И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В квантовой механике на волновую функцию уэ(х) из физических соображений накладываются дополнительные условия. 1) Волновая функция должна быть нормируемой ~интегрируемой с квадратом модуля). й) Для частицы должны иметь смысл импульс и кинетическая энергия. Это значит, что волновая функция должна удовлетворять таким граничным условиям, чтобы можно было построить самосопряженные операторы импульса и кинетической энер~ ии.
Кроме того, для спшционарных сосшояний на волновую функцию накладывакл ся езце два условия. й) В той области, где потенциал непрерывен или имеет разрывы первого рода (скачки), волновая функция должна быть непрерывной. 1ч) В той области, где потенциал непрерывен или имеет разрывы первого рода, производная от волновой функции тоже должна быть непрерывной. Производная от волновой функции может иметь разрывы только в тех точках, где потенциал сингулярен. В одномерном случае уравнение Шредингера может иметь не только квадратично интегрируемые решения, описывающие состояния дискретного спектра, но и решения ограниченные на всей оси х. Такие решения гильбертову пространству не принадлежат, то есть. строго говоря„они не являются волновыми функциями частицы.
Однако, оказывается, что ограниченные на всей оси х решения соответствуют сплошному спектру оператора Гамильтона и могут рассматриваться как волновые функции, описывающие инфинитное движение частицы, то есть такое движение, при котором частица приходит из бесконечности и уходит на бесконечность. Симметрия, В одномерньгх системах существует лишь одна операция симметрии инверсия, то есть замена х на — х. Предположим, что Ъ'( — х) = Ъ'(х). Тогда оператор Гамильтона инвариантен по отношению к операции инверсии Й( — х) = Й(х), Й( — х) ф( — х) = Еф( — х) ~ Й(х)ф( — х) = Е4( х). Таким образом, ф( — х) также есть собственная функция оператора Й с тем же самым собственным числом Е. Здесь имек~тся две возможности: а) уровень Е не вырожден, 6) уровень Е двукратно вырожден а).
Уровень .Е не вырожден. ~( — х) = С ~(х) =~ 4 (х) = С 4 ( — х) . ~(х) = Сзф(х), С' = 1, С = ~1. Это означает, что собственная функция оператора Й есть либо четная функция х, нечетная функпия х. б). Уровень двукратно вырожден. Функции ф(х) и ф( — х) линейно независимы, и любая их линейная комбинация, в частности их сумма или разность, является нетривиальным решением уравнения (4.1), то есть является собственной функцией оператора Й. При этом четная функция х, нечетная функция х.
Энергетический спектр. Рассмотрим стационарные состояния частицы, которая может двигаться в бесконечном интервале — со < х < со Ьз ~Р— - — — ф(х) + Ъ'(х)ь~(х) = Е~(х). 2тпе сЬя Предположим, что потенциал Ъ'(х) не сингулярен, но может иметь конечное число разрывов первого рода. Раз потенциал не сингулярен, он может обращаться в бесконечность только при х — ~ ~ос. Обозначим наименьшее из Ъ'( — со) и Ъ'(со) через Ъ', а наибольшее через Ъ",. Пусть Ъ' = — оо.
В этом случае у задачи нет дискретного спектра. Спектр чисто сплошной и он занимает всю ось энергий от — сс до +ос. Пусть величина Ъ' конечна. В этом случае потенциал ограничен снизу Ъ'(х) > Ъ'„„„. Следовательно энергетический спектр частицы ограничен снизу величиной Ъ;„;„, Если Е > Ъ', то у частицы может быть только сплошной спектр. Дискретный спектр может быть только при Е < Ъ' . Существуют ли дискретные уровни энергии и каково их число, определяется поведением потенциала Ъ'(х) на всей оси х.
Для того, чтобы был дискретный уровень энергии необходимо и достаточно, чтобы Ъ';„ < Ъ' . Если это условие выполнено, то существует хотя бы одно связанное состояние. В этом состоит особенность одномерной задачи. Число дискретных уровней энергии определяется тем, как потенциал Ъ'(х) стремится к Ъ' . Сравнение движения квантовой и классической частиц. Движение классической частицы мы описываем с помощью траекторий, а квантовой частицы с помощью волновой функции. траектории у квантовой частицы нет. Для классической частицы можно ввести понятие плотности вероятности найти частицу в данной точке. Поэтому, мы можем сравнивать плотности вероятности классической ркл(х) и квантовой ркв(х) частил.
Ркл (х У(х) ~ Ох~ х хя Рис. 2 Классическая плотность вероятности. Рис. 1 Потенциальная яма. Пусть классическая частица движется в потенциальной яме, изображенной на рисунке 4.1. Она будет совершать колебания с периодом Т между гночкали ёоеоропт х, и хз. (2 и(х) = ~)~ — (Š— У(х)). о Е = Еь + Е„= — -из(х) + У(х), 2 Плотность вероятности найти частицу в точке х есть О, и < х1 2 1 2тэ — — — — — х, <х< хе Ти(х) Т Е вЂ” У(х) ' р(х) = О, 4.2 Прямоугольная потенциальная яма Рассмотрим частицу с массой гаэ движущуюся в поле с потенциальной энергией вида П П1 О, х < — а, 1, У(х) = — Уц, !х~ < а.
П, О, х > а, П1. У(х) > — 1'„~ Е > — У„. Раз У. = О, то дискретный спектр может быть только при Е < О. При .Е > О может быть только сплошной спектр. Рис. 3 Прямоугольная потенциальная яма,. Ищем решение уравнения (4Л) непрерывное вместе с первой производной, график которой приведен на рисунке 4.2 для случая потенциальной ямы, изображенной на рисунке 4.1, и для той энергии, которая там показана, Отрицательные энергии — гв < Е < О.
Решение для областей 1, П и 1П: ф (х) А еах + В е — аж фг(х) = Аг 81п згх + Вг сов ггхр ~з(х) = Азе *+ Взе *> где (4.4) Из граничных условий следует, Вз — — О и Лз — — О. Из Г(х) = T( — х) =~ '6(х) +ф( — х), поэтому условия сшивания можно рассматривать только в точке х = +а. Чегпные решения'. А1 —— Вз, Аг — — (). Условия сшивания приводят к уравнению — ф ~г (4.5) где С = зса, а Я параметр ямы: 2т а ц = а ~м' + ог) = — ', 1'в (4.6) Если ~е является решением уравнения (4.5), то энергия с'-го состояния есть г Ег = — Ъв+ 2гпваг 1.
Для четных решений при любых значенпях а и К~ имеется по крайней мере один четный дискретный уровень. 2. При любых конечных значениях а и Ъв число дискретных четных уровней в яме конечно. Нечетные решения: А, = — Вз, Вг — — О. Из условий сшивания получаем уравнение (4.7) 3. В яме имеются нечетные дискретные уровни если параметр ямы Я > гг~/4.
4. Нри любых конечных значениях а и К> число дискретных нечетных уровней е яме конечно (или ноль). Сравнение движения квантовой и классической частиц при Е < О. 50 Первое различие состоит в возможньгх значениях энергии. Классическая частица может иметь любую энергию в интервале — Ц < Е < О. Квантовая частица может находиться только на одном из конечного числа дискретных уровней энергии. Второе различие касается плотности вероятности найти частицу в данной точке. Р,(св) х — н (О а Рис. Рис.
4 Классическая плотность вероятности. б Квантовая плотность вероятности. Первое четное состояние. Ркэ (та) р„(х) Рис. 7 Квантовая плотность вероятности. Рис. 6 Квантовая плотность вероятности. Яма малой ширины. Первое нечетное состояние. Положительные энергии Е > О Решение для областей 1, П и П1: Ат е' ' + В1 е '"', Азе' + Взе ' * Аз е'ы + Взе '~* Ф (ск) (4.8) Ч2 (са) трз(ск) где /2тпо Г2тйц й — = ~/ — — Е О, = — ~ — -(Р;+Е) О ~~/ йз ' 11' $2 (4.9) (тЯе; г 2 4Е(Е+ Ъо) )Аз! = — — — )Ат), 2 ! 2 !+р ~В1~ = — — -)А1 ~ 2 Р 2 1+р Введем коэффициевтп отт~ражения у', ~Вт~' у 'А ~з 1+р (4Л О) Ни при каком выборе констант А и В не удается получить квадратично интегрируемую функцию, поэтому дискретного спектра нет.
Сплошной спектр заполняет полуось Е > О. Пусть частицы налетатот на яму слева. Тогда )Ат ~з задает плотность потока падающих частиц у, = (Ы/тлв)(Ат~з, а Вз — — О. Оставшиеся коэффициенты В1 и Аз можно выразить через Аь Они определяя>т плотность отраженного т'„= (М/ттте))Вт~з и прошедшего т', = (Ьк/ттте) (Аз ~~ потока. В частности и коэффициент прохождении которые удовлетворяют условию сохранения числа частиц Л -г- Т = 1 и следующим об- разом ведут себя в пределе больших и малых энергий: Н вЂ” ~ 1, й -+ О, Т вЂ” ~ О, т — Ф 1.
Š— «О, Е-+ оо, р-+ оо, р — ~0, В частности, если Е = Е„: (4.12) Сравнение движения квантовой и классической частиц при Е > О. При положительной энергии все классические частицы проходят через яму. Коэффициент отражения равен нулю. Потенциальная яма лишь меняет время прохождения, так как скорость движения частицы в яме больше, чем скорость движения частицы вне ямы.
У квантовой частицы (при заданной энергии) существует вероятность как пройти через яму, так и отразиться. Коэффициент отражения близок к единице при Е + 0 и мал при больших .Е. Поэтому поведение классической и квантовой частиц сильно различается при малых Е и практически не различается при больших Е. При резонансных энергиях ха = 2е —, 2 ха = — (2г'. + 1), 2 (4.14) для четных и нечетных решений, яма оказывается полностью прозрачной для квантовой частицы (коэффициент отражения обращается в ноль), а квадрат амплитуды волновой функции внутри ямы достигает максимума (единицы). Именно благодаря такому поведению амплитуды внутри ямы рассматриваемые состояния получили название резонансов: колебания снаружи ямы возбуждают колебания внутри ямы, амплитуда которых при изменении энергии достигает максимума, когда энергия совпадает с энергией резонансного уровня.
1'езонанс наблюдается при таких энергиях частицы при которых на ширине прямоугольной потенциальной ямы укладывается целое число длин полуволн. Яма с бесконечными стенками. Сдвинем начало отсчета энергии на дно ямы и устремим ге к бесконечности. В этом случае энергия гг-го уровня есть 52 ~2 2тгг (4.15) где 2Р+ 1 для четных решений, 2е для нечетных решений. н 7Г с„= — п, 2 52 то 2эга = пя и р = О и яма при этих энергиях полностью прозрачна. Такие уровни принято называть резонансными.
Мы рассматриваем только область положительных энергий, Поэтому значения квантового числа и резонанса должны удовлетворять условию и ) 2;Л~ /~г. Расстояние между уровнями: лэ гя~я Е. 1 — Е„= — — ., ( — ) (2н -" 1). 2гаоах 2 Сравнивая положение уровней энергии в прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины и положение соответствующих уровней энергии в яме конечной глубины (и той же ширины) видим„что в конечной яме уровни располагаются систематически ниже, чем уровни той же четности в яме с бесконечными стенками. Резонансные энергии (4.12) в точности совладав>т с энергиями уровней в яме с бесконечными стенками (4.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
