И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 3
Текст из файла (страница 3)
3. В Гильбертовом пространстве определено скалярное произведение двух элементов. Двум любым элементам 1 и д, взятым в определенной последовательности, сопостав- лено комплексное число а (скалярное произведение этих элементов) и= У,д) так, чтобы были выполнены следующие соотношения (~+д,й) = (~,6) + (д,6), (2.8) ('2.9) (а~,д) = а®д), (У, д) = (д, ~)* (звездочка означает комплексное сопряжение), (2.10) (2.П) (3',~) > О, причем (1,1) = 0 <=~ ~ = О, 4. Сходимость в себе. Если для последовательности элементов )'~,~я,. по любому е > О можно найти такое Ж, что ~)~„— 1 ~~ < е, если п,т > Ж, то эта последовательность сходится к пределу 1, который является элементом Гильбертова пространства. 5.
Сепарабельность. В Гильбертовом пространстве существует полная ортонормированная система эле- ментов, представляющая собой счетное множество. * Норма элемента ~: ~~Д~) =;/ф 1), причем здесь берется арифметическое значение корня. * Бесконечная последовательность элементов ~„~з, сходится к пределу ~ если по любому е > О можно найти такое М, что Ц вЂ” ~„)! <е, если н>Я.
— — 1пп д„,. й=1 * Ортонормированные системы *Ряд ~~) ~~ сходится, если сходится последовательность конечных сумм д = ~~ + ~з + ь=-1 + )„,. В этом случае сумма ряда есть предел последовательности конечных сумм Элементы (' и д называются ортогональными, если (у, д) = О. Последовательность элементов (м ~з, .
(конечная или бесконечная) называется ортонормированной системой, если 1, ( О, если равд, Величина ая = (у, ~~) называется коэффициентом Фурье элемента у относительно ортонормированной системы ум,)з... Ряд называется рядом Фурье эчемента у. Бесконечная ортонормированная система ~„)з, называется замкнутой, если (а~! = ~)('~! ч,('. ь.-1 Бесконечная ортонормированная система )'„)з, .
называется полной, если не существует элемента (, за исключением нулевого, ортогонального ко всем элементам системы. В Ж полная система является замкнутой и замкнутая система является полной. * Подпространство Пусть имеется множество элементов Л, ~з, (конечное или бесконечное). Бесконечное множество элементов, которое содержит ~„~з,, их любые линейные комбинации и все предельные точки (в смысле свойства 4) называется подпространством. Лва подпространства У и Ф называются ортогональными, если любой элемент подпространства .У ортогонален каждому элементу подпространства -Ф. Если два ортогональных подпространства У и, Ф вместе образуют все Гильбертово пространство,М; то У называется ортогональным дополнением Ф, а Ф' называется ортогональным дополнением Ж Если .У есть ортогональное дополнение Ф', то любой элемент 6 может быть единственным образом представлен в виде суммы А = ( + д, где у Е .У и д Е .4К .
В этом случае у называется проекцией /с в подпространство .К. * Две конкретные реализации Гильбертова пространства. Реализация 1з . элементом х является бесконечная последовательность комплексных чисел х1, х2,, сумма квадратов модулей которых сходится. Сумма: гь = хь -~ ды Произведение а на х: дь = ихя. Скалярное произведение элементов х и д: (х,д) = ~ хьд~. й=1 Реализация Ьз . элементом является комплексная функция у(ды.,д„) вещественных переменных, причем — оо < дь < оо, А = 1,, и, и ~у(дь,д„)~~ йд~ ..
йу„< +ос. Сумма таких функций и произведение функции на комплексное число определяются обычным образом. Скалярное произведение есть интеграл 2.2 Операторы в Гильбертовом пространстве. * Определение. Оператор это правило, по которому одному элементу д Гильбертова пространства сопоставляется другой элемент Г = 1,д. Если соответствие установлено не между всеми элементами Гильбертова пространства, то множество элементов д называется областью определения У(Х) оператора Х.
Множество элементов 1 называется областью значений Я(1) оператора й. * Примеры операторов. 1. Единичный оператор Е или 1 2. Нулевой оператор Ог'=О, Ч,~, 3. Оператор проектирования Пусть имеется подпространство .Ф' Гильбертова пространства. Тогда ~=у>+д> уе Ф, (у,д)=0.
Оператором проектирования на Ф называется оператор Р„,г такой, что Он обладает свойством В реализации Ьз( — оо, оо), то есть на множестве функций у(д), интегрируемых с квадра- том модуля 4. Оператор умножения на независимукз переменную ФР(Ч) = ЧР(Ч) 5. Оператор дифференцирования Ф(Ч) В~Р(Ч) = — —, йу 6.
Интегральный оператор с ядром Ь(Ч, Ч') 1(Ч) = 1(Ч. Ч'МЧ') 1Ч' Ьф>(Ч) = ~(Ч), 7. Бесконечная матрица 1ь, Ьи=д., Как, правило, с бесконечными матрицами можно работать так же, как и с обычными, конечными матрицами. Однако, не все формулы, справедливые для конечных матриц оказываются справедливы и для бесконечных матриц.
* Соотношения между операторами. 1. Равенство операторов А и Й: А = Й, если У(А) = У(В) и А,г' = В,)', Ь,( е." У(А). 2. Сумма операторов А и В: С = А + В, если У(С) = У(А) ДУ(Й) и С3' = АУ + В)', ЧХ е У(С). 3. Произведение операторов А и В: Если У(А) ( ) Я (В) ~ И, то С = АЙ означает Сг' = д, где ЙХ = у и А~р = 9. Если АЙ = ЙА, то А и В коммутируют. Коммутатор: [А, Й~ = АЙ вЂ” ЙА. Антикоммутатор: [А, Й~ = АВ + ЙА. 4.
Обратный оператор. Если оператор Ь устанавливает одно однозначное соответствие между У(Ь) и Я (Х), то это правило соответствия определяет как оператор Е, так и обратный ему оператор ь 17 В реализации Кя оператор должен бесконечномерному вектору се(и~,хз, ) сопоставить бесконечномерный вектор у(Чм,Ч~, . ). * Свойства операторов. Оператор Х называется ограниченным, если ))Х~~! < р)я, »»7 е у(Х) и р не зависит от 1. Линейным назь»вается оператор Х, область определения которого линейна и ь»с»1» + с2Л) = с»1Л + с21Хг, 'Ф~» Е У»Ь),Ь Е У(Ь) и Чс» е: С,с2 е С. Оператор, эрмитовски сопряженный данному.
Для весьма широкого класса линейных операторов Х имеет место равенство Х1,д) = 11,д~), 1 Е У(Х), д б Ж, где д~ Е Жи не зависит от 1. Г Это соотношение сопоставляет элементу д элемент д', то есть определяет оператор, кото- рый называется оператором эрмитовски сопряженным оператору 1 и обозначается Ь! д' = Х!д. Таким образом (Х|,.) = (Юд). Если А! = 1, то Х называется самосопряженным, или эрмитовским.
Если Х! = — Х, то Х называется антиэрмитовским. Имеют место следующие соотношения (сХ)' = .*Х, (Х+ М)" = ХФ + М1, (ХМ)' = М»Х!. (Х!)' = 1„ Коммутатор двух некоммутирующих эрмитовских операторов есть оператор антиэрми- товский [ХМ1 = (ХМ вЂ” М1) = М вЂ” ХМ = — Н. = — (1 + 1~ ) + — (1 — 1 ) = 1~! + 12, 1» = 1».
1я = — 12. Если оператор Х эрмитовский, то 1Х1, 1') вещественно (ХЛ ~) = (Л Х'~) = (ЛЧ) = (Х|.,~) Эрмитовский оператор Х называется положительно определенным, если (Х|,1) > о, чУ~У(Х). Оператор М = 1»Ь является эрмитовским и положительно определенным м! = (Х»Х)' = Х! (Х!)' = Ж = м, 18 Всякий линейный оператор можно представить в виде суммы эрмитовского и антиэрми- товского операторов ~му,у) = (Х у, у) = (у,ьу) = (д,д) > о, Унитарным называется линейный оператор 1.г, для которого где д = Х,1. ~д(д)~'1д < Отсюда у(д) — + 0 при /д! — + оо.
Предполагаем, что все написанные далее интегралы существуют. Оператор д умножения на независимую переменнукз (оператор координаты) дд (д) = д'р(д) линеен (операция умножения линейна) и эрмитов (2.12) ЯХ,Ф = дХ(д) р*(ч) <1д = У(д)(д (д))*1д = (У:Ю). Оператор О дифференцирования по независимой переменной Й= — ' дд линеен, так как операция взятия производной линейна, и антиэрмитов (Й,ж) = )( — — ~'(д)1д = Г'(дМ*(д)~ — ~ 1(д) — — — -1д = — (У,Од) 1 4(д) . . ~ <Ыд *(д) Внеинтегральный член обращается в ноль.
так как обе функции стремятся к нулю при ~д', — > оо. Линейным и эрмитовским является оператор ,Н р= — Ы= — г —. Ид (2.13) Интегральный оператор линеен. Найдем эрмитовски сопряженный ему. оо оэ ОО 1М ('™)=ГГ'«': "' =ГГ <'<" '»""'=( "") 19 * Свойства конкретных операторов. Рассмотрим реализацию Ья( — оа,оо) то есть пространство функций одной переменной, интегрируемых с квадратом модуля Следовательно ядро оператора Ь1 есть Ь*(д', д). таким образом, интегральный оператор является эрмитовским, если Г(ц',ц) = Цд,ц').
Оператор проектирования Ря является линейным и эрмитовским. Пусть гК есть ортого- нальное дополнение Ж Тогда Ьг = Л+д» 6~ = Ь+дз, ~1,БЕЖ д~>Угу Ф, Рябг = Л, Ря 6з —— Ь, 1 я'61, 62) = (Л У2 + ~72) — (Л~ .Г2) (Л + Ч1~ Г2) (6г~ 1 Ы16з~ . Г Линейный эрмитовский оператор, обладающий свойством Р~~, = Р~ есть оператор проек- тирования. 2.3 Спектр линейного самосопряженного оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
