А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Докажите, что для любой решетки L и любого целого n > 2 существуетэллиптическая функция порядка n, имеющая L своей решеткой периодов.21.2. Описание эллиптических функций с заданной решеткой периодов. Как мы уже видели, эллиптические функции с заданной решеткойпериодов образуют (вместе с константами) поле, замкнутое относительно взятия производной.
Оказывается, это поле порождается функцией Вейерштрасса℘ и ее производной. Точнее, имеет место следующаяТеорема. Пусть f – произвольная эллиптическая функция с решеткойпериодов L, а ℘ – функция Вейерштрасса с той же решеткой периодов. Тогда найдутся рациональные функции R и R1 такие, чтоf = R(℘) + R1 (℘)℘′ .Доказательство. Функцию f можно представить в виде суммы четной инечетной функций:f =g+h ,гдеg(z) :=f (z) + f (−z)2иh(z) :=f (z) − f (−z).2Так как производная ℘′ функции Вейерштрасса нечетна, то функция g1 (z) :=h(z)/℘′ (z) четна и мы имеемf (z) = g(z) + g1 (z)℘′ (z) ,гдеg, g1– четные эллиптические функции .Поэтому достаточно показать, что любая четная эллиптическая функция срешеткой периодов L есть рациональная функция от ℘.Отвлечемся от доказательства теоремы, чтобы установить лемму о нулях иполюсах четных эллиптических функций.Лемма.
Пусть f – четная эллиптическая функция с решеткой периодовL. Пусть a – нуль порядка n функции f . Тогда(1) −a также является нулем f порядка n ;(2) если a ≡ −a mod L, то порядок n четен .Аналогичное утверждение верно, если a есть полюс порядка n функции f .Доказательство леммы. Первое утверждение вытекает из того, что k-аяпроизводная четной функции удовлетворяет соотношениюf (k) (−z) = (−1)k f (k) (z) .Докажем второе утверждение. Из условия a ≡ −a mod L в силу периодичности f (k) вытекает, чтоf (k) (−a) = f (k) (a) для всех k .При нечетном k это вместе с предыдущей формулой дает f (k) (a) = 0. Следовательно, первая ненулевая производная f в точке a обязательно имеет четный52порядок, т.е.
порядок нуля f в точке a четен. Для доказательства аналогичныхутверждений в случае полюсов f нужно рассмотреть функцию 1/f .Вернемся к доказательству теоремы. Пусть f – произвольная четная эллиптическая функция с решеткой периодов L, a Π – ее фундаментальный параллелограмм. Из доказанной леммы вытекает, что множество всех нулей f впараллелограмме Π (с учетом кратности) можно разбить на пары точек вида{a, −a} (в некоторых из этих пар точки могут совпадать по модулю L). Аналогичным образом, множество полюсов f в параллелограмме Π разбивается напары вида {b, −b}.
Выберем в каждой паре по одному представителю:a1 , . . . , ak – представители нулей ;b1 , . . . , bk – представители полюсов(число представителей нулей и полюсов одно и то же по свойству 4 из п. 20.3).Предположим сначала, что ни одна из этих точек-представителей не принадлежит L. Рассмотрим четную эллиптическую функциюQkj=1 (℘(z) − ℘(aj ))Q(z) = R(℘(z)) := Qk.(℘(z)−℘(b))jj=1Она имеет те же нули и полюсы, что и f . Действительно, ℘(z) принимаеткаждое значение ровно 2 раза (по свойству 4 из п.
20.3) и при каждом j =1, . . . , k имеем: ℘(−aj ) = ℘(aj ) в силу четности ℘. Поэтому℘(z) − ℘(aj ) = 0 ⇐⇒ z ≡ ±ajmod L ,т.е. множество нулей Q(z) совпадает с {±a1 , . . . , ±ak } (с учетом кратностей), ианалогично для полюсов. Следовательно, f (z)/Q(z) есть эллиптическая функция, не имеющая нулей и полюсов в фундаментальном параллелограмме, т.е.константа, откудаf (z) ≡ const ·R(℘(z)) .В случае, если один или несколько представителей aj , bj попадают в узелрешетки L, это рассуждение необходимо модифицировать, поскольку функцияВейерштрасса ℘(z) имеет в соответствующей точке полюс. Если, например,представитель aj попал в узел L, то в числителе Q(z) нужно выбросить сомножитель с номером j. Тогда в знаменателе формулы станет на один сомножитель больше, чем в числителе, и при z → aj предел Q(z) будет равенQ(z) ∼1−→ 0 при℘(z)z → aj ,т.е.
Q имеет в точке aj нуль, как и f . Если же представитель bj попал вузел L, то нужно выбросить j-й сомножитель в знаменателе Q и, по тем жесоображениям, функция Q будет иметь в точке bj полюс, как и функция f .Модифицированная таким образом функция Q будет снова иметь те же нули иполюсы, что и функция f . Поэтому, как и в предыдущем случае,f (z) ≡ const ·R(℘(z)) .5321.3.
Дифференциальное уравнение для функции Вейерштрасса. Как мы только что показали, всякая четная эллиптическая функция срешеткой периодов L есть рациональная функция от ℘(z). В частности, это2относится к функции (℘′ (z)) . Она имеет двукратные нули в полупериодахτ1,2τ2,2τ3τ1τ2:=+222и 6-кратный полюс в нуле. Действительно, в силу утверждения 3 из п. 21.12порядок (℘′ (z)) равен 6. В нуле эта функция имеет 6-кратный полюс, а вполупериодах a = τ1 /2, τ2 /2, τ3 /2 — нули (в силу нечетности ℘′ (z) и свойстваa ≡ −a mod L). Указанные нули имеют порядок 2, поскольку являются нулями функции ℘′ (z) порядка 1 (напомним, см. п.
20.3, что функция Вейерштрасса℘(z) принимает в этих точках значения с кратностью 2).Поэтому конструкция из предыдущего доказательства дает для функции2′(℘ (z)) представление2(℘′ (z)) = const (℘(z) − e1 ) (℘(z) − e2 ) (℘(z) − e3 ) ,(1)где ej := ℘(τj /2) при j = 1, 2, 3.Выпишем лорановские разложения функций ℘ и ℘′ в нуле:℘(z) = z −2 + . . .
,℘′ (z) = −2z −3 + . . .(точками обозначены неотрицательные степени z, т.е. регулярные части лорановских разложений в нуле) и подставим их в формулу (1). Сравнение коэффициентов при z −6 в обеих частях этой формулы показывает, что постояннаяconst в (1) равна 4. Таким образом, представление (1) можно переписать в виде2(℘′ (z)) = 4 (℘(z) − e1 ) (℘(z) − e2 ) (℘(z) − e3 ) .(2)Задача.
Покажите, что sn2 (z) есть четная эллиптическая функция с решеткойпериодов 2KZ + 2iK ′ Z (сравните с sn(z)!). Покажите, что sn2 (z) = (℘(z) − e2 )−1 ,где ℘(z) – отвечающая этой решетке функция Вейерштрасса.Выведем еще одну форму дифференциального уравнения для функции Вейерштрасса. Перепишем формулу (2) в виде2(℘′ (z)) = 4℘3 (z) + b℘2 (z) + c℘(z) + d,(3)с неизвестными пока коэффициентами b, c, d. Нам предстоит их определить изусловия совпадения главных частей лорановских разложений в нуле функций,стоящих в обеих частях равенства (3).Чтобы выписать лорановские разложения указанных функций в нуле, воспользуемся известными разложениями в ряд функций:1= 1 + x + x2 + . . .
,1−x1= 1 + 2x + 3x2 + . . . ,2(1 − x)1= 1 + 3x + 6x2 + . . .3(1 − x)54(выписанные ряды сходятся при |x| < 1). Лорановское разложение функцииВейерштрасса ℘(z) в нуле имеет вид z21 X111 X 1z1℘(z) = 2 +− 2 = 2+1+2 +3 2 +... − 2z(z − τ )2τzτ2ττττ ∈L′τ ∈L′!!X 1X 11z+3z2 + . . .
.= 2 +234zττ′′τ ∈Lτ ∈LВведем обозначениеGm :=X 1τm′для всех натуральных mτ ∈Lи заметим, что Gm = 0 при нечетных m (т.к. решетка L в этом случае содержит вместе с каждой своей точкой τ 6= 0 и симметричную точку −τ ).Тогда лорановское разложение ℘(z) в нуле примет вид℘(z) =1+ 3G4 z 2 + 5G6 z 4 + . .
. .z2(4)Отсюда возведением в степень получаются лорановские разложения функций℘2 и ℘3 в нуле:1+ 6G4 + 10G6 z 2 + . . . ,z411℘3 (z) = 6 + 9G4 2 + 15G6 + . . . .zz℘2 (z) =С другой стороны, пользуясь формулой (4) из п. 21.1, получим лорановскоеразложение функции ℘′ (z) в нулеXX 12121−2=−−2·=3333z(z − τ )zτ(z/τ − 1)3τ ∈L′τ ∈L′X 1 z2z32z=− 3 +21 + 3 + 6 2 + 10 3 + . . .zτ3τττ′℘′ (z) = −τ ∈L2= − 3 + 6G4 z + 20G6 z 3 + . . . .z2Следовательно, лорановское разложение (℘′ (z)) в нуле имеет вид2(℘′ (z)) =4G4− 24 2 − 80G6 + . . . .6zzСравним его с лорановским разложением функции 4℘3 (z) + b℘2 (z) + c℘(z) + d,которое имеет вид4b1+ 4 + (36G4 + c) 2 + (60G6 + 6bG4 + d) + .
. .6zzz55и найдем отсюда значения констант b, c, d:b=0,36G4 + c = −24G4 =⇒ c = −60G4 ,60G6 + 6bG4 + d = −80G6 =⇒ d = −140G6 .Введем дополнительно обозначенияg2 (L) = g2 := 60G4 = 60X 1τ4′,g3 (L) = g3 := 140G6 = 140τ ∈LX 1.τ6′τ ∈LТогда уравнение (3) примет окончательный вид2(℘′ (z)) = 4℘3 (z) − g2 ℘(z) − g3 .(5)Приравнивая правые части уравнений (2) и (5) и пользуясь тем, что областьзначений функции Вейерштрасса {℘(z) : z ∈ C \ L} есть вся комплекснаяплоскость C (по свойству 4 из п. 20.3), а также формулами Виета, получаем,чтоe1 + e2 + e3 = 0 ,g2e1 e2 + e1 e3 + e2 e3 = − ,(6)4 e1 e2 e3 = g3 .4Лекция 22.
Реализация тора в виде кубической кривой в C2Дифференциальное уравнение (5) из п. 21.3 для функции Вейерштрасса показывает, что точки (℘(z), ℘′ (z)) лежат на кубической кривой C в 2-мерномкомплексном пространстве C2 , задаваемой уравнениемC = CL := {(u, v) ∈ C2 : v 2 = 4u3 − g2 u − g3 } ,где g2 = g2 (L) = 60G4 (L), g3 = g3 (L) = 140G6 (L). С другой стороны, функции℘(z) и ℘′ (z), будучи двоякопериодическими относительно решетки L, определены на торе T = TL := C/L. Тем самым, отображение, задаваемое функциями(℘(z), ℘′ (z)), связывает тор TL с кубической кривой CL .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
