И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 5
Текст из файла (страница 5)
* Одна частица в трехмерном пространстве. Декартовы координаты Ч1 х1 Чз Р. Чз д 7>з = Рз = — »Ь д- д Р1 =Р,.= — ~Ь вЂ”, дх д Р» — Ря— ду' * Потребуем, чтобы операторы канонически сопряженных координаты и импульса удовлетворяли тем же соотно|пениям, что и классические переменные Сферические координаты Ч2 Ч1 Чз = 'Р~ ос ~г 2т Г ~Х(т, д.
1р),,' йт йд й р < со. а е о ря и р„, самосопряженные, а оператор р, на полуограниченном промежутке О < т < со не самосопряженный. Связь 1 и ф у(т, д, 1р) = 1Р(т яп д сов 1р. т еш д яп 1р, т сов д) т ъ' яп д . Кинетическая энергия Т в декартовых координатах и в сферических координатах 2т ' " ' ' 2т~" тг тгэ1пгд ~ Квантование в Декартовых координатах, оператор в пространстве ~~, Т = — (р.'+ р' ~- р,') = — — 1 — + + — ) = — ~' = —,— Л, (2.12) 2н1 ™ ' 2т ~Диг ДЧ2 Дгг) 2т 2т ьг ( 1 д д 1 д д 1 д2 Т = —, -- — т — — + -- — япд--- + Р.1З) 2т1 т Дт Дт тгяпдДд Дд т~з,пгдД1рг( Оказывается, что эти формулы дают правильное выражение для оператора кинетической энергии.
Квантование в сферических координатах, оператор в пространстве т, цг д2 1 д2 1 д2 Т, (.+., + 2 2т ~, Дтг тй Ддг тг з1пг д Д1рг Оператор в пространстве 4~ 1 Т,' = == — Т1 ть'япд ф Т. тз41п д Чтобы получить правильный оператор надо исходить из классического выражения 1 Г 1 1, 1 1 Т вЂ” , р, + ря эгп дря + 2тп ~, ' т ~lяпд Я д тгяпгд ") * Оператор Гамильтона частицы в электромагнитном поле. Частица с тп„, е, скорость час- д ря = -211 —, Дд' д 7У„, = — ВЬ вЂ”, Д1Р Действие оператора на вектор, стоящий от него слева. Пусть ~Ф> = Х~~> Для любого вектора х верно (х~'ь) = (х~Х1), <х1Ф> = <Мх>*, <хАю> = М'~х)*, (Ф!х) = (~~Х'~х> Так как вектор х произволен, то (Ф = МФ. 'Чистое состояние Чистое состояние квантовой системы описывается вектором ~а) Гильбертова пространства Ж в том смысле, что для любой физической величины Т справедливо соотношение Т = (а~Хна), если (а(а) = 1, (3.14) где Х есть измеренное среднее значение физической величины Л.
То, что состояние квантовой системы описывается вектором в линейном пространстве принято называть принпипом суперпозипии. Состояние, в котором физическая величина имеет определенное значение. Измеримость физической величины. Если физическая величина А принимает вполне определенное значение, то дисперсия (Х вЂ” 1.)~ равна нулю. Пусть состояние системы описывается вектором ~а) е Я'. Тогда < ИТ вЂ” ~)'~ > = О (а((Т вЂ” Л)~(Л вЂ” Ь)~а) = О, ~Ь> = (Х вЂ” Т,),а>., (Ь~ = (аИХ вЂ” Х)1, (Ь/Ь) = О =~ !Ь) = О, Х/а) = Х/а). 31 Следовательно, величина принимает определенное значение в таком состоянии, которое описывается собственным вектором оператора зтой величины.
Поскольку собственный вектор оператора принадлежит Гильбертову пространству Ж, то для любого значения физической величины Т из дискретного спектра существует состояние, в котором Л имеет определенное значение. Если же рассматриваемое значение 1; Полученное выражение для среднего имеет вид 1г = ,'й г'(Лй)1ай, где Г(лй) есть возможное значение величины г', а и1й есть вероятность того, что 1. равно Лй. Пользуясь произволом в выборе функции г'можно показать, что ~(й~а)~2 = 1дй Чй * Набор величин (й~а) как функция дискретной переменной й (3.17) ф,(й) = (Ца) называется амплитудой вероятности или волновой функцией в представлении 1 <или в представлении Л).
(а/а) = 1 =Ф,'~ ~ф,(й)~~ =,') ~~(й~а)~~ — — '1 (аЬ) (й!а) = (а(а) = 1. й=1 й=1 й-.-1 * 1'ассл1отрим теперь случай чисто сплошного спектра Ь<л) = Л!Л), (Л!Л') = д(л — Л'). Оператор Р = /Л) (Л/дл о (З.18) Рассмотрим произвольную вещественную функцию Г от оператора Х и сос*1итаем ее среднее значение в состоянии /а). (а/а) = 1. Имеем г' = (а! г'(Ь) /а), г'" = (а(Ег''(Х)Е/а) = Ц(а~л)(Л~Р(й)~л')(Л'$а) 11лсХЛ' = Я (а)Л)1г(Л')б(Л вЂ” Л'))(Л'$а) 1МЛ1МЛ', К = К(Л) ~<Л~ )~ 11Л. Полученное выражение для среднего имеет вид йч = к(л) р(л) (л, где г'(Л) есть возможное значение г'(Ь), а р(Л) есть плотность вероятности того, что величина Ь имеет значение Л.
Пользуясь произволом в выборе вещественной функции Г, можно показать ~(л~а)!' = р(л) чл. * есть проектор на подпространство, определяемое базисом из области Р Если Р есть весь спектр, то Р есть единичный оператор *Величина (Л(а) как функция Л называется амплитудой вероятности или волновой функцией в представлении А (или в представлении Л). (3.19) (а~а) = 1 =~ ,.'ф„(Л)!ЯсХЛ = /(Л!а>~зал = (а~л) (Л/а>сХЛ = (%> = 1. В общем случае смешанного спектра * 11олновая функция в представлении А есть совокупность коэффициентов (у ',а) как функции дискретной переменной у и коэффициентов (Л(а) как функции непрерывной переменной Л. 'Теория представлений Рассматриваем случай, когда существует оператор Ь с невырожденным спектром.
Для простоты выкладок предположим, что спектр Ь чисто сплошной. Х/Л) = Л/Л), (Л!л'> = б(л — Л'),. /Л) (Л/сХЛ = Ь. Любому вектору из Гильбертова пространства можно сопоставить волновую функцию в представлении 1,. Множество всех волновых функций в представлении Л образует конкретную реализацию абстрактного Гильбертова пространства. Скалярное произведение волновых функций совпадает со скалярным произведением векторов в абстрактном пространстве. ~,(Л) = (Л~а), 1ьь(Л) = (Л~Ь>, (Фа~М~ь> = фь(Л) фь(Л) сХЛ = (а<Л) (Л!6) дл = (а~Ь). Пусть в абстрактном пространстве задан оператор С ~,(л) = (Л~~) = (Л~С~ > = (Л~СЛ~ ) = (Л(С~Л> (Л',а) г1Л' = С(Л,Л) ~,(л') 1Л'. Оператор С в Л представлении есть интегральный оператор с ядром С(Л, Л').
Если С = Ь, то Х,(Л, Л') = (Л!Х~Л') = Ла(Л вЂ” Л'), и 4ь(Л) = Л 4,(л). Оператор Л в 1' представлении есть оператор умножения на независимую переменную. Матричный элемент оператора С в 1.представлении (а!С/б) = (а!Л) (Л',С!Л') (Л'/Ь> сКЛ сХЛ' = ~,*(Л) С(Л, Л') фь(л') <И с(Л' = ф,*(Л) С(л) фь(л) дл.
Пусть кроме Ь с невырожденным сплошным спектром существует оператор М с невы- рожденным сплошным спектром (и~и'> = б(р — р'), ~р> (р~ йр = е М)и) = р )р>, Вектор! и) может быть представлен волновой функцией ф,(Л) в представлении Ь и волно- вой функцией у,(р) в представлении М. Имеем д (и) = (р~о) = (р~~Л>(Л~а>йЛ = (, ~Л)й~,(Л)йЛ. ф~~ (фх) Л(р р Л)ф~~ (Л) йЛ Л(р, Л) (фх / Л) . Обратное преобразование ф,(Л) = (Л/р> у,(п) йр, ф,(Л) = Н'(Л, и) у„(п) йп, Л'(Л, р) = (Л!р>.
Оператор С С(р, р) = (р~Ср) = (пЛ> (Л~С~Л> (Л)р> йЛйЛ' = В(р, Л) С(Л, Л) гг(Л', р) йЛйЛ'. Пусть спектры операторов Х и М заполняют вск> вещественную ось. Тогда 4~,(Л) и ~р,(р) суть элементы одного и того же Гильбертова пространства и ~ра = М~а; Ф~=Л 'р~, где Й есть унитарный оператор. Действительно, в более детальных обозначениях ~Л> — ~Е,Л>,,'р> -э ~ п,д>, ЬЕ,Л> = Л',Х,Л>, М>п~,р> = р~ш,р>, р.(д) = (р>Л> й,(Л) йЛ вЂ” р,(*) = Л( з) й.(') йх'. я(х, ') = (,"~Е,х'>. 4>,(Л) = (Л)~р>~р,(р)йр — + ~~,(х) = Я(х,э~)р(~х)йх!, Л'(х,х') = (Р,х~тв,х'), Б.'(х,х') = (с,х~тп,х') = (т,х'~К,х)* = К*(х',х), =~ гг ' = Л1. Координатное и импульсное представления Рассмотрим операторы йи р канонически сопряженных переменных в одномерном случае.
йп) = у~д), р)р> = р~р>, — оо ( р, е ( оо, Преобразование операторов при переходе от одного представления к другому есть преоб- разование подобия с унитарным оператором. При таком преобразовании ни соотношения между операторами, ни спектр операторов не меняются. Скалярное произведение (Рщ> не зависит от представления. В координатном представле- нии / ~Ч> = Е(Ч вЂ” Ч), ~Р) = .
е1"ь, Ч и Р собственные числа, Ч переменная, ~/2яЬ (РМ),2 6 ' ' '(Ч Ч) "Ч вЂ”,2 6' " Таким образом г 1 'ра(Р) = / е " Фа(Ч) ~1Ч> Фа(Ч) = " ' / с ' ~ра(Р) ЙР. ъ'2яЬ ъ'2М Оператор координаты в импульсном представлении. Имеем Чзя) = ~Ь), ЧФ (Ч) = Фь(у), где ~4ь(у) = уф,(у), ,Ч~р (Р) = уь(Р), ~Рь(Р) = — — / е ьгЯ фь(у) йу = — / е л'~~уф,(у) йу = ь~2яЬ ~/2я6 д 1 Г д = гЬ- — —.= — — / е ьг'ь~,(у) г1Ч = гЬ вЂ” у,(Р), 26/ г~ => Ч = ь'6 — -. др Полный набор физических величин и операторов М~Л, р,и) = и ~Л,р,м), Х1Л,1ь,м> = Л~Л,Р,ь>, 1Ч Ч~ Л, д, и', = ~ Л, р, к ), Полным набором операторов называется такой набор взаимно коммутирующих операторов, общий полный базис которых определен однозначно (с точностью до умножения базисного вектора на константу), а при удалении хотя бы одного оператора из набора выбор базиса становится неоднозначным.
Соответствующий набор величин называется полным набором физических величин. В этом случае любой вектор ~и) Гильбертова пространства можно разложить по этому полному базису и совокупность коэффициентов разложения рассматривать как волновую функцию, соответствующукь вектору состояния',а).
Число переменных в волновой функции равно числу операторов в полном наборе и может отличаться от числа степеней свободы. Описание состояния оказывается более простым, если число переменных в волновой функции совпадает с числом степеней свободы и именно так обычно выбирается полный набор физических величин. Физический смысл волновой функции в многомерном случае.
Пусть полный набор операторов образует тройка Х, М, Ж с чисто сплошным спектром. (Л, р,и~Л', р', и') = б(Л вЂ” Л') б(р — р') б(и — и'), !и) = !Л,р,м) (Л,,и,и!а) с1Лйрг1и, ф,(Л, р, и) = (Л,р,и~и). Пусть б' = Р(1, М, М). Тогда г = б(Л,р,и) ~ф,(Л,р,и)~ дЛйрйи. Поэтому )ф (Л, р,и)( есть плотность вероятности того, что одновременно величина 1 принимает значение Л, величина М принимает значение р и величина М принимает значение и. В этом и состоит физический смысл волновой функции. Смешанное состояние. Система, находящаяся в чистом состоянии, описывается вектором ~а) в Гильбертовом пространстве, который может быть разложен по базису любого полного набора. например, в 1 представлении (для простоты предполагается, что Ь имеет чисто дискретный, не вырожденный спектр) с, = Ц(а) * Зная с, можно восстановить ~и). Поэтому состояние системы является чистым, если известны все коэффициенты разложения вектора состояния по базису какого-нибудь полного набора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
