И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Качественно (без соблюдения масштаба), взаимное расположение уровней энергии в конечной и бесконечной ямах и резонансов в конечной яме показано на рисунке 4.8. -а (О а х ΠΠ— а О " х Рис. 8 Уровни энергии и их четность в прямоугольной потенциальной яме конечной и бесконечной глубины. Стрелками отмечены положение и четность резонансов. 4.3 Прямоугольный потенциальный барьер Рассмотрим частицу с массой тпо движущуюся в поле потенциального барьера вида О, х < — а, 1, Ъ'(х) = Ъ'о, !х/ < а, П, О, х > а, П1. 7 (х) П ,' П1 Так как Ъ' = Р;„= О, то у частицы не кюжет быть дискретного спектра. Потенциал ограничен снизу $'(х) > О, следовательно и спектр энергии ограничен снизу Е > О.
Таким образом, любое неотрицательное значение Е есть точка сплошного спектра. Так как потенциал симметричен, то — а О а Рис. 9 Прямоугольный потенциальный барьер. Ф(: ) = =Ф(-х). 53 Пусть частица налетает па потенциальный барьер слева. Тогда задачу можно решать так, как это было сделано для прямоугольной потенциальной ямы (случай Е > О), заменив 1'о — ) — Ро. Энергия ниже высоты барьера 0 < Е с Ъ~.
Используя (4.9), (4.10) и (4.11), получаем выражения для коэффициентов прохождения и отражения: 1 р Ро , з 2гпо Т= — — — —, Л= —, р=, эй(2оа), а=~/ — -(Ъо — Е) >О. 1 -' р' 1 + р' 4Е(Ро — Е) При Е с Р~ величина р ~ 0 и при увеличении энергии монотонно убывает, а при Š— ~ 0 параметр р — э оо. Имеем, Š†) О, Š— ~ го, Т вЂ ) О, Т вЂ” ~ 1/(1+ Я).
й †> 1, й — ~ Я/(1+ Я), р — ~ оо, Рассмотрим волновую функцию в базисе бегущих волн, т.е. рассмотрим падающую, от- раженную и прошедшую волны (см. (4.8) при А~ — — 1 Лз —— — О и с заменой ~г на их). И й) Рис. 10 Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль для энергии вблизи вершины барьера (Е = 0.9'го). Энергия выше высоты барьера Е > ~~. Заменяя 14 на — )~~ в формулах (4.9). (4.10) и (4.11), получаем для коэффициентов отражения й и прохождения Т выражения Т= —, 1 й = 1+ р' Таким образом, мы знаем коэффициенты отражения и прохождения при всех положитель- ных энергиях.
Их графики для барьера с Д = 1.75к изображены на рисунке 4.11. При малых энергиях вероятность обнаружить частицу справа от барьера мала. Именно там мал модуль волновой функции ~ф~ (см. рис. 4.10). Слева от барьера волновая функция представляет собой интерференцию падающей и отраженной волн. При увеличении энергии справа от барьера ~ф~ возрастает, что соответствует увеличению коэффициента прохождения. Внутри потенциального барьера (физически запрещенная область) модуль волновой функции экспоненциально затухает (см.
рис. 4.10), однако в нуль не обращается даже для самых маленьких энергий. Таким образом, для квантовой частицы существует не нулевая вероятность прохождения сквозь барьер туннельный эффеочп. 1.0 и резонансы Рис. 11 Коэффициенты прохождения и отражения. Эти значения энергии представляют собой резонансные уровни, аналогичные тем. которьн. наблюдались в прямоугольной потенциальной яме.
Сравнение движения квантовой и классической частиц. 1. При Е < Ъ'„классические частицы не могут пройти сквозь барьер и отражая>тся, то К = 1, а Т = О. Квантовые частицы могут пройти сквозь барьер несмотря на то, что их энергия меньше, чем его высота. Это так называемый шуннельныг1 эффект. Вероятность туннелирования мала при малых энергиях и растет с ростом энергии. 2.
Когда энергия частицы меняясь проходит через вершину барьера. движение классической частицы резко меняется. При энергии сколь угодно мало отличающейся от высоты барьера и меньшей, чем высота барьера частицы полностью отражаются. При энергии сколь угодно мало отличающейся от высоты барьера и большей, чем высота барьера все частицы проходят над барьером. Поведение же квантовых частиц почти не меняется.
когда энергия проходит через вершину барьера. 3. При Е > У~ классические частицы полностью проходят над барьером. Единственное, на что влияет барьер это скорость частицы: над барьером скорость меньше, чем вне барьера. Квантовые частицы, в общем случае, лишь частично проходят над барьером, часть их может отразиться. Это так называемое надбарьерное отражение. Лишь при некоторых, реэонансньп, энергиях квантовые частицы полностью проходят барьер. Трансляционная симметрия. 1'ассмотрим стационарные состояния частицы в периодическом поле: $'(я -~- и) = Ъ'(я) (4.16) Т.Х(я) = Х(я-а).
(4.17) Оператор трансляции определен во всем гильбертовом пространстве и является ограниченным. Оператор Т, ' есть Т „, так как Т,Т, = У. Оператор Т,~ совпадает с Т,. Таким образом, оператор Т, есть унитарный оператор. Вследствие трансляционной инвариантности потенциала (4.16) Т.Й = ЙТ.. 55 4.4 ь1астица в периодическом потенциале где а период. Введем оператор ьчринсаяпии Т,: Вертикальная пунктирная черта показывает положение вершины потенциального барьера. При энергии ниже высоты барьера коэффициенты Л и Т ведут себя монотонно. Однако, при энергии выше высоты барьера, наблюдаются осцилляции и при некоторых значениях энергии коэффициент отражения оказывается равен нулю. то есть барьер полностью прозрачен для частиц с такой энергией.
Поэтому в качестве собственных функций оператора Гамильтона можно взять такие, ко- торые являются собственными функциями оператора трансляции: Т,ф(х) = Лф(х). (4.18) Уравнение (4.18) не имеет квадратично интегрируемых решений. Поэтому оператор Гамильтона частицы в периодическом поле не имеет дискретного спектра. Однако, если Л = ехр(Иа) с чисто вещественным й, то уравнение (4.18) имеет решения, ограниченные на всей оси х. Такие решения соответствуют сплошному спектру оператора Гамильтона.
Параметр к принято называть волновым числом. Волновые числа к и йз — — Йг+ 2к/а эквивалентны. В качестве неэквивалентных к можно взять числа заполняющие отрезок вещественной оси длиной 2к/а. Принято брать к в интервале 7Г я — — <й< а а (4.19) Оказывается удобным включить в интервал обе точки — к/а и к/а, хотя они эквивалентны.
Таким образом, в качестве волновых функций )д(к,х) сплошного спектра будем брать функции, удовлетворяющие условию (4.18) с вещественным к из интервала (4.19). Соответствующую энергию обозначаем Е(й), причем Е( — й) = Е(к). Условие, которому удовлетворяют такие волновые функции частицы в периодическом поле, можно записать в виде ф(й, х + а) = е' 'ф(й, х) (4.20) ~(Ь, х) = е' '*и(й, х) где и(к, х) есть периодическая функция и(к,х+ и) = и(к,х) Принято функции, которые удовлетворяют теореме Блоха, называть блохоосними фднн- ииями. Нормировка блоховских функций.
Блоховские функции не интегрируемы с квадратом модуля и скалярное произведение блоховских функций надо доопределитгк (й1) х)ч)(Й2)х)ах = 11п1 у)*(йг.х)ф(н2)х)Й2. 7 ~ ! ~ ~ ~ н ~ ~ ~ ~ ) ! ь (4.21) Поопределение состоит в том, что пределы стремятся к бесконечности симметрично и интегралы берутся по иеаомд числу периодов. Имеем — )))))) )а))) )а)) е)а а = (йз — Й1)а, Соотношение (4.20) известно как пиеорема Блоха. Можно предложить альтернативную формулировку теоремы Блоха: волновую функцию ф(к, х) можно представить в виде про- изведения 2йга, в1п сгЖ 2Ыгт6(гг) 2л 1пп Як —— —. — 1ш — = 2~г6(гг) = — Б(йя — й ), к--~ с' — 1 к-~ яп е'" — 1 а Г 2х Р Ф*(1гп х)ФЯ2, х)г1х = а(к2 — 1ч) -- / 6 (к1,х)р(кз,х)ггх. и,/ ОО о Если а — ~ 'рг(й,х)~ дх = 1, а,/ о (4.22) то блоховские функции будут нормированы на о-функцию.
Спектр оператора Гамильтона. Возьмем некоторое значение Е и найдем решение уравнения с ~2 ц2 — — + Ъ'(х) — Е ~(й,х) = О, 2гио г1х~ (4.21,' удовлетворякэщее теореме Блоха. Наложим граничные условия на периоде (О, иаир 4>(й. и) = е'~'гр(Й,О) ф'(Й,и) = е'~'ф'(Й, 0). (4.20) Ф~(0) = 1, ~рз(0) = О, р',(11) = О. р (0) = 1. гр,(*)рз(х) — Ч'г(х)~рз(х) = ~р~(О)~ря(11) — рг(0)рз(0) = Е Возьмем общее решение уравнения (4.24) ф(х) = Ар~(х) + Врз(х) и определим коэф- фициенты А и В так, чтобы выполнялись граничные условия (4,25), Получаем систему двух линейных однородных уравнений относительно А и В.
Приравнивая определитель системы нулю приходим к уравнению 1 — е'"' (р (и) + р,'(а)) + е""' = (). Обозначая 1 Ь"(Е) = — (~р~(и) + р~(и)) (Я(Е) зависит от энергии Е так как уг(а) и р'(и) есть решения уравнения (4.24) при данном Е), запишем уравнение в виде Я(Е) = совйа. Это уравнение позволяет при данном Й найти соответствующее значение Е, то есть опре- делить закон дисперсии Е(Й). Возьмем иариальндю фундаментальную систему линейно-независимых решений р~ и ря уравнения (4.24): Периодически повторяющиеся прямоугольные потенциальные барьеры. Вычислим функцию Я(Е) для потенциала из периодически повторяющихся прямоугольньгх барьеров шириной б и высотой Ъо (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
