А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Запишем это равенство ввидеw − w0 = (z − z0 )p ϕ(z)и введем функциюζ(z) = (w − w0 )1/p := (z − z0 )ψ(z) ,где ψ(z) – произвольная голоморфная ветвь полной аналитической функцииϕ(z)1/p в круге U1 (существование ветви доказывается также, как в предложении из п. 11.4). Функция ζ(z) голоморфна в U1 иζ ′ (z0 ) = ψ(z0 ) 6= 0 .Поэтому, согласно Случаю I, у этой функции существует локальная обратнаяфункция z = z(ζ), голоморфная в окрестности точки ζ = 0. Следовательно,11локальное обращение функции w = f (z) можно задать композицией функцийz = z(ζ) и ζ = (w − w0 )1/p :z = g(w) := z (w − w0 )1/p .Таким образом, локальное обращение функции w = f (z) строится в рассматриваемом случае по следующей схеме:Заметим, что если локальное обращение z = z(ζ) голоморфной функции ζ =ζ(z) в окрестности точки ζ = 0 задается рядом Тейлораz = z(ζ) =∞Xcn ζ n ,n=0то локальное обращение z = g(w) функции w = f (z) в окрестности точки z0будет задаваться рядом Пюизо (см.
замечание 2 из п. 11.8) следующего видаz = g(w) =∞Xn=0cn (w − w0 )n/p .Подводя итог, мы видим, что в рассматриваемом случае локальное обращение z = g(w) голоморфной функции w = f (z) вблизи точки z0 являетсяполной аналитической функцией в проколотой окрестности точки w0 , причем w0 есть точка ветвления порядка p для этой аналитической функции.Теорема. Условие f ′ (z0 ) 6= 0 необходимо и достаточно для локальной однолистности голоморфной функции f в окрестности точки z0 .Доказательство. Если f ′ (z0 ) 6= 0, то мы имеем Случай I, в котором функция f локально обратима.
Если же f ′ (z0 ) = 0, то либо f ≡ const, либо мы имеемСлучай II. В обеих ситуациях функция f неоднолистна в окрестности z0 .Замечание 1. Достаточность является фактом вещественного анализа: любое непрерывно дифференцируемое отображение f : R2 → R2 с ненулевымякобианом локально обратимо по теореме об обратной функции. Напротив,необходимость — это чисто комплексный факт, не имеющий места для неголоморфных функций: например, якобиан C-значной функция f (x + iy) = x3 + iyравен нулю в начале координат, но функция f все-таки однолистна.Замечание 2.
Выполнение неравенства f ′ (z) 6= 0 для всех z ∈ D достаточно для локальной, но не глобальной однолистности функции f ∈ O(D).Например, целая функция f (z) = ez имеет ненулевую производную всюду в C,но не однолистна (f (z) = f (z + 2πin) для любого z ∈ C и любого n ∈ Z).Замечание 3. Отметим еще такое следствие из доказанной теоремы: всякое голоморфное взаимнооднозначное отображение f : D1 → D2 области D1на область D2 есть биголоморфизм (т.е.
обратное отображение автоматически голоморфно). Напомним, что определение биголоморфизма между областями было дано в п. 12.5 и там же было указано, что биголоморфизм D1 наD2 — это то же самое, что взаимнооднозначное и конформное в каждой точкеотображение D1 на D2 .1214.3. Теорема Гурвица.Теорема Гурвица. Пусть последовательность функций fn , голоморфныхв области D, сходится в топологии O(D) (т.е. равномерно на компактах в D)к функции f 6≡ const.
Если точка z0 ∈ D является нулем функции f , т.е.f (z0 ) = 0, то в любом круге {|z − z0 | < r} ⊂ D все функции fn , начиная снекоторой, также имеют нуль.Доказательство. По теореме Вейерштрасса, предельная функция f голоморфна в D. Поскольку достаточно доказать теорему лишь для достаточномалых кругов с центром z0 , мы можем считать, что круг U := {|z − z0 | < r}компактно принадлежит D и в U нет других нулей f , кроме z0 . Положимr ∗ := min |f (z)| .z∈∂UИз равномерной сходимости последовательности {fn } на ∂U вытекает, что найдется N такое, что для всех n > N выполняется оценка|fn (z) − f (z)| < r ∗для всех z ∈ ∂U .Тогда по теореме Руше функцияfn (z) = f (z) + [fn (z) − f (z)]имеет в U столько же нулей, сколько и f , т.е. по крайней мере один.Следствие.
Если последовательность функций fn , голоморфных и однолистных в области D, сходится в топологии O(D) к функции f 6≡ const, тоf однолистна в D.Доказательство. Допустим, напротив, что f не однолистна в D, т.е. существуют точки z1 , z2 ∈ D такие, чтоf (z1 ) = f (z2 ) ,но z1 6= z2 .Рассмотрим последовательность функцийgn (z) := fn (z) − fn (z2 ) ,которая сходится в топологии O(D) к функции g(z) := f (z) − f (z2 ). Предельная функция g 6≡ const и имеет нуль в точке z1 . Обозначим через U ⊂ Dпроизвольный круг с центром z1 , не содержащий z2 . Тогда по теореме Гурвица все функции gn , начиная с некоторой, имеют нуль в U , что противоречитоднолистности функций fn .13Лекция 15. Принцип максимума модуля и его следствия15.1.
Принцип максимума модуля.Теорема 1. Если функция f голоморфна в области D и ее модуль |f | имеет в точке z0 ∈ D локальный максимум, то f ≡ const.Доказательство. Допустим, напротив, что f 6≡ const, и рассмотрим кругU = {z : |z − z0 | < r} ⋐ D, в котором |f | достигает максимума, т.е.|f (z0 )| > |f (z)| при |z − z0 | < r .Тогда по принципу сохранения области множество f (U ) содержит целый кругU ∗ с центром в точке w0 := f (z0 ). Выберем в этом круге произвольную точкуw1 с |w1 | > |w0 |.
Тогда ее прообраз z1 ∈ U удовлетворяет неравенству|f (z1 )| > |f (z0 )| ,откуда следует, что |f | не может иметь локального максимума в точке z0 .Противоречие.Теорема 2. Функция f , голоморфная в ограниченной области D и непрерывная в ее замыкании D, достигает максимума модуля на границе ∂D области D.Доказательство. Если f ≡ const, то утверждение очевидно. Если жеf 6≡ const, то максимум |f (z)| по всем z ∈ D, во-первых, достигается (посколькуфункция |f (z)| непрерывна на компакте D), а, во-вторых, не может достигатьсяво внутренней точке D по теореме 1.
Следовательно, он достигается на ∂D.Замечание 1. Теорема 2 становится неверной, если опустить условие ограниченности области D. Например, если D = {Im z > 0} и f (z) = sin z, то|f (z)| 6 1 при z ∈ ∂D = R, но |f (iy)| → ∞ при y → +∞. Тем более интереснаследующая задача.Задача.(1) Пусть D = {Im z > 0} и функция f ∈ O(D) ограничена в D (т.е.
|f (z)| 6 Mпри всех z ∈ D) и непрерывна в D . Покажите, что если|f (z)| 6 1 при z ∈ ∂D = R ,то |f (z)| 6 1 и при всех z ∈ D.[Указание. Выберите z0 ∈ C \ D, примените теорему 2 к функцииfε (z) = f (z)(z − z0 )−εна области DR = D ∩ {|z − z0 | < R} для достаточно большого R и устремитеε → 0+.
Можно избежать многозначных функций, если использовать функцииfn (z) = f (z)n /(z − z0 ) вместо fε (z) и устремить затем n → ∞. Это тот жеприем, что и в задаче (2) из пункта 5.5, дающей другое доказательство принципамаксимума]14Замечание 2. Теоремы 1 и 2 неверны для минимума модуля голоморфнойфункции. Пример: функция f (z) = z в единичном круге {|z| < 1}. Однако, еслипотребовать дополнительно от функции f ∈ O(D) ∩ C(D), чтобы она не имеланулей в ограниченной области D, то |f | будет достигать минимума на ∂D. Длядоказательства достаточно применить теорему 2 к функции g = 1/f .Задачи.(2) Пусть функции f1 , .
. . , fn голоморфны в ограниченной области D и непрерывныв D. Докажите, что максимум функции |f1 | + · · · + |fn | в D достигается награнице ∂D.(3) Докажите, что если f1 , . . . , fn ∈ O(D) и |f1 | + · · · + |fn | ≡ const в D, то всефункции f1 , . . . , fn постоянны.[Указание. Если в окрестности некоторой точки из D можно записатьfj (z) = gj2 (z) для некоторых голоморфных функций gj (j = 1, . . . , n), то,складывая тождества типа тех, которые указаны в задачах (1), (2) из пункта7.3 для разложений gj в ряды Тейлора, получим требуемый результат](4) Решите задачу (5) из пункта 13.3, применив принцип максимума к функцииf (ζ) = ζ n P (1/ζ) на круге |ζ| < 1.(5) Покажите, что не существует функции f (z), голоморфной в окрестности точкиz = 0 и удовлетворяющей там уравнению|f (z)|2 = 1 + |z|2 .(6) Покажите, что в окрестности любой другой точки z0 ∈ C также не существуетголоморфных функций f (z) с|f (z)|2 = 1 + |z|2 .[Указание.
Далеко не всякая положительная функция ϕ(z) без локальныхмаксимумов и минимумов есть модуль некоторой голоморфной функции. Для этого необходимо, чтобы функция log ϕ(z) была вещественной частью голоморфнойфункции, т.е. являлась гармонической функцией, см. ниже п. 24.1]15.2. Лемма Шварца.Лемма Шварца. Пусть функция f голоморфна в единичном круге U ={|z| < 1}, причем f (0) = 0 и|f (z)| 6 1для всехz∈U .Тогда для всех z ∈ U выполняется неравенство|f (z)| 6 |z| ,причем если в некоторой точке z0 ∈ U \ {0} достигается равенство, тоf (z) = eiθ z для некоторой константы θ ∈ R.Доказательство. Положимg(z) :=f (z)zдля15z ∈ U \ {0}и g(0) := f ′ (0).
Функция g голоморфна в U . Действительно, сомнение вызываеттолько точка z = 0, но по условию f (0) = 0, так что ряд Тейлора функции f (z)в начале координат имеет видf (z) = c1 z + c2 z 2 + . . .и, следовательно, функция g в окрестности начала координат задается рядомg(z) = c1 + c2 z + . . .с тем же радиусом сходимости, что и для f .Если бы было дополнительно известно, что f непрерывна в U , то из теоремы2 немедленно вытекало бы, что|f (ζ)|= max |f (ζ)| 6 1|ζ|=1 |ζ||ζ|=1|g(z)| 6 maxпри всехz∈U ,т.е. утверждение леммы. Без условия непрерывности f в U можно действоватьпочти таким же образом. А именно, любая заданная точка z ∈ U принадлежитвсем кругам видаUr := {ζ ∈ C : |ζ| < r}с r0 (z) 6 r < 1. Применим теорему 2 к функции g в круге Ur при r < 1.Получим, что|f (ζ)|1|g(z)| 6 max6 .r|ζ|=r |ζ|Поскольку это неравенство выполняется при любом r, r0 (z) 6 r < 1, можноперейти в нем к пределу при r → 1 − 0, что дает |g(z)| 6 1, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
