И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Действительно, пусть есть полюс в точке 119 Для вещественных й из вещественности потенциала и единственности регулярного решения следует, что Тогда а (й ) = О, и Яйо, т) интегрируема с квадратом модуля, а значит бг ~г бг .йо = -- — (й1 — "г) + 1 в "1 "г 2то " 2тлд гло есть собственное число, то есть должно быть вещественно.
Поскольку йг > О, то Е будет вещественным, только если й, = О. Таким образом, полюс лежит на мнимой оси. Среди полюсов в нижней полуплоскости особый интерес представляют полюса, расположенные вблизи вещественной оси. Этим полюсам соответствуют так называемые коазипиационарные сосглояния. и проявляются они в виде резонансов пиков в сечении рассеяния как функции энергии налетающей частицы. Рассмотрим полюс Яе(й) в нижней полуплоскости в точке йо = "1 — ~йг, йг > 11. Учитывая (10.14) и (10.16), вблизи точки йо функцию Я~(й) можно представить в виде 5~(й) = ехр(2гуг(й)) (" — йо)(й + йо) Обычно рг(й) есть гладкая функция й и может рассматриваться как постоянная.
Будем для простоты рассматривать случай с = О. Обозначим бг †(й, — 1йг)' 2гио гГ Ео 2' йг Ео = -- — (й1 — йг), 2то Г Ьг —. = — — 2й1йг. 2 2п~о Тогда Е Ео гГ/2 оо(й) = е р(2Чо)-„„- Š— Ео + гТ/2 Отсюда гг, г 4х Г ~г (Š— Ео) еп1 уо — — сок уо~ 2 йг ~~о Гг (Š— Ео) +— 4 10.6 Распад квазистапионарного состояния. Теорема Фока — Крылова Пусть система описывается оператором Й(х), не зависящим от времени. Обозначим ф„(х) собственные функции дискретного спектра с собственными числами Е„ Й(х) /.(х) = Е.Ф. (х), 120 Графики зависимости оо от энергии Е вблизи Ео при различных значениях уо показангя на рисунке 2, Помимо общего случая на этом рисунке показаны и два частных случая, которые носят название "резонанс" (уо —— 0) и "антирезонанс" (ро —— гг/2).
ио нане Ео Рис. 2: Резонансы в сечении рассеяния 121 а ф(Е, х) функции сплошного спектра Й(х)ф(Е,х) = Еф(Е,х). Условия ортонормировки этих функций имеют вид 4„*(х) ф„,(х) йх ф*(Е, х) ф(Е', х) йх Г ф„'(х) ф(Е, х) йх (10.17) 6(Š— Е'), (10.18) (10.19) О. Пусть в момент времени 1 = 0 система находится в состоянии ф(х). Тогда в момент времени 1 она будет находиться в состоянии ф(х, 1), определяемом уравнением Шредингера гй — ф(х,1) = Н(х)4(х,1), Ф(х,О) = ф(х). Решение уравнения Шредингера имеет вид д[,ч = ~с, р[- — гд~,„[ ~ ~ | с(я) р[ — юц~р~к, ~уя.
Коэффициенты С„, и С(Е) определяются из начального условия: С„ = ф„*(х)ф(х)йх, С(Е) = ф'(Е, х)ф(х)йх. Из условия нормировки начального состояния: ~ )с.)' ~- |)с(г~~' ая = ~. И1) = ~р(1)~', рЯ = ф*(х) ф(х, Ь)йх = ф*(х, О) ф(х, 1)йх. Для р(1) имеем: Я ПЗ ~~|~~с„'с[~~ р[--ю)|~(*)~(~, )ь +~ | ыс[кгс *р[ — 'к ~)|~'[г, )д,„(*)а* чл йЕ йЕ'С(Е)' С(Е') ехр( — — Е'1) ф'(Е, х)ф(Е', х) йх = ',~ !С„~~~ ехр( — — Е„1) + !С(Е)! ехр( — — Е1) йЕ.
6 6 122 Вероятность того, что в момент времени 1 система будет находиться в начальном состоя- нии: Эту формулу можно написать в виде Фурье преобразования р(1) = ге(Е) ехр( — — Ю) г1Е 6 энергетического распределения начального состояния в(Е) = ) !С„,/ б(Š— Е„) + !С(Е)!~. Теоревц Фона-Крьиоекс закон распада полностью определяется энергетическим распределением начального состояния.
Рассмотрим некоторые частные случаи 1. Пусть в начальный момент времени система находится в стационарном состоянии фр. Тогда ф(х.,О) = фе(х) Следовательно, С„= б„г, С(Е) = 0 1 рЯ = ехр( — — Ег1). Ь Таким образом, Иг) = ~рИН = 1 ф(х) = Сгфг(х) + Сгфг(х~; (С,('+ ~Сг( = 1. Тогда р(1) = ~Сг/ ехр( — — Ег1) + ~Сг! ехр( — — Ег1), 6 6 Ц~) = пг ехр( — — ЕюЕ) + аг ехр( — — ЕгЕ) = а, + аг + 2а~агсовсЛ, Ь 6 где г Ег Ег аг — — ~Сг( Ь а1 — — ~ ~С1 ) г Как видно, система периодически возвращается в начальное состояние.
Такое же поведение наблюдается, когда начальное состояние описывается суперпозицией любого числа состояний дискретного спектра и не содержит примеси состояний сплоглного спектра. 3. Пусть начальное состояние представляет собой суперпозицию состояний сплошного спектра и не содержит примеси состояний дискретного спектра (все С„= 0). Пусть С(Е) непрерывная функция. Тогда г р(1) = ге(Е) ехр( — — Е1) ~И вЂ” ~ 0 (1 — ? оо). Ь 123 то есть система все время находится в начальном состоянии. 2.
Пусть система в начальный момент времени находится в состоянии, являющемся суперпозицией двух состояний дискретного спектра Таким образом, в этом случае начальное состояние полностью распадается. Например, если -'Г ш(Е) =— и (Š— Ее)з+ -'Г2 то 1 ( Г 1 р(1) = ехр( — — ٠— — Г1), Ц1) = ехр ~ — — 1) . ь и ' ~ь) Закон распада является экспоненциальным, а Г/6 имеет смысл обратного периода полу- распада. Модуль У. Взаимодействие света с ве~цеством 11 Квантовая теория поля 11.1 Квантование системы с конечным числом степеней свободы Паеранж еа формализм. ° Вводятся обобщенные координаты дд(1) „й = 1, 2,..., и ° Строится (эвристически) функция Лагранжа 1(д, д, 1) ° Вводится действие ° Уравнения Лагранжа получаются из вариационного принципа 4 дЬ дЬ 68=Π— + —, — — =О, йдф, дд, 1 =1,2,...,п Гамильпюиав формализм.
° Вводятся обобщенные импульсы е Вводится функция Гамильтона ° Любая физическая величина Р записывается как функция обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени Е(р, ч, ~) — Р = + 1гз,Р') 1 дрг где величина 1. ~ дд да дд да ) й=1 называется скобкой Пуассона. ° Лля замкнутой системы вводится энергия и импульс, причем энергией оказывается функция Гамильтона. е Вводится скобка Пуассона следующим образом. Полная производная по времени от физической величины записывается в виде Квггнтованив.
° Обобщенные координаты и обобщенные импульсы заменяются на линейные самосопряженные операторы дь(1) — г г1ь, рь(1) -+ р~, й = 1,2,,гь ° Эти операторы подбираются так, чтобы были выполнены следующие коммутационные соотнгпгзения ггггьй! = О [Рьрг) = б [рь,г1г1 = — заиды е Любой физической величине Р = Р(р, гг, 1) сопоставляется оператор Р" -+ Г = Е(р~, ° °,р„,г1г. °,гг,1) ° Классической скобке Пуассона Р', С сопоставляется квантовая скобка Пуассона (г,сг1 — ~ г(Г,~) = — „~Р,~11 ° Выводится вырагкение для полной производной по времени от оператора 11.2 Квантование скалярного поля Классическое скалярное поле ф(т,1), удовлетворяющее, например, уравнению 1 дзф — — — Ьф= О, св дгз представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Обозна1гения, функционал, функциональная производная.
яа = у, яз = з, с(гг = 4иггуггз = оягггязгггдь, гкг = х, фь = ф, к=12 3. д диь Функционал поля: Г = У% = У(ф, фг, фз, фз14гг, где г'- называется плотностью функционала. Вариация функционала: ф -+ ф = ф + Цг (Цг произвольна), д д фь -г фь = фь + бфь = — ф + — Цг, дхь юг ог = Р(ф) фг, фз, фз)йгг — У (ф, фг, ф2) фз)гггг, оР = / — бф + ~ — бфг г1гг, Г дУ' дУ „г' дф, дфв 128 Величина, стоящая в фигурных скобках, называется угунниионааьной производной (вариаиионной производной) от функционала Е по полю ф: бЕ дУ' д юг бф дф ~ дхг дфг' Лаеринжев формализм.
в Роль обобщенной координаты теперь играет тюле ф(г, 1). ° Строится (эвристически) плотность функции Лагранжа ~(ф~ ф~ Ф1~ Ф2, ФЗ) и функция Лагранжа Š— а(ф Ф Ф фг Фз) й) ° Вводится действие ~ гЛ ~(Ф1 Ф~ ф1~ Ф2: Фз) ~~и гЛ ° Уравнение Лагранжа получается из вариационного принципа 1( дŠ— д дЕ де 11 бЬ бг' бд = О -+ —. + à — — — = Π— 1 — —. — — = О. ~Ы дф ~ доя дфь дф й, бф бф Гамильтонов формализм.
° Вводятся обобщенный импульс я, канонически сопряженный полю ф бЬ дЕ бф дф ° Вводится плотность функции Гамильтона Н(Ф Ф,фз,фз,', 1, 2,2гз) = Ф и функция Гамильтона в Любая связанная с полем физическая величина Г записывается как интеграл от плотности этой физической величины г (Ф Фм Ф2, ФЗ я, я1 7Г2; 1гз 1) аи. ° Вводится энергия и импульс поля, причем энергией поля является функция Гамильтона, а импульс поля имеет вид 129 КВ ивгиеа77Н77Е. ° Поле заменяется на оператор поля а канонический импульс заменяется на оператор 7г(г,1) -+ 7г(г). е При этом должны быть выполнены следующие условия коммутации: [ф( ) И )~ = б Я(г) й )1 = О [ (г) Ф( )~ = й — ) 11.3 Квантование скалярного поля путем сведения к системе невзаимодействуюгцих осцилляторов Пусть плотность функции Лагранжа имеет вид Тогда й" дС вЂ” —.=ф, оф дф бЬ дŠ— д д7".
зф 7 „~ф Бф дф ~-, дх, дф,. Уравнение Лагранжа: ф Ьф + гп ф = О. Импульс, канонически сопряженный полю: 6Ь 7Г = —. = ф. бф Плотность функции Гамильтона: Я = 7гф — Е = — ~ф + ('7ф) + гп~ф~) = — ~77~ + ~''Уф) + тгг ф ) . Поместим поле в кубический ящик с длиной ребра 0 и объемом 1' = 77з. Наложим на поле циклические граничные условия: ф --:яЧ ф я,— —,и ф «У>-- 130 Полная система функций, удовлетворяющих этим граничным условиям: 1 Т вЂ” — ехр(г(й т)1, 2гг т х — (и е + п„е„+ п,е,), и(й, т) и*(й1, т) и(йз, т) й Йьй2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
