И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Координата х частицы известна с точностью Ьх. Вследствие диффракции импульс частиц имеет разброс и х-компонента импульса определена с точностью Лр = рипа, где и угол, соответствук1щий первому минимуму Л = р аше = — —, тт Следовательно, Экспериментальные факты второй группы свидетельствуют о дуализме волна-частица, то есть о том, что микрообъект не является ни классической частицей, ни классической волной, а представляет собой объект более сложной природы, который в одних условиях ведет себя как классическая частица, а в других условиях ведет себя как классическая волна.

Корпускулярные свойства объекта г', р и его волновые свойства и, ы, к связаны соотношениями 3. Измерение импульса частицы. Е, р и ря энергия и импульс частицы до столкновения, Я', р', и р' те же величины после столкновения. Законы сохранения энергии и импульса 6(и — и')= Е' — Е, сси' с Ьи +— с ! Р~= Р* Рр Ря 5 Выразим энергия> частицы через импульсы (в нерелятивистском случае — « 1) с 2т ( ' Перепишем закон сохранения энергии 1 (, 1си 1си' /Ьи'1 ' /1си'~' 6(и — и') = 2р„— — 2р, + ~ — -) + ~--- ) 2пс~ Яс *с 1с) ~с Отсюда уравнение для р, Точность определения р зависит от точности измерения частоты и'.

бр, = (1+ + — ) Ьби'. гпс ~, тс тс~ ) В нерелятивистском случае би' Ьр, = тс —. и! Измерение частоты с точностью би требует времени Т 1 Т = —. би' Если столкновение частицы и фотона произошло в начале интервала Т, то частица оказалась в точке с координатой I х1 — — х + — Т. Ря т Если столкновение произошло в конце интервала Т, то частица оказалась в точке с координатой Рх хз —— х-, — Т. т Частица с точно известными х компонентой координаты и у компонентой р„импуль- са облучается потоком фотонов вдоль оси р, причем частота ь налетающего фотона известна точно. Измеряется частота и' фотона, рассеянного в направлении оси х.

Из этих данных можно найти х компоненту импулы:а частицы р, до рассеяния. Неопределенность в координате я ~Р Р Лх = )я~ — яз) = ' -Т вЂ” — —;. т гпс ди' Следовательно, получается соотношение неопределенностей Анализируя любые возможные опыты по измерению координаты и импульса и используя дуализм волна частица, каждый раз получается соотношение неопределенностей ЬЯ ЬР, » 6. Поскольку дуализм волна-частица установлен экспериментально, соотношение неопреде- ленностей целесообразно считать экспериментальным фактом.

1.4 Абстракции классической физики и их ограниченная применимость к явлениям микромира. В классической физике предполагается, что при достаточно осторожном использовании приборов они не могут заметно повлиять на исследуемый объект. Более подробно, эти предположения (абстракции классической физики по терминологии В.А.Фока) состоят в следующем.

1. Абсолютизация физического процесса. Физический процесс рассматривается как происходящий сам по себе, безотносительно к средствам наблюдения, то есть как происходящий одинаково, вне зависимости от приборов, при помощи которых он исследуется. Мысленный эксперимент с полупрозрачным зеркалом.

2. Возможность неограниченной детализации физического процесса. В классической физике предполагается, что возможно неограниченно уточнять наблюдение и наблюдать разные стороны одного и того же процесса, не нарушая самого процесса. Считается, что комбинация всех полученных данных дает полную картину процесса. 3. Абсолютизация понятия состояния системы. Процесс есть последовательная смена состояний системы во времени. Абсолютизация процесса приводит к абсолютизации понятия состояния системы, как некоторой исчерпывающей характеристики системы.

1.5 Квантово-механическое описание явлений и понятие состояния квантовой системы. Прибором называется такое устройство, которое, с одной стороны, может взаимодействовать с микрообъектом и реагировать на его воздействия, а с другой стороны, допускает с точностью, достаточной для заданной цели, классическое описание. В качестве основного элемента физической теории целесообразно взять результат взаимодействия микрообъекта с классически описываемым прибором. Из рассмотрения таких взаимодействий выводятся свойства микрообъектов.

Предсказания теории формулируются как ожидаемые результаты взаимодействия. 10 При такой постановке вопроса в понятии дуализма волна частица не оказывается никакого противоречия. Те внешние условия, в которых проявляется способность микрообъекта к локализации, и те внешние условия, в которых проявляется способнсють микрообъекта к интерференции, оказываются несовместимыми. Очень важной является такая постановка опыта, в которой можно различать три < тадии: 1 приготовление объекта, П поведение объекта. в фиксированных (классически) внешних условиях и П1 собственно измерение (регистрация).

В соответствии с этим в приборе различаются три части: приготовляя>щая, рабочая и регистрируя>щая. Совокупность 1 и П стадий можно рассматривать как единый начальный опыт. Стадию П1 можно рассматривать как поверочный опыт. Совокупность начального и поверочного опыта образует полный или завершенный опыт.

Только завершенный опыт дает возможность узнать что-либо о свойствах изучаемого физического объекта. При одном и том же начальном опыте поверочные опыты могут соответствовать измерению различных величин. Пусть начальный опыт воспроизводится много раз и условия его одни и те же. Проведя серию из и, измерений величины а, получим и значений: А<, Аз,..., А„.

Оказывается, что в этой серии существует определенная вероятность (или плотность вероятности) появления определенного значения величины а. Возможны два случая. Первый случай. Величина а может принимать лишь дискретные значения. Возьмем серию из и измерений и подсчитаем гаь число измерений, в которых было получено значение ав. Оказывается, что существует предел т>„. и>в — — 11п> —, -> и,' который называется вероятностью появления величины ая. Второй случай.

Величина а может принимать значения из непрерывного интервала а< < а < аз. Возьмем некоторое значение а' и малый промежуток Ьа. Сделаем серию из п измерений и подсчитаем число ьа измерений, в которых величина а получилась в пределах от а' до а'+ Ьа. Тогда оказывается, что существует предел 7П и>(а', Ьа) = 1ш а->ОО И и в большинстве случаев (хотя и не всегда) существует предел и>(а', Ьа) р(а') = 11ш ьа — >О Ьа который называется плотностью вероятности появления величины а'. Совокупность величин и>ы рассматриваемая как функция Й, и р(а)> рассматриваемая как функция а, называн>тся распределением вероятности.

Для распределения вероятности имеют место условия нормировки я> ь а< Существование вероятности (или плотности вероятности) представляет собой экспериментальный факт в том же самом смысле, как закон сохранения энергии можно рассматривать как экспериментальный факт. Существование вероятности позволяет сделать вывод о том, что совокупность завершенных опытов, соответствующих измсренин> одной физической величины, образует «татистический коллектив, или ансамбль. При одном и том же начальном опыте, но при измерении разных величин, мы будем получать разные распределения вероятности и, следовательно, разные ансамбли.

11 Состоянием квантовой системы называется совокупность потенциальных возможностей для любого поверочного опыта, вытекающих из данного начального опыта. Оказывается, что все потенциальные возможности, а следовательно и вероятности, могут быть выражены через одну величину - вектор состояния (или волновую функцию). 2 Математический аппарат квантовой механики 2.1 Абстрактное Гильбертово пространство. 1. Гильбертово пространство линейно.

В Гильбертовом пространстве Жопределено сложение элементов, то есть любой паре элементов» и д Гильбертова пространства сопоставляется элемент Ь »+ д = 6 так, чтобы выполнялись соотношения (2.1) »+д=д+», (» + д) + 6 = » + (д + 6) и существовал нулевой элемент Н »+в= » 'у». Нулевой элемент Гильбертова пространства 6 принято обозначать символом О. (2.2) (2.3) В Гильбертовом пространстве Ж опредс-;лено умножение элемента на комплексное число, то есть любой паре: элемент Гильбертова пространства» и комплексное число а, сопоставляется элемент д а» = д так, чтобы выполнялись следующие соотношения (а + б)» = а» + б», (2.4) (2.5) а(» + д) = а» + глгб (аб)» = а(б»), (2.7) Отсюда следует, что 0» = й.

* Элементы»м»я, ., »„называются линейно-независимыми, если равенство сс»1 + с2»2 + ' + г.п»в О возможно в одном единственном случае ся — — О, с„= О. с1 — — О, Гильбертово прсютранство это множество элементов, обладающее ниже перечисленны- ми пя сью свойствами. Элементы Гильбертова пространства будут обозначаться», д, ф, ф, а комплексные числа а, б,, и. д, г. 2. Гильбертово пространство бесконечномерно. В Гильбертовом пространстве для любого конечного и можно построить и, линейно- независимых элементов.

Характеристики

Список файлов лекций