И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если ~а) нормирован на единицу, то и~ = )с.) = )Ц)и)( есть вероятность того, что при измерении А будет получено Л,или и есть вероятность того, что система находится в состоянии ~Я. Вектор ~а> есть когерентная смесь (известны не только модули, но и фазы коэффициентов с.). В чистом состоянии ~а) М = (а~Мха), при условии, что ~а) нормировано на единицу. * Если известны только вероятности щ~, то состояние называется смешанным. Тогда М = ,'~ и~1 (ЯМ(1>, при условии нормировки ~~ слу = 1.
(3.20) * Смешанное состояние описывается статистическим оператором (или матрицей плотности). Пусть имеется Тогда статистическим оператором называется р = ~~> ~й) шй (й~. й=1 (3.21) Он описывает смешанное состояние системы в том смысле. что М = Тг(рМ), ЧМ. (3.22) Действительно. Пусть ~К) есть какой-нибудь полный ортонормированный базис М = Т.(РМ) = ~(г,рМД = ~~<г~ж> ~й<й~и~~> = Е=1 й-..1 й=г и ж Т4 юй ~ (й~М(Р) (Х(й) = ~ шй(И)М,'И). й=1 Е=1 й=1 М = Е =~ Тг(р) = 1 (условие нормировки статистического оператора). Спектр статистического оператора ДУ> = Л~У), 0 < Л < 1. Действительно, и УФ (и~р~п) = ~~1 (а/й) ий (Й/а) = ~ь пай!(7с/а)3з, й=1 й =1 ый > 0 => (и~р~и) ) О, 11 /(й/а)~ < (й!Й) (а!и) = (а~а) =~ (а~р1и) < ,'1 ий (и!н) = (а~~а).
й=.1 и и а И р = ~,~1г) ~ (й1, р' = ~~~ ~ ~й) Ъ(йО)~,(З~ = ~1 !й) ~(й~.. й=1 й=1 1=-1 й=1 ай=01, ~~ иЪ=1 и~й = 5йтп. Матрица плотности Матрица статистического оператора называется матрицей плотности <3.23) Статистический оператор чистого состояния ~а) есть проектор р. = 1и) (п~.
Если статистический оператор есть проектор,то состояние чистое. Действительно, Матрицу плотности необходимо использовать, когда рассматриваемая квантовая система является подсистемой большой квантовой системы. Пусть ф(х, х) волновая функция системы, х - переменные подсистемы, я остальные переменные, М~х) относится к подсистеме. Тогда М = ф'(х, г) М(х) ф(х, г) дх (Ь. где Таким образом, р ь есть матрица плотности подсистемы в представлении Л. 3.3 Изменение состоянии квантовой системы при измерении. Третье положение: Если при измерении физической величины Ь было получено значение Л, то при повторной регистрации через бесконечно малый промежуток времени будет получено то же самое значение Л.
Пусть состояние системы до первой регистрации описывалось вектором ~а), и пусть измерялась величина ь с чисто дискретным невырожденным спектром Представим (3. 24) Если при первой регистрации было получено значение Л., то при повторных регистрациях будет получаться одно и то же значение Л .
Следовательно, после первой регистрации система оказалась в состоянии, описываемом вектором ~~Я. Таким образом, в результате измерения состояние системы изменилось Такое изменение вектора состояния принято называть редукцией волнового пакета.
Чтобы приготовить систему в заданном состоянии ~н), надо найти оператор С, собственным вектором которого является ~и), произвести измерение величины С и отобрать то состояние, при котором измеренное значение 6 оказалось равным собственному числу, соответствующему ~и). 40 ЗА Изменение состояния квантовой системы в промежуток времени между измерениями Четвертое положение будет сформулировано в конце этого раздела. * Рассмотрим сначала чистое состояние квантовой системы. Примем,что в квантовой механике верно соотношение 4Х дК Ж д> аналогичное закону изменения во времени классической величины 1. Это соотношение можно записать в явном виде д - дЬ >' — (и)Ь(а) = (а~ — — ~и) + — (и~~НИ вЂ” Л 11~~а).
й а ь (3,25) Так как 1. есть физическая величина, то (3.25) должно быть верно для любого эрмитовского оператора. В то же самое время, умножая правую и левую части (3.25) на мнимую единицу, получаем, что (3.25) должно быть верно и для любого антиэрмитовского оператора (если Х эрмитовский, то гХ антиэрмитовский). Так как любой линейный оператор можно представить как сумму эрмитовского и антиэрмитовского операторов, то соотношение (3.25) должно быть верно для любого линейного оператора.
Используем представление Шредингера (зависимость от времени введена в вектор состояния) и координатное представление, то есть состояние квантовой системы будем описывать волновой функцией ф(х,1), где х совокупность всех переменных системы. В этом случае >1 — Г д>~>*- Г,д1 Г „- д>>> Х Г „, Г„,. „, ! „,.— 11 /а / а / а Ь = тих*1 фдх, — ~* — ф 1х, ~Й,Х1~ = — ' ф*(Й1 — КЙ) ~,'>~х. д1 / И ' ' Ы Тогда (3.15) дает Г дф*- Г - дф г' — Л ~Их + />~>*1, — дх = — / ф' (Н1, — 1 Н) ф>1х. а / д " Ь/ Это равенство можно записать в виде >> ( (Г>) ( —, -'Йф~ >и = О.
гй — ~(х,~) = Й(х,~)4(х,~). (3.26) Это уравнение, которое определяет волновую функцию как функцик> времени называется уравнением Шредингера (временным уравнением Шредингера). Уравнение верно для лк>бого линейного оператора Х. Следовательно, функция >р = 1~6 может быть любой. Поэтому фигурная скобка должна быть равна нулю, то есть должно выполняться уравнение Для того, чтобы из уравнения Шредингера получалась определенная волновая функция, надо задавать начальное условие.
Так как уравнение Шредингера есть дифференциальное уравнение первого порядка по времени, то в качестве начального условия надо задавать волновую функцию в начальный момент времени (Р(и,1о) = фо(и). Нормировка волновой функции сохраняется во времени, поскольку нормировочный интеграл есть среднее значение единичного оператора. Уравнение Шредингера для вектора состояния Ю вЂ” (а(Х)) = Й(а(Е))> (а(1о)) = (ао). (3.27) * Рассмотрим теперь смешанное состояние. Так как над системой не производятся измерения,то веса и(ь не зависят от времени и статистический оператор имеет вид РЯ = ~»~ ~Й(1)) и((> (Й(»)( Ро = Р(»о) = ~, 1Й(1о)) ц(ь (Й(»о)~. Тогда >ьг>ю = К((о — Зю() ~ о(>(( -»Йж ~аг><ю() д Однако, гй — ~Й(1)) = Й~Й(8)), — 16 — (Й(1)~ = (Й®(Й.
д» д» Поэтому ь'Б — РЯ = Йр(») — РЯЙ, д д» (3.28) РЯ = ро. Полученное уравнение называется квантовым уравнением Лиувилля. к1етвертое положение: * В интервале между измерениями чистое состояние квантовой системы развивается во времени по уравнению Шредингера, а смешанное состояние квантовой системы развивается во времени по квантовому уравнению Лиувилля. * Развитие состояния квантовой системы во времени определяется состоянием системы в начальный момент времени и не зависит от того, как это состояние было получено (не зависит от истории).
Оператор эволюции. Изменение волновой функции во времени можно представить себе как результат действия оператора эволюции на волновую функцию начального состояния Ф(»,1) = ~(т,1,М4(»,1о). Оператор эволюции унитарный. Действительно, нормировка сохраняется во времени ю '( „»(»(*,> ( >* = ~ю'(к,>(Ф(*:,>( о = 1 (»(,» ()' »(к,>,»( ь = ( с ( (Р*(~>»о)~ (»>»>»о)~(с»>»>»о)4(и>»о) ":» 42 Так как функция ф(х, 1о) ля~бак, то Б (и, 1, 1о) Я, и, 1, 1о) = Ь'.
Уравнение для оператора эволюции. Используя уравнение Шредингера, получаем й,— Я(х,1,1о) ~(х,1о) = 11(х,1)Я(х,1,1о) 4(х,, Цо). сч' Так как ф(х, Ро) произвольна, то 16-- э(х,~,~о) = 0(х,1)Я(х,1,йо). д1 Начальное условие для оператора эволюции, 3(х, 1о, 1о) = Е. Уравнение для оператора эволюции имеет явное решение Я(х,1,, ~о) = ехр ( — — Й(х) (1 — ~о) Ь если оператор Гамильтона не зависит от времени 11 = 11(х). Представление Гейзенберга.
Используя оператор эволюции, можно перейти к представлению Гейзенберга, в котором волновая функция не зависит от времени, а вся зависимость от времени перенесена в оператор. Имеем 1-Я вЂ” Ф (х р 10) -'~ (х. ~; 10)1 (х, ~) ~(х, 1 ~о) Ф(х, 10) ~х Таким образом, волновая функция остается неизменной, а от времени зависит оператор 1 н(х,1) = о (х;1,го)1а(х,г)Я(х,.г,го). Если Х(х) и 11(х) не зависят от времени,то 1.(х) в представлении Гейзенберга имеет вид 1н(х 1) егй~ ~~1(х) е-кй( Уравнение неразрывности для уравнения Шредингера. Напишем уравнение Шредингера для волновой функции ф(г, 8) частицы с массой ~ло, движущейся в поле Ъ'(г, 1), и его комплексно сопряженное д 1 ло й — ~~(г, 1) = ~ - Ь вЂ” Ь'(г, 1) ф(г, 1), д1 ' ~ 2гно д.(Ьз — ~Ь вЂ” ф*(г,$) = ~ — Ь вЂ” T(г,1)) ~~*(г,1).
д1 ' ~, 2то Умножим слева первое уравнение на ф*(г, 1), а второе уравнение на ф(г, 1), и вычтем из первого второе. В результате получим д д, 1 Ьз Ь ~ф*(г, 1) — ф(г, 1) + ф(г, ~) — ~~*(г, 1) ) = —,— — 1 ф'(гДЬф(г, 1) — 6(г, 1) Ьф*(г, 1) 2гпо Полученное уравнение можно записать в виде уравнения неразрывности д — р(г, г) + йъ 1(г, г) = О, д1 если учесть, что д д . д ~* (г, 1) — ф(г, 8) + ф(г, Ф) — ф*(г, Ф) = — р(г, 1), где р(г, 8) = ~ф(г, 1) ~~, 6 (г, 1)Ьф(г,8) — ф(г, Г)Лф*(г,1) = йч3(г, Г), Яг, й) =, (ф*(г, Е)~7ф(г, й) — ф(г, й)~7ф" (г, й)) .
Ь 2 ОВ Стационарные состояния. Если оператор Гамильтона системы Й(х) не зависит от времени, то система может находится в специальных состояниях, которые называются стационарными состояниями. д зЬ вЂ” Ф(х,г) = О(х)Фх,а). Ф(х,~) = Ф(~)ф(х) ~ ----И вЂ” Ф(8) = -- = Е, 1 д Й(х)ф(х) Ф(~) д~ ~(х) Ьдф(Е) = ЕФ(Х) Ф(Х) = А ', д1 Й(х)~(х) = Ей(х). (3.29) Следовательно, функция ф(х) есть собственная функция оператора Гамильтона фн(х), соответствующая собственному числу Е и ч (х,1) = е к 'фн(х). (3.30) Состояния, которые описываются волновыми функциями вида (3.30), называются стацио- нарными. Особенностью стационарных состояний является то, что в них не зависят от времени ни плотность вероятности найти значение х, ни среднее значение любой физичес- кой величины, явно от времени не зависящей, р(х,й) = !Ф(х,й)/ = !фн(х)!~, Е = Ф(х, а)Цх)Ф(хД йх = ехн'~~' (х)й(х)е гн'4н(х) йх = 4(х, 1)*Е(х)~(х, й) йх. Уравнение (3.29) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.
Здесь р(г, г) есть плотность вероятности найти частицу в момент времени 1 в точке г, а 3(г, 1) есть плотность тока вероятности. Модуль 11. Простейшие квантовые системы. Связь квантовой и классической механик 4 Простейшие модели 4,1 Общие закономерности одномерного движения Простейшие модели это идеализированные ситуации, допускающие точное решение и анализ. Главное упрощение использование одной переменной, так что уравнение Шредингера из уравнения в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением. Рассмотрим общие свойства движения частицы в одномерном случае, Пусть х пространственная переменная, изменяющаяся в пределах — оо < х < оо.
Будем рассматривать стационарное состояние частицы, волновая функция ф~х) которого удовлетворяет уравнению Шредингера для стационарных состояний: Й(х) ф(х) = Е~(х). Оператор Гамильтона Й частицы 6 Н = — -- — + Ъ'(х), Цхз где ~" (х) оператор умножения на вещественную функцииэ 1'(х), описывающую локальное потенциальное поле. Волновая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
