И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Следовательно, матрицы а, неособенные Йе11а,) ф О. 2. При 1 ф Й имеем азар —— ( — 1)ара, => дс11 — 1) = 1. Значит гУ есть четное число 2в. 3. При 2 ф к имеем а ар — — — ара,, то есть аьа,ар = — ау, Следовательно, '1'т 1а ) = О. Выберем такое представление, в котором матрица а4 имеет следующий блочный вид И этом представлении Аз — -О, П,=О, оу о4 + о4 с~у — О (8.5) Из а~~ = Т следует В.
В~ = 7, то есть В, есть унитарная п х н матрица. Из о~ад+аьа, = 0 при 1' ф й следует В В~~, + В~В~~ = О, у,1=1,2,3, у ф Й. (8.6) Начинаем с и = 1, то есть с двурядных матриц О~ =о~, Они удовлетворяют равенствам (8.7) <т, оь — — ю ~тр, у, Й, Х есть циклическая перестановка г, у, я. (8.8) Теперь берем и = 2, то есть рассматриваем четырехрядные матрицы.
Сразу находим три матрицы, удовлетворяющие (8.3) (8.9) (8.10) я; яь — — 1а~, з, Й,Р есть циклическая перестановка и,у, Можно построить три другие четырехрядные матрицы, удовлетворявшие (8.3) Р1= 1 О, Рз= йХ 0 ~ Рз= () 1 (8.12) 90 Оказывается, что не существует четырех таких матриц.
Можно построить только три двурядные матрицы, удовлетворяющие соотношению а,аь+аьа, = б к. Это есть матрицы Паули (8.14) у', й, Х есть циклическая перестановка и, у, я, Р Рь = а, МатРицы Р, коммУтиРУют с матРицами Яь (8 1г>1, р;яь = «ьР5. С помощью матриц яь и Р можно построить разные, физически эквивалентные, наборгя матриц о,, и 55. Будем использовать следующий набор (8.16) аз =Р1» ° нх = Р' ях> и запишем уравнение Дирака для свободной частицы (8.1) в виде И вЂ” Ф = ~с (ск, р) + тле с Д~ Ф, д1 (8.17) где (ох ню н~)" Волновая функция Ф есть четырехрядный столбец (8.18) (8.19) 8.3 У равнение неразрывности Запишем уравнение Дирака для свободной частицы в виде гл — 1Р = -5йс(ск,'179) + гиес ~59.
,г д1 Тогда Это уравнение имеет вид уравнения неразрывности — +йч1= О, др д1 (8.20) где Р = Ф1Ф = ~ ф*(г,1) ~~(т,1) и†! (8.21) имеет смысл плотности вероятности, а (8.22) имеет смысл плотности потока вероятности. Оказывается, новым степеням свободы соответствуют две дискретные переменные, каж- дая из которых может принимать два значения. 8.4 Спин Рассматриваем свободную частицу в пустом пространстве. Так как пространство изо- тропно момент количества движения должен быть интегралом движения.
Орбитальный момент количества движения Ь = г х р не есть интеграл движения, так как — Ь = — ~Йр, Ь1 = са. х р ф О. и'г 6 В то же самое время, оператор Ь 2 (ах> яю аг) ~ (8.23) 1. является оператором момента количества движения -1 Я~, Яа~ = ЮЯ~, у, Й,Р циклическая перестановка из 1,2,3; 2. коммутирует с оператором орбитального момента количества движения Ь; 3. в сумме с 1.
является интегралом движения, так как д— 8 = — ссзхр. Й Таким образом полный момент количества движения (8.24) есть интеграл движения. Оператор Б есть собственный момент количества движения частицы, связанный с дополнительными степенями свободы. Его называкэт спиновым момен- том количества движения, или просто свином. Оператор квадрата спина есть -з 36з В'=Я +Я +Я = — 1. * 4 Следовательно, любая четырехрядная функция есть собственная функция оператора квадрата спина и соответствует квантовому числу з = 1/2. Оператор г проекции спина есть 0г О У этого оператора есть два собственных числа с квантовыми числами т,.
= 1/2 и т, = — 1/2. Соответствующие волновые функции имеют вид и1 О Фз з из О Ф из О (8.25) а4 Отношение амплитуд и1 и из, а также из и и4 может быть любым. Таким образом„первую дискретную степень свободы и, принимающую два. значения и = +1 и а = — 1, можно связать с з-проекцией спина. Но поскольку строк четыре, то надо ввести еще одну дискретную переменную Л, также принимающую два значения. Примем, что зти значения есть ~1 и в качестве волновой функции релятивистской частицы возьмем функцию зр(г, 1, ст, А) такук>, что зР(г,1, 1, 1)= Ф1(г,.1), зР(г,1,— 1, 1)= ~6~я(г,1), зР(г,(, 1, — 1)= Фз(г, 1), зр(г.1,— 1, — 1)= щ(г, 1).
8.5 Электромагнитное поле и Лоренц — инвариантность уравнения Дирака Электромагнитное поле вводится в уравнение Дирака так же как в нерелятивистское урав- нение Шредингера, а именно р — ~ р — — А Х~о -+ Йи + еАю. с Здесь А есть векторный и Аю есть скалярный потенциалы электромагнитного поля, а е есть заряд частицы (для электрона е ( 0), Таким образом получается уравнение Дирака гл — зР = ~с (сг,р — -А) + гиюс~/3 + еАю~ зР. д1 (8.26) Это уравнение является лоренц инвариантным, то есть оно будет иметь прежний вид в новой инерциальной системе отсчета, если кроме преобразования координат, времени и потенциалов поля совершить также преобразование волновой функции 1г' = СФ, 8.6 Стационарные состояния Если Йп не зависит от времени, то частица может находиться в стационарном состоянии.
В этом случае гЬ вЂ” зр(1) = Нр зр(1), д1 ф,(г,() = е 1н~ф~(г), ф(1) = с ь ~~ зя у = 1,2,3,4 и получается уравнение Дирака для стационарных состояний ~с (гх,р — — А(г)) + сАю(г) + тюс~Д~ Ф = Ьзр. (8. 27) В стационарном состоянии не зависят от времени плотность вероятности, плотность тока вероятности и среднее значение лкзбой физической величины, явно от времени не зависящей. Стационарные состояния свободной частицы Уравнение Дирака для стационарного состояния свободной частицы имеет вид 1с(сх, Р) + глю с ~У) Ф = ЕзР. (8.28) 93 где С есть неособенная четырехрядная матрица, матричные элементы которой не зависят ог координат и времени.
Запишем ,р Ф Ф1(~) 4~3(Г) Имеем п»к = 0 =, — — (»г,,о„,»т,), Следовательно, с(кр) к — (Š— »» )у = О, с(сг,р)»р — (Е + г»»е»~)~ = О. (8.29) Отсюда 1 Х = = е с(»г Р) '»». Е + тес' (8.30) с (»т, р) (О', Р) ф — (Š— тес )ф = О. Используя тождество Дирака (о, А) (»г.,В) = (А,В) +» (»т, А х В), где А и В суть произвольные вектор операторы, каждая компонента которых коммути- рует со всеми <т„ок и сг„получаем Следовательно, ~с р' — (Š— т~с )»»р = О, Е = ».
/,др + н»зс4 (8.82) »»» = ~ » е» е' », амплитуды и» и из произвольны, и2 из,— '(р,г), с (»г1 Р) с (»» ) Р) Х = »» ек, из = — — и1, и4 =;" и2. и4,» ' ' Е+ тес~ с2 "Щель" 2тес'. Гипотеза Дирака: физический вакуум все состояния с отрицательной энергией заняты частицами. В состояния с отрицательной энергией масса частицы отрицательна. "Дырка' описывает античастицу. Возможны процессы рождения и аннигиляции пары. Релятивистская частица в центральном поле. Оператор Дирака частицы в центральном поле можно записать в виде ,г Нп — сц„р„+ — а„~3К -ь та с (3 + 1г(г), Где.
а, = - (ся,г), р„= — гй- — т, К = рг ((в,1) + Ь~. г Оператор К определяет угловую часть оператора Нп, причем К лишь постоянным слагаемым отличается от оператора дг. Это позволяет разделить переменные. Операторы Йп, К и Х взаимно коммутируют. Поэтому в качестве собственных функций оператора Дирака можно взять такие, которые одновременно являются собственными функциям операторов К и Х (8.34) 1» 'Р ь = "тв т ы .
/д й1 ей 1 — — — —.) ~(т) — (Е + гпес — 'т'(т)) д(т) = О, ~дт г) /0 И сй ~ -~- — ) д(т) -~- (Š— тес — 1'(т)) ~(т) = О, (8.35) (~Х(т)( + ~д(г)( ) Йт = 1. о Так как (8.35) не содержит т, то каждая точка спектра будет, по крайней мере, 2д + 1 кратно вырождена. При )Е) > тес~ спектр чисто сплошной, дискретный спектр может быть при )Е! < тес~, Если потенциал не слишком сильный, то Е = тес~ и функция д(г) гораздо меньше У(г).
В случае кулоновского поля притяжения У(т) = — Лег/г задача решается точно и 1 ,г угаг Еыь = тиос 1+----- ,— — г и'=О, Й=1,2, (8.36) и' = 1, 2, , й = ~-1, ~2, При не слишком больших Я величина тгаг мала. Разлагая в ряд по степеням Я~аг и ограничиваясь членами порядка У4а4 включительно, получаем Здесь п есть аналог главного квантового числа, й может быть любым целым, не равным нулю, д = ',Й~ — 1/2, т пробегает значения от — 1 до +у, меняясь на единицу. Угловая часть волновой функции определяется сферическими функциями со спином, а радиальная зависимость определяется двумя радиальными функциями у(т) и д(т): где и = п'+ ~й~ соответствует главному квантовому числу. Первое слагаемое есть энергия покоя, второе слагаемое есть нерелятивистская энергия, третье слагаемое есть поправка на релятивистские эффекты.
Уровень энергии, который в нерелятивистском случае был 2пк кратно вырожден, под влиянием релятивистских эффектов расщепляется и в спектре появляется "тонкая структура": энергии состояний с одним и тем же и, но с разными й, то есть с разными 1 = ~й~ — 1/2, оказываются разными. В частности, уровень с в =- 2 расщепляется на два, одному из которых соответствуют состояния 2я1~я и 2р1~я, а другому 2рз~г. '1'онкая структура наблюдается в эксперименте.
Кроме того, наблюдается слабое расщепление 2яця и 2рь я уровней (Лэмбовский сдвиг), которое объясняется более сложной теорией, учитываюгцей квантовук> природу электромагнитного поля. 8.7 Зарядовое сопряжение Ж--1р = ~с (а,р — — А) + глас ~3 + еЛо~ Ф. д1 с (8.37) Перейдем к другому„майорановскому, представлению 16 — -Ф' = 1 с (ск',р — — А) + глэсо(1' + сЛо~ Ф',. где ся' = Ои11, Имеем Таким образом, о'„а'„и а', вещественные, а Д' чисто мнимая.
Беря комплексное сопряже- ние от уравнения (8.38) и умножая на — 1, получаем 16 — 1р'* = 1с (ск', р + — А) + тля с~ р" — сЛе ~ Ф'*. Волновая функция Ф' описывает движение частицы с массой гвя и зарядом — е, то есть античастицы. Операцию комплексного сопряжения волновой функции в майорановском представлении называют операцией зарядового сопряжения. 8.8 Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Уравнение Паули Уравнение Дирака для стационарного состояния релятивистской частицы в независящем от времени электромагнитном поле есть ~с (ся, р — — А(г)) + сЛ„(г) + гло с~ р~ 1Р = Е Ф.
Пусть (~А()) Уравнение Дирака для частицы с зарядом е в электромагнитном поле с векторным потен- циалом А и скалярным потенциалом Ло в стандартном представлении имеет вид Тогда с(тт,Р— — А(г)) г~-~-( птосг + еАо — Е)Р = О, (8.39) с (ат. Р— — А(г)) ф+( — тлосг + еАо — Е)зт = О. с В нерелятивистском случае Е = тос + Е', ~Е'~ (( тлос, ,'еАо1 (( твоа . Используя во втором уравнении (8.39) приближение — тос' ~ еАо — Š— — 2тиосг, найдем 1 т а — (ст, р — — А(г)) <р. 2тлос ' а (8.40) Оператор в правой части (8.40) имеет порядок и~с. Поэтому г (мвлые компоненты) в з/с раз меныпе„чем ог (большие компоненты). Первое уравнение (8.39) дает < 1 Г е — (тт,р — — А(г)) + еАо) ~р = Е'у 2тло с (8.41) Это уравнение называется уравнением Паули (для стационарных состояний).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
