = 4K и τ2 = 2iK ′ . В фундаментальном параллелограмме sn(z) (обведенномжирной чертой на рисунке в п.2́0.1) содержатся ровно два полюса 1-го порядка: z = iK ′ и z = 2K + iK ′ , так что sn(z) есть эллиптическая функция 2-гопорядка.
(Отметим, что согласно следствию из свойства 3, это минимальныйвозможный порядок эллиптической функции). В этом параграфе мы построимдля произвольной решеткиL = {nτ1 + mτ2 : n, m ∈ Z}с Imτ2>0τ1эллиптическую функцию 2-го порядка, имеющую L своей решеткой периодов.Определение. Функция Вейерштрасса задается формулойX111℘(z) = 2 +− 2 ,z(z − τ )2τ′τ ∈L48(1)где L′ := L \ {0}, т.е. суммирование ведется по всем τ = nτ1 + mτ2 с целымиn, m, не равными одновременно нулю.Заметим, что ряд в формуле (1) нельзя представлять в виде суммы рядовXτ ∈L′1(z − τ )2X 1,τ2′иτ ∈Lпоскольку указанные ряды по отдельности расходятся.Утверждение 1. Ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на компактахв C \ L и его сумма есть мероморфная функция на C, имеющая двукратныеполюсы в точках решетки L.Доказательство.
Обозначим через K произвольный компакт в множествеC \ L. Имеем112zτ − z 21 2z − z 2 /τ−==·.(z − τ )2τ2τ 2 (z − τ )2τ 3 (z/τ − 1)2Так как |z| ограничен некоторой контантой при z ∈ K, то при |τ | → ∞, второй сомножитель в правой части стремится к 2z. Поэтому при всех z ∈ K идостаточно больших |τ | справедливо неравенство11 C (z − τ )2 − τ 2 < |τ |3(2)с некоторой константой C > 0. С другой стороны, по условию существует ε > 0такое, что|z − τ | > ε для всех z ∈ K и τ ∈ L′ .Поэтому, увеличивая константу C, всегда можно добиться того, чтобы неравенство (2) выполнялось при всех τ ∈ L′ и z ∈ K.Таким образом, ряд (1) для всех z ∈ K оценивается по модулю (умноженнымна C) рядом видаX 1=|τ |3′τ ∈LX(n,m)∈Z2 \{0}1.|nτ1 + mτ2 |3(3)Сумму по всем точкам (n, m) решетки Z2 \ {0} можно заменить суммой ”поквадратам”: max {|n|, |m|} = k, так чтоX(n,m)∈Z2 \{0}гдеSk :=∞X1=Sk ,|nτ1 + mτ2 |3k=1Xmax{|n|,|m|}=k491.|nτ1 + mτ2 |3Иначе говоря, Sk есть сумма членов ряда (3) по всем точкам τ решетки L,лежащим на границе параллелограмма Πk с вершинами в точках kτ1 + kτ2 ,−kτ1 + kτ2 , −kτ1 − kτ2P, kτ1 − kτ2 .∞Докажем, что ряд k=1 Sk сходится.
Для этого обозначим расстояние отначала координат до границы параллелограмма Π1 через h > 0. ПосколькуΠk получается из Π1 растяжением в k раз, расстояние от начала координат дограницы параллелограмма Πk равно kh. Следовательно,|τ | > kh для всехτ ∈ ∂Πk .Поскольку на ∂Πk лежат ровно 8k точек решетки L, получаем, что11Sk 6 8k ·=C 2 ,3(kh)kт.е.∞∞XX1Sk ≤ C<∞.k2k=1k=1По признаку Вейерштрасса это влечет абсолютную и равномерную на K сходимость ряда (1). По теореме Вейерштрасса (п. 6.14), сумма ℘(z) этого рядаголоморфна на C \ L.Рассмотрим теперь произвольную точку τ0 ∈ L.
Если исключить из ряда(1) член11− 22(z − τ0 )τ02(или член 1/(z ) в случае, когда τ0 = 0), то все остальные его члены будутголоморфны в окрестности τ0 , а образованный ими ряд будет сходиться равномерно в окрестности τ0 (это доказывается тем же рассуждением, что и выше).Следовательно, функция ℘(z) имеет в точке τ0 двукратный полюс.Для доказательства эллиптичности функции ℘(z) необходимо показать, чтоона двоякопериодична. Указанная двоякопериодичность не очевидна из формулы (1), поэтому мы предпочитаем установить ее следующим непрямым способом.Утверждение 2.
Функция ℘(z) четна, т.е. ℘(z) = ℘(−z).Доказательство. Замена z на −z в формуле (1) эквивалентна замене τ на−τ в сумме по τ ∈ L′ .Утверждение 3. Производная ℘′ (z) функции Вейерштрасса есть нечетная эллиптическая функция порядка 3 с решеткой периодов L.Доказательство. Нечетность ℘′ (z) следует из четности ℘(z). Далее, поскольку ряд (1) сходится равномерно на компактах в C \ L (утверждение 1),его можно дифференцировать почленно. Получаем, чтоX1℘′ (z) = −2,(4)(z − τ )3τ ∈Lоткуда ясно, что каждое число τ ∈ L является периодом функции ℘′ (z). Крометого, ℘′ (z) имеет полюсы 3-го порядка в точках τ ∈ L (и только в них).
Отсюда следует, что ℘′ (z) не имеет никаких других периодов, кроме точек L, т.е.решетка периодов этой функции есть в точности L.50Утверждение 4. Функция ℘(z) двоякопериодична с решеткой периодов L.Доказательство. Покажем, что τ1 есть период ℘(z). Из равенства ℘′ (z +τ1 ) ≡ ℘′ (z) вытекает, в силу единственности первообразной (предложение 1 изп. 4.4), что℘(z + τ1 ) ≡ ℘(z) + Cдля некоторой константыC∈C.Подставляя в это равенство z = −τ1 /2, получим, чтоC = ℘(τ1 /2) − ℘(−τ1 /2) .Но правая часть равна 0 в силу четности ℘(z), так что C = 0, и τ1 есть период ℘(z). Аналогично показывается, что τ2 также является периодом.
Наконец,функция ℘(z) имеет полюсы в точках решетки L (и только в них), откудавытекает, что эта функция не имеет периодов, отличных от точек L.Рассмотрим поведение функции Вейерштрасса ℘(z) в фундаментальном параллелограмме Π с точки зрения общих свойств эллиптических функций, изложенных в п. 20.3.Удобно выбрать в качестве Π параллелограмм с вершинами в точках−3τ1 − 3τ2 −τ1 + 3τ2 3τ1 − τ2 3τ1 + 3τ2,,,.4444Тогда функция ℘(z) будет иметь в Π единственный 2-кратный полюс в точке 0,поэтому порядок ℘(z) равен 2, а сумма полюсов совпадает с 0. Следовательно,по свойствам 4, 5 из п. 20.3 функция ℘(z) имеет внутри Π два нуля a1 , a2 и суммаэтих нулей равна 0 по mod L.
То же самое верно для любого значения c ∈ C,а именно, в Π найдутся ровно две точки b1 , b2 такие, что℘(b1 ) = ℘(b2 ) = cиb1 + b2 ≡ 0mod L ⇐⇒ b2 ≡ −b1mod L .В том случае, когда b1 =: b обладает тем свойством, чтоb ≡ −bmod L ⇐⇒ 2b ≡ 0 mod L ,обе точки b1 , b2 сливаются в одну точку b и значение c ∈ C принимается двукратно (как в случае полюса, расположенного в 0). В фундаментальный параллелограмм попадают всего четыре таких точки b, поскольку2b ≡ 0 mod L ⇐⇒ 2b = nτ1 + mτ2 ⇐⇒ b = nτ2τ1+m .22Мы выбрали параллелограмм Π так, чтобы точкиb=0,τ1,2τ2,2τ1 + τ2τ3=:,22называемые иначе полупериодами, попадали внутрь Π. В нуле функция ℘(z)имеет двукратный полюс, а значения ℘(z) в остальных трех точках обозначимчерезτ1τ2τ3τ1 + τ2e1 := ℘( ) , e2 := ℘( ) , e3 := ℘( ) = ℘().222251Задача.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
