И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Аномальный эффект Зеемана Рассматриваем оператор 1 Оо — — — р2 '- 17(г) + 01 2»по как невозмущенный, а оператор Ъ = — ' — ((Я Х)+2(Я 5)) = ---'- — (~, +23„~ как возмущение (ось г направлена вдоль вектора Я). Тогда ,(о~,(о), (о1 ~аутизм о)г вуем' Здесь а главное квантовое число, у, К соответствуя»т полному и орбитальному моментам количества движения, ьч — проекция полного момента количества движения.
Собственные числа оператора Йо пе зависят от проекции полного момента количества движения т,.;)то означает, что нужно использовать теорию возмущений для вырожденного уровня: (Ф,„= Фф„), , '(Ф)„~Р~Ф,„„) С = ЯР~С„,. Рассмотрим матрицу оператора возмугцения (Ф ° !Р/Ф „,) = — ' (Ф .~Х, + 2Я,~Ф),„) = — — (Ф !Х + Я,/Ф „,). (9.13) Лля вычисления (9.13) воспользуемся операторным равенством, которое можно получить из коммутационных соотношений с участием операторов углового момента: уг~ г (у, к) а также очевидным соотношением: (.У Д) =-(,Р+У-1,з).
2 В результате матричный элемент оператора Я, можно представить в виде; (Ф„„, Я, Ф„„) — — — '- т1,,„, 3(.7 + 1) г(г + 1) + М» + 1) еЬ'Н (Ф,,„.)Ъ'/Ф, ) = — угад 2п~ос ' где Я1 + 1) — К(Х + 1) + «(» + 1) д = 1+ 2,1'О ~- 1) есть так называемый факэпор .Чанде. Итак, матрица оператора возмущения диагональна, а возмущенные уровни энергии есть еЬ'Н Й.)Йт — — Етую — — — 9.~~ 2гиос ' Таким образом, (21+ 1)-кратно вырожденный уровень энергии расщепился в однородном магнитном поле на 2у'+ 1 эквидистантьых уровней, причем расстояние между уровнями пропорционально напряженности магнитного поля и определяется фактором Ланде. ~)то и есть аномальный эффект Зеемана.
105 Эффект Пашена-Бака В этом случае можно пренебречь оператором релятивистских поправок. Тогда оператор Гамильтона имеет вид: 1 е'Н Н = — — рг + 11(т) — — — Ь + 2Я 2та 2пцс (ось г направлена вдоль вектора напряженности магнитного поля). Он коммутирует с операторами Ег, Х,, Яг и Я„поэтому в качестве собственных функций Й можно взять такие, которые являются собственными функциями указанных операторов: 1 ф ь г .
Р е(т)УьпЯ р)С Здесь Р„~(т) есть радиальная функция, являющаяся решением радиального уравнения < тг,1г у ~(~+1) + + тт) Р„у(т) = Е,МРп(т). 2тпа йтг 2та тг Прямой подстановкой проверяем, что Ф„~ „,„„является собственной функцией Й, а энер- гия частицы будет равна еЬЯ Е = Е„~ — —,— (тля + 2тп,'). 2тпа и = пМ + 2т,. Таким образом, два верхних и два нижних уровня не вырождены, остальные уровни дву- кратно вырождены, то есть вырождение снимается лишь частично.
Такое поведение уров- ней энергии под действием магнитного поля называется эффектом Пашена-Бака. 9.3 Эффект Штарка В качестве невозмущенного оператора Гамильтона возьмем 1 На = — рг + 7у(т), 2тиа а возмущением является оператор взаимодействия с однородным электрическим полем: 'т" = — еЕг (с напряженность электрического поля, ось г направлена вдоль вектора с). Собственные функции невозмущенного оператора: Матричный элемент оператора возмущения: (пТт'~ (Ъ')пата) = — ес (ппРт' ф пгтп). (9.14) Поскольку функции центрального поля обладают определенной четностью: ф~,„(-т) = ( — 1) ф~„~(т), 106 Кратность вырождения уровня энергии в отсутствие магнитного поля есть 2(28+ 1), то есть 2 при г".
= О, 6 при г = 1 и т. д. При наличии магнитного поля уровень энергии определяется целым числом а я есть нечетная функция, то матричный элемент (9.14) отличен от нуля, только если 8 и с' имеют разную четность. В центральном поле общего вида невозмущенный уровень энергии Е„, вырожден по (о) т. Поправка первого порядка находится диагонализацией секулярной матрицы; (пбп~Ъ'~пбп)С„, = Е )С„„. тп'--.
— е Е() — Е дес О 0еК Е( ) — Е 0 0 0 Е() — Е 0 0 0 0 0 = О, где (Ф2оо ~ ~ ~ 4210) . (о) (о) Решение дает четыре корня: Š— Е (о) Е2 Е2 (о) Е, = Е,,(") + (ЧеК, Е, = Е(' — ~а~ег. 9.4 'Теория нестационарных возмущений (теория квантовых переходов) Рассмотрим задачу развития системы во времени: 16 — ((х, Х) = Й(х, Е) ч~(х, Е), Й(х,г) = 11о(х) + г'(х,() с начальным условием (О(х, 0) = 4(х).
Внешнее поле Г~(х, 1) зависит от времени и является малым возмущением. Предпочожим, что у невозмущенной системы спектр чисто дискретный (это предположение делается только для упрощения формул): 11о(х) Фь(х) = Еь Фь(х)> „) . ~Ф )(Ф ~ 107 Однако все матричные элементы в левой части равны нулю, так как К = К'. Поэтому поправка первого порядка к энергии (линейная по напряженности электрического поля) равна нулю.
В центральном поле обтцего вида эффект Штарка квадпатпичен ио воюю. В случае кулоновского поля невозмущенный уровень энергии Е(о вырожден не только по т, но и по г'. Поэтому не все матричные элементы секулярной матрицы равны нулю. Следовательно, поправка первого порядка может быть отлична от нуля, то есть эффект Штарка может быть линейным ио полю.
Рассмотрим подробнее эффект П1тарка для уровня с и = 2. Этот уровень четырехкратно вырожден. Секулярное уравнение имеет вид Пусть начальное состояние системы совпадает с собственным состоянием ф„(ж), т.е. ф(а,0) = ф„(т). Будем искать волновую функцию в виде Введем обозначение Ъ' „(1) = ехр(ьн Д(пз~Ъ'~М), где есть частота перехода. Предположим, что диагональные матричные элементы возмуще- ния равны нулю: Для коэффициентов ая(1) мы получаем тогда следующую систему уравнений: Тогда в первом приближении пД~ (Ъ) = —, Ъ' „(Ъ')йЪ', о а~'~ (1) = 1. Вероятность ЪЪ;„„(1) того, что за время Ф система перейдет из состояния п в состояние т в первом порядке теории возмущений равна Ъ' „(Ф')й' ЪЪ; (1) ) (1) ~2 Рассмотрим применение этой формулы в некоторых частных случаях. 108 Будем решать эту систему методом последовательных приближений.
В качестве нулевого приближения возьмем Возмутпение, условно называемое постоянным О, 1 ( О, Р(и,1) = Ъ'(гв), 1 > О. В этом случае ~2 1 -, Р Г И'„кк® = — —, (т,1Г(гв)~~п)! ( ехР(иы „1')сМ' = —, ',(ггз~Ъ'(и)~гг)$~ 2 апг ~ '"" ) . ~о Введем функцию з1 г! Тогда И„„(1) = — (( ~т (гв)~п)( — Ег( .) .
Для функции Р;(г 2) справедливы следующие соот- ношения: 2 1 гг(О) = —, гг(ы)~ 5 2т' тиг2 г Из этих соотношений следует, что 1гпг ЕгМ) = г1(г г). (9. 19) График функции РДь2) приведен на рисунке. Из него видно, что большая часть площади под кри- вой содержится под центральным максимумом. Действительно, 0 4к 1 Геши — / — -дх = 0.9 и2 Функция Рг(г2) Это значит, что с вероятностью 90% переходы происходят в состояние с энергией г,;„ которая лежит в интервале с полушириной 109 2тГг ЛЕ = —, Л1 = 1 — 1„. ~М ' симметрично расположенном относительно начальной энергии Е„. П1ирина энергетического интервала уменьшается, если временной интервал увеличивается.
Ситуация похожа на соотношение неопределенности координаты и импульса: Ь Ли Лр > —. 2 Поэтому соотношение принято называть соотноизением неопределенности энергия время. Гармоническое нозмуьценне Пусть возмущение Р(х,1) имеет вид Р(т,й) = Р(х)ехр(нов) + Р1(и) ехр( — но1) (оператор Р(и,1) эрмитовский). Тогда 1' „(8) = (т~Р~н) ехр[г(о~ „+вг)1] + (т[г1~н) ехр[1(ы„,„— м)1]. Отсюда Г ()д'=< [Р[>' [< " )~ < ''[> — '("" в Беря квадрат модуля от этого интеграла, мы получим сумму следукнцих четырех вкладов: 'ехр[г(ы „+ в~)1] — 1~ г(ы „+м) ~(в~то ~о) ехр[ — а(ы„,„+ в~)1] — 1 ехр[1(ы,„„— ы)1] — 1 ехр(,— иЛ)ФЯм „+м)Ф,(ы „— ы).
г(ы „+ы) ~(ваап ехр[1(ы „+ м)1] — 1 ехр[ — 1(вз„,„— ы)1] — 1 — ехр(иЛ) 4 с (в~,„+ ю) Ф~(ы„„„— м), 1(м„„„+ в~) ~1"~~ля ~о1 где 81п Фс< ) =, <Фс(О) = 1). 2 Введем вероятность перевода в единицу времени (вероятность того, что система перейдет из состояния и в состояние т в единицу времени): 1 Р„= -И"„.
Тогда при 1 — ~ оо ненулевое значение Р „получается, только если ы „— ы = О или ы „+ ю = О, причем важны лишь вклады, содержащие функцию Рд 2к,- ~з 1 2к - Л1 ...= — „/<т~Р[>~ -„Р(,,+ )+ — „1<]Р[т>] Р( .— > При больших значениях 1 функция Р~(в~) стремится к дельта функции (см. (9.15)). Следовательно, Р „= — ((т[Р~п)( 6<Š— Е1+ Ьы) + — ~<н,Р~т) д<Кл Еп й~о) ° <91б> При выводе формулы (9.16) мы предполагали, что время 8 велико.
Это надо для того, чтобы Р <и) заменить на Б(в~). Однако 1 не должно быть настолько большим, что И'„„„ станет больше единицы (И' „есть вероятность и она не может быть больше единицы). При тех значениях $, при которых И' „оказывается больше единицы, недостаточно использовать первый порядок теории возмущений (полученное нами выражение для И'„,„) и надо рассматривать высшие порядки. 110 10 Квантовая теория рассеяния 10.1 Постановка задачи На силовой центр из бесконечности падает пучок частиц волновым вектором й„и плотностью потока М.
Измеряется число частиц пМ, которые попадают в детектор в единицу времени и энергия которых меньше энергии падающих частиц на е: йМ = д(е,д,у)ЖйП где д и р есть сферические углы детектора в системе координат, начало которой помещено в рассеивающий центр (ось е направлена вдоль вектора Йа), а дй телесный угол, под которым детектор виден из начала координат. детектор 3 д рассеиватель Рис.
1; Схема эксперимента по рассеянию частиц Величина дЖ Ы = — = у(е, и, ~0)дй называется дифференииалыным эффектпивным сечением рассеяния на углы д, у с потерей энергии е. Мы будем рассматривать упругое. рассеяние, когда е = О. Рассмотрим решения стационарного уравнения Шредингера: Ь~ — Л + Ъ'(т) ф(т) = Еф(т), отвечающие сплошному спектру. Ищется решение со следуквцей асимптотикой: Цт)=' ехр(~(йа т)) + А(д, ~р) ехр(йт) (10. 1) т (й = ~йа~, символом =' будем обозначать асимптотическое равенство). Здесь плоская волна отвечает падающему потоку, а сферическая волна — рассеянному потоку. Плотность потока падающих частиц: Радиальная составляющая плотности потока рассеянной волны: Ь 2 ( ехр( — йт) д (ехр(йт) ехр(йт) д ехр( — йт) у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
