И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 11
Текст из файла (страница 11)
смещена. Такое состояние, называемое коаерентнььм, не меняет своей формы с течением времени и для него в каждый момент времени выполнено условие минимизирук1щего волнового пакета ЬЧЛР = Ь/2. 5.4 Квазиклассическое приближение Постоянная Планка играет роль параметра малости, разделяющего квантовукг и классическую механику. Введем кеизикаисси ьеское лриблпжение Ь -+ О. Временное уравнение Шредингера 1Ь;- Ф(г,1) = ЙФ(г,1), Й = — + Р(г,1). д1 ' ' ' 2т Ищем решение в виде Ф(г,1) = ехр — о'(г,1) ,Ь и получим уравнение: — — — — = — (З7Я(г, 1))' — 1Х,З(г, 1) + 1'(г, 1).
до(г„1) 1 гЬ д1 2т ' 2 ел Представим Я(г,1) в виде формального ряда по степеням малого параметра Ь: о(г,1) = оо(г>1,) + (1Ь)о1(г,1) + (1Ь)'Яг(г,1) + и подставим ряд в уравнение для о'(г,1). Приравняем коэффициенты при одинаковых сте- пенях Ь. Получим уравнение Гамильтона-Якоби для функции действия оо(г.1) — — — -' — = ----(С7до(г,1)) + 1'(г,1), Яо(г,1) = У Цг,,г,1')си дно(г, 1) 1 д1 2т где Н„(х) полиномы Эрмита, зависящие от безразмерной переменной к = Ч/а, а коэффициент а = з/Ь/тоог имеет размерность длины.
Производя аналогичные вычисления, получим для формы волнового пакета в осцилляторном поле: и уравнение для Я~(г,1) дЯ)(г,1) 1 1 — — -- — ' — = — ())7ЯО(г, Е), ~751 (г, 1) ) — — ЛЯО(г, й), о)1 т ' ' ' 2тп имеющее смысл уравнения неразрывности. Величину дгаг1Яо можно интерпретировать как классический импульс ~7Яо(г,1) = р. Пусть )т = К(г).
Рассмотрим стационарные состояния системы: )р(г, Е) = )г(г) ехр — -Ы, Й(г))р(г) = ЕФ(г). Я(г,Е) = — Ю + (т(г), Ф(г) = ехр -о(г) (т(г) = — (то(г) + (гЬ)(тг(г) + (1Ь) тз(г) + оо(г,1) = по(г) — Ы, Я1(г,1) = (тг(г), — ()(7(то(г)) + У(г) = Е, 2(17(то(г), ))7(тг(г)) — Ь(то(г) = О. 1 2 2тн Для упрощения вычислений ограничимся одномерным случаем. Введем переменную х и величину р(х), такую, что Тогда о(~) = ~ ( р(~)й~,,(~) = 2р(~)! ( тр(*)) + о', где С' произвольная константа, которая выбирается так, чтобы: Ф~(х) = ехр (т(то(х)/Ь вЂ” (т,(х)) = .
ехр ~ — ' 3'р(х')(1х' /р(х) Ь,/ и общее решение: Границы применимости квазиклассического приближения. Из уравнения на Я(г, 1) = Я(х, г) получаем Используя дЯ/дх = дЯе/дх = р и р = 2згй/Л получаем следунзщее условие: ',дЛ~ Л )дх~ 2зг )р ! » ги6 дЪ' ' ,дх( Это означает, что либо кинетическая энергия должна быть достаточно болыпой. либо з'(х) потенциальная энергия должна слабо меняться. Таким образом, в окрестности зле точки поворота квазиклассическое приближение неприменимо ()р~ — > О). 1'ассмотрим точку поворота и (см. рис, 5.4) з и предположим, что в ее Ь-окрестности потенциальная энергия 1'(х) может быть аппроксимирована следующим выражением: Цх) = Е + у(х — а),.
О а — Ь и и+з"з Область где квазиклассическое приближение не работает — 2Ье р — 2кигу (х — и), дЪ'/дх = — у. и область линеаризапии потенциала — 2зз. В области, где потенциал линеен, квазиклассическое приближение работает если: з з (2пз-у(х — и~)я >> гибу, =~ ~х — и~ > Ь >> ~е — — з/— 1, 8пзу В области и — ззз < х < а+ Ь потенциал линеен и уравнение ?Предингера может быть записано в виде б2 12 — — Ф(х) + Ф вЂ” у(* — )" Ф( ) = ЕФ(х) 2ги з1хз (а — х) з~з = 2гиу/Ь~ Ф(х) = Ф(х) д' Ф(~) — яФ(~) = О, резпением Ф(г) которого является функция Эйри: Ф(х) = СФ(з), а — Ь < х < а+ з"з.
Т.к. ~х~ >> згЬе 1 мы имеем право использовать асимптотику функции Эйри , ехр 1 /2 з ---; а1п - ~г~з + 1,З з — у +со, Ф(г) = — я — у — 00. 4/ ' Таким образом, изменение длины волны на расстоянии порядка длины волны должно быть много меньше, чем сама длина волны. Это означает, что понятие длины волны должно быть достаточно хорошо определено. Получим еще один вид условия применимости квазиклассического приближения Сравнивая квазиклассическое решение с асимптотикой функции Эйри на границе области ~а — х~ = ьь, где потенциал линеен, можно установить вид квазиклассической волновой функции слева и справа от точки поворота А 1 Г Ф(х) = ехр — — / п(х')ььх' ,~.— (х) Ь,/ х х 2А .
1 1,, я Ф(х) = зш — У ф(х')дх' +— ь/4") х<и — Л, х>а+А. Если помимо точки поворота и присутствует и вторая точки поворота Ь, то в ее окрест- ности напишем аналогичное решение: А' 1 Ф(х) = . ехр — — / п(х)дх' „/п(х) Ь./ ь ь Ф( ) = — '' — / ~М( ') ,/Д(х) Ь 4 х >Ь+Ь, х < Ь вЂ” Ь. Если в одномерной задаче присутствуют сразу обе точки поворота, то движение финитно и мы имеем дело с движением в некоторой потенциальной яме.
Найдем спектр в квази- классическом приближении. Квазиклассическое решение должно иметь вид х 2А, 1 1,, я Ф(х) = ....яп — ~ Д(х')Йх' +— /Д(х) Ь,/ 4 ь Ф(х) = -- вш — / ф(х')с~х' +— /ф(х) Ь,/ 4 х >а+ьь, х< 6 — Ь, х ь А яп — 11(х')ь1х' + — = А' яп — Дх')ь4х' + Ы' Преобразуем аргумент первого синуса х 1 à — фх)ьЬх + — = и — и, Ь/ а и = — у Д(х')йх' -' —, и = — ~ Ях)йх'+ --. Ь ,| 2 ' Ь,/ 4 Тогда А яп(и — и) = А' яп и, А яп и сов и — А соа и яп и = А' яп и, А' = ( — 1)" ь'А.
чтобы, с одной стороны, оно соответствовало убывающим функциям слева от о и справа от Ь. С другой стороны, два, написанных выше, квазиклассических решения внутри ямы (и < х < 6) должны совпадать. Поэтому Решение и = пя, (где п = 1, 2,... ) тригонометрического уравнения в1п и = О, приводит к следующим квазиклассическим условиям квантования: ь в = — / Ях)йх = ~п ч-,-(к, в=0,1,2, Ь/ -~ 2( а 1р( ) или р(х)ь1х = 2;т6 и +;, ть = 0,1.2, з 75 Это так называемые условия квантования Объем фазового пространства прихоБора-Зоммерфелъда. Они показывают, что в фазовом пространстве 1х, р) одно квантов~>е состояние в одномерном случае занимает объем 2згЬ, а н трехмерном случае объем (2яй)з.
Модуль Ш. Движение в центральном поле для нерелятивистской и релятивистской частиц 6 Момент количества движения 6.1 Момент количества движения Оператор момента количества движения есть вектор оператор 3 = Ае,, + Хде„+ Х е„ (6.1) (Х,Х~ = -Х„ Ус, У, и есть циклическая перестановка х, д, я. (6.2) Оператор квадрата момента количества движения ,уз = ,у, + ,у„ + ,у, . (6.3) ~,У'.,Ц = У(,У„,З,~+ ~Х,Х,~+ (Х У,.~ = ХХ„+ У„,У, — Х„Х, — Х„Х, = О. коммутирует с любой его компонентой.
Поэтому Уе и У, имеют общий базис. ,У ~Л,д> = Ь'Л!Л,,>, Х ~Л,д> = Ь ~Л,д>. Имеем ,У, = Ух +,Ур =~ Ь Л вЂ” Ь Уз' = (Л, ф~(,У, (Л, Уз> -~- (Л, фз/ Уя (Л, Уа) ~) О =~ 1~1 ~ ~Уз ~ (Узз. Операторы повышения и понижения второго индекса А = Ух~ьУя. (6.5) Х,'=Х. Пусть )Я = Х,)Л, р). Тогда Уз ~У..> =,У'.У,/Л, д> =,У, У2! Л, р) = Ь'Л Х„~Л, д) = Ь'Л ) У ). ,У, $У„) = Х ~Х + 1Х) $Л, р) = Ь(л ' 1) (Х, + 1,У„) /Л, л) = Ь(р+ 1) $У,). Следовательно, ~ У~) есть либо ноль, либо ~Л,д+ 1>. Аналогично ,У ~У > = ЬЛ!У >, ~у > = Х ~л„д>, Следовательно, ~У. ) есть либо ноль, либо ~Л,д — 1).
Далее ,У (Л„из) = О, Х (Л, р ) = О. (6 6) Х 1~ = (,У вЂ” 11~) (,У + з,У„) =,Уе — Х вЂ” ЬЛ„=> Ь~ (Л вЂ” д~~ — лз) /Л, лз) = О. 78 компоненты которого связаны друг с другом с помощью скобок Пуассона., аналогично клас- сическому моменту количества движения 6.2 Орбитальный момент количества движения Оператор орбитального момента количества движения 1.
= гхр. (6.10) ( 1 д Д 1 д2) 1. = — Ь' —; — — агп д — + — й — — — ) егггзд ~~з) (6.И) (6.12) Сферические функции Уг (д, р) 1,зУ, = Ь'г(г+1)Уг А,Уг = Блие'ь„ (6.16) ги = — с,— 1'+1,,с, Ь, Уг„„= Ъл Уг — ~ — г'Ь вЂ” Ф,„(~р) = ггтФ (у) — ~ Ф„,(у) = Се""~. д~р Однозначность Ф,„— ~ гл целое -+ г целое. Уа (д,Ю) = 13 (д)Ф„,М), < 1 д, д 7П 1 ( ) ' 2 гп~( ) япд дд дд егнз д1 ™ 0 < д < зг. х = соа д и Рг (х) = йг (д) < г1 гия — (1 — х') — + г(с+ 1) — — — — ) Р „(х) = О, Нх Нх ) — 1<х<1, Г21+ 1 (Р— т)1 1 е в г1г'"" -(х) = —,— — — ( -")' ("-1), ~( 2 (1+ т)'.
2г И йхгг' Ъе (д,гр) = Рг„,(соад) — =-е'""~, !У~ (д,гр)/ япдгЕдгКр = 1. ~г 2~г (6.14) Полярная диаграмма график функции г = Р~г (сон д)/2я. 80 В сферической системе координат г, д, у 2~г е ~Ф М)! гор = 1, Ф (И) = — -=-.""', ~/2~г 1=0,т=О 1=1,тп=О 1=1,(п=1 6.3 Спиновый момент количества движения Оператор спина Я=Я,,е,+Я~с +Я,е„ (6.15) о., =и. =, (т, =па — . ' , .стз — и, = .,6.16) 3. сутр + стрсть — — О, /с ф с, 4. сть(тр = рст„( где (с, К, в есть циклическая перестановка из 1, 2, 3.
Пусть Ь, /,', и есть пиклическая перестановка иэ 1, 2, 3. Тогда Ь 2 Ь 2 ,Ь 2 БьБр — Яфь — — — (с(ь(тр — (трпь) = — (ть(тр = р'--ст„= рЬЯ„ 4 2 2 удовлетворяют коммутационным соотношениям (6.2). Далее, 2 2 я Ь я я я ЗЬ я ~2 с + ~ + 5' (с(2+ ~2+ 2) Поэтому любой двурядный столбец есть собственная функция оператора Я~, соответству- ющая собственному числу и = 1/'2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
