И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 9
Текст из файла (страница 9)
4.12). Период потенциала есть а = б+ Н, где д расстояние между барьерами. Обозначим ,р'(х) )'2т)) ~1) Ь2 Е > ге. Рис. 12 11ериодический потенциал из прямоугольных барьеров. ) сое нх 0<х<Н )р1(х) = А) зЬ а(х — г() + В1 сЬ о(х — сХ) И < х < и. 1 — з)п жх 0<х<И АяаЬп(х — д) -~ ВзсЬн(х — гК) сХ < х < а.
)р2 (х) Условия сшивания в точке х = И позволяют найти )р1(а) и )р' (а): )рг(а) = — — ей) жд зЬ пб + сов ж4 сЬ а6, и )р!~(а) = соанасЬаЬ + -- е1пхг1зЬаб. В результате мы получаем ~о — 2Е я)е)=.— — ~ ~ь ь+ ю нь б, г<Г. )4.27) 2 ЕЯ вЂ” Е) Если Е > Ц, то выражение для Б(Е) можно получить из (4.27), заменив о — + Ц. В результате получится го — 2Е Я(Е) = . в)пмде1п,дЬ+ сознйсозДБ, Е > 1')). 2;/Е(Š— Ъ~) В общем случае решать уравнение (4.26) с такой функцией Я(Е) можно только численно. Модель Кронига Пенни (гребенка Дирака). Совершим предельный переход: Ь -+ О, Ъе -+ со, И~)) — — соы1.
В этом случае в качестве Я(Е) можно взять (4.27). При малых б и больших ге справедлива оценка Г2то 2те Ь=Ч Ь,(У вЂ” Е)Ь'= жц1 4: 1 = Ь сЬпЬ = 1, Пусть Е < Р~. В качестве )рг и )ря возьмем функции — „-- (го — Е). 2тв — (Е го) а2 ) ~'о — 2Е 2гпо 1'о Р, гпеп а~ Ы 2 й 1 11ОЬ 2/Е(Р,— Е) б' 2 х жи' У о Таким образом, в|п ми Я(Е) = Р— — — + соя ха.
ка Введем новукз переменную г = ха и функцию 1(г) = Рг ' е1п г + сое г и решим уравнение /ф = совки графически. Возьмем некоторое значение к, вычислим соейи и проведем на этой высоте линию, параллельную оси в, как показано на рисунке 4.13. Абсциссы в„ точек пересечения этой прямой с кривой Д~г) будут давать те значения энергии Е„= (У/2гпе)г~/и~, при которых уравнение /(г) = сов йп выполнено. У(е)1 1.0 соя(йа) Рис. 13 Графическое решение уравнения (4.26). Мы видим, что для каждого значения Й имеется бесконечно много значений энергии то ) есть функция Е(Й) оказывается многозначной.
Более того, поскольку сов йа непрерывно изменяется в интервале ( — 1, +1), абсциссы точек пересечения г целиком заполняют отрезки оси в, показанные на рисунке 4.13 жирными линиями. Поэтому спектр энергий частицы в поле периодически расположенных 6-функций имеет так называемый зонный характер. 59 разрешенная зона, и =6 :- запрещенная зона разрешенная зона, и =5 - запрещенная зона разрешенная зона, и =4 запрещенная зона разрешенная зона, и =3 запрегценная зона разрешенная зона, и =2 запрещенная зона разрешенная зона, и =1 О О и и Рис. 14 Спектр энергий частицы в одномерном периодическом потенциале. Вся ось энергий разбивается на непересекающиеся отрезки, как показано в правой части рисунка 4.14. Каждая точка отрезка, называемого разрешенной зоной, есть точка спектра.
Ни одна точка отрезка, называемого запрещенной зоной, не является точкой спектра. Разрешенные и запрегценные зоны чередуются, причем с ростом энергии ширина разрешенных зон возрастает, а ширина запрещенных зон убывает. Спектр энергии частицы характеризуется многозначной функцией Я„(к), показанной в левой части рисунка 4.14. Величину Й можно трактовать как волновой вектор, а функцию Е„® как закон дисперсии В и-ой зоне. Энергетический спектр частицы в любом локальном одномерном периодическом потенциале качественно похож на спектр энергий частицы в поле периодически расположеш1ых д функций, то есть имеет зонную структуру. Разрешенные зоны, как правило, разделены запрещенными зонами и запрещенные зоны существуют при сколь угодно больших энергиях. С ростом энергии ширины запрещенных зон уменьшаются.
Ни в каком локальном одномерном периодическом потенциале разрешенные зоны не могут пересекаться. В исключительных случаях ширины некоторых запрещенных зон могут оказаться равными нулю и тогда разрешенные зоны будут касаться друг друга. Надо отметить, что правило непересечения зон справедливо только для одномерного случая. В трехмерном случае, например, при рассмотрении движения электронов в реальном кристалле, разрешенные зоны могут пересекаться и как правило пересекаются.
Пересечение зон имеет место и в двумерном случае, например, при рассмотрении движения электронов вдоль поверхности кристаллов. Сравнение движения квантовой и классической частиц. Рассмотрим движение частиц в периодическом локальном потенциале произвольного вида. Поместим начало отсчета энергии в минимум потенциала. Пусть наименьшее значение потенциала есть Ъ;„;„., а 4.5 Гармонический осциллятор Постановка задачи.
Оператор Гамильтона. Рассмотрим движение частицы с массой гио в упругом поле с потенциальной энергией вида ( 1 (х) Ъ'(х) = — Их = — каоы х, ,2, зя 2 2 где Й коэффициент жесткости, а ы круговая частота. На рисунке 4.15 показана полная энергия Е частицы и классические точки поворота 1:ао, где аоесть классическая амплитуда колебаний. О ао — ао Рис. 15 Потенциальная энергия гармонического осциллятора. Уравнение Шредингера для стационарных состояний с ~2 (2 — — — -щоы х Ф(х) = ЕФ(х), 2гно Ихо 2 после замены переменной х = оС, где о =;/Ц(то ы), приводится к виду (4.28) Операторы рождения и уничтожения.
Оператор числа частиц. Введем оператор уннчтоояжноя и эрмитово сопряженный с ним оператор рождению. (4.29) 2( Д1 (4.30) Коммутатор этих не эрмитовских операторов: (а, а ' ~ = а а+ — а" а = 1. (4.З1) наибольшее значение есть $~„, . Классическая частица может иметь любую энергию больше 1'„;„. Если эта энергия меныпе Р'„„, то частица движется в пределах одного периода, именно того, в котором она находилась в начальный момент времени. Если энергия больше Г„о„то движение частицы инфинитно, с течением времени она уйдет на бесконечность.
При этом движении скорость частицы изменяется периодически, от максимума, когда она проходит над минимум потенциала до минимума, когда она проходит над максимумом потенциала. В отличие от классической, квантовая частица может иметь энергию лишь из разрешенной энергетической зоны. При этом даже выше Ъ' „(если 1' „конечно) есть энергии запрещенные для квантовой частицы. В то же самое время, при любом разрешенном значении энергии движение квантовой частицы инфинитно, то есть квантовая частила может уйти на бесконечность, даже если ее энергия меньше Р' „.
Оператор Гамильтона с их помощью преобразуется к виду Й(С) = гко а а+— (4.32) то есть оператор Й есть линейная функция от другого оператора частиц М: оператора числа Я = а+а. Поэтому, найдя собственные числа и собственные функции более простого оператора М, мы автоматически получим собственные функции, а после линейного преобразования, и собственные числа оператора Й. Спектр оператора Гамильтона. Рассмотрим задачу на собственные значения и собственные функции оператора Х; (4.34) Для этого исследуем в деталях свойства оператора Х: 1. Собственные числа Л оператора Х не отрицагпельны.
2. Пусть р собственная функция оператора % с собственным числом Л, тогда 1" = а у либо ноль, либо собственнии функции оператора М с собственным числом Л вЂ” 1. 3. Обозначим наименьшее собственное число оператора М через Лв, а соответствующую собственнукз функцию через ув, тогда Лв = О. 4. Все собственные числа оператора Ж - целые числа. 5.
Пусть 1о собственная функция оператора М с собственным числом Л, тогда 7" = а" у псакже ивлиеппси собственной функцией оперьппора М с собсгпвенным ьислом Л + 1. (4.33) Следовательно (4.36) где Е„= гио и +; (4.37) Таким образом мы нашли спектр гармонического осциллятора (4.37). Это эквидисппант- ный спектр. Расстояние между уровнями постоянно и равно Принято говорить, что оператор уничтожения а делает из состояния с и "частицами' состояние с и — 1 "частицей", а оператор рождения ав -из состояния с и "частицами" делает состояние с и+ 1 "частицей". В тоже время квантовомеханическое среднее оператора Х дает число частиц (квантов) в рассматриваемом состоянии. Под термином частица понимается не реальная физическая частица, а просто квант энергии гцо.
Таким образом, задача (4.34) сводится к следующей задаче: Собственные функции оператора Гамильтона. Определим конкретный вид собственных функций и их свойства. Как обычно, будем считать, что собственные функции Ч'„(С) ортонормированы (ф„~Щ, ) = д„„. Рассмотрим действие оператора уничтожения а на Ф„(ф): аЮ„= С, 4~„,. 1. (аф„~7п~„) = !С ~! (Фн-1~ч/та 1) ~Сть~ ;2 = и=~С„'.
(ф„;а+а~ф„) = Я„~Щ„) = ,'С„~, Выберем фазы у ф„® так, чтобы С„было положительным, т.е. С = ч/и и а~~и = ~/иф„ь (4.38) Тогда а+афи д — — уф„„1 — — (и+ 1)ф„„1 — — ч'и+ 1 а~ф„. и ~я = чп ~;1 ф„.,1. (1.80) Подействуем оператором уничтожения а на волновую функцию фе®, принадлежащую наинизшему собственному значению и = О. Согласно утверждению 3 аФой) = ~~ + --) Фе(4) = 0 а' '1 ,ц) ( 1.40) Это обыкновенное дифференциальное уравнение, решением которого является Ф.(1) = — е--4 (4А1) 4/я Все остальные собственные функции оператора Гамильтона можно найти с помощью оператора рождения а+; (4.42) Используя соотношение ~/2 ехр ( — '-(') ае ехр (+-'~~) = — Ы/г1С, единичный оператор 1 = ехр (-.';с~) ехр (+~~~~) и (4.41), перепишем выражение (4.42) в виде ( 1) ~ 1г2 Й 42 1 4' (~) = —: — —..-е" зг — е = —..—..==-ф~(с)!Х„®, ~,/,/я и1 2" сК" ч/и! 2" где Нчю = (- )"ее'- — "' 'ри(х) = — — 4..
( — ) . (4.45) Лве полезные формулы: (и, %+1 (4.4б) д /г /и+1 (4 А7) есть полиномы Эрмита. Полученные функции ф„(С) есть функции переменной С и они нормированы на единицу при интегрировании по с. Волновые функции Ф„(х) гармонического осциллятора, зависящие от переменной х и нормированные на единицу при интегрировании по х, имеют вид Сравнение классического и квантового гармонических осцилляторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
