И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ЕХ=Л~, то Л есть собственное число, а 1 есть собственный вектор оператора Х. Все собственные числа являк1тся точками спектра. Если одному и тому же собственному числу Л принадлежит несколько собственных векторов А~~ — — Л~ь, 6 = 1,2...п, то собственное число Л называется вырожденным. В этом случае собственным вектором, принадлежащим собственному числу Л является также вектор У = сьЛ + сяЬ + " + ЪХ . Можно показать, что в этом случае множество собственных векторов, принадлежащих собственному числу Л, образует подпространство. Размерность этого подпространства называется кратностью вырождения собственного числа Л.
* Имеют место следующие теоремы. 1. Собственные числа эрмитовского оператора вещественны. (Ь|,~) = ЛЦ,~). ХХ, «) и (~, Д вещественны. Следовательно Л вещественно. Г 20 Пусть 1, есть линейный самосопряженный оператор, а Л есть комплексное число. Если существует оператор (Х вЂ” ЛЕ) ', определенный во всем Гильбертовом пространстве и ограниченный, то Л называется регулярной точкой. Все точки комплексной плоскости Л, кроме регулярных, называются точками спектра.
Точки спектра эрмитовского оператора лежат на вещественной оси. * Собственные числа. Если 2. Собственные вектора эрмитовского оператора можно нормировать на единицу. Вследствие линейности оператора его собственным вектором является также норми- рованный на единицу вектор )/~~~~!. 3. Собственные вектора эрмитовского оператора, принадлежащие разным собственным числам, ортогональны. Ь~д = Лд~д, 112 Лягя~ л, ~ л.
Тогда (дд~ 1~Х2) = Лз (гд! г2) ' Отсюда (л, — л,)(1„12) = О. Так как Лд ф Лз, то (1д,16) = О. Возьмем какой-нибудь собственный вектор 1д и нормируем его на единицу Возьмем собственный вектор ~я линейно независимый с ~д и построим вектор ~я = Ь бг Рд)Фд ортогональный вектору фд. Тогда уг2 —— уя/~ ~уз ~ ~. Если кратность вырождения Гюльше 2, то сУществУет вектоР 1з линейно независимый с ~~д и фя.
ВектоР ~Рз гз (дЗ~ ~д)Фд (гз: Ф2)ддг2 ортогонален ддгд и ддгз. Тогда ~~з — — рзгг~~рз ~. Продолжая процесс получим т ортонор- мированных векторов фд,. В общем случае (Ь 1м ) = еы'0"' * Три вида спектров 1. У эрмитовского оператора имеется бесконечно много собственных векторов и они образуют полную систему. В этом случае других точек спектра, кроме собственных чисел, у оператора нет оператор обладает чисто дискретным спектром. 2. У эрмитовского оператора нет ни одного собственного вектора.
В этом случае к точкам спектра оператора относятся все точки отрезка (или отрезков) вещественной оси Л оператор обладает чисто сплошным спектром. 21 4. Среди собственных векторов, принадлежащих т кратно вырожденному собственному числу, всегда, можно выбрать ти ортонормированных. 3. У эрмитовского оператора имеются собственные вектора, их конечное или бесконечное число, но они не образуют полной системы.
В этом случае оператор обладает смешанным спектром у него есть дискретный спектр, образованный собственными числами, и есть отрезки сплошного спектра. * Свойства спектра Если оператор Х ограничен, то существуют такие вещественные числа пь и М, что ~)Л' < (ТУь У) < МЛ'. Числа тгь и М называкьтся нижней и верхней границами оператора. Все точки спектра лежат на отрезке (гьь, М).
Если оператор Ь неограниченный, то вне любого конечного отрезка вещественной оси Л лежит бесконечно большое число точек спектра. 2.4 Спектр конкретных операторов. + Оператор проектирования Рь на подпространство У. Имеем ф = ф+ Л, феЖ, фе 'х', Ле 4к~, где .Ф' есть ортогональное дополнение х'. Так как Р Ф=ф р~(у) = Л~(ь1), — ь — -1(д) = ЛДд). интеграл ~~(д) ~ Й1 расходится. ~(д) = Се'~~, Квадратично интегрируемых решений нет, спектр р чисто сплошной. Любое вещественное число Л есть точка спектра, так как (р — Л) ' не ограничен. * Оператор д (2.11) координаты.
И(ч) = Ч(ч) ~у(д) = лу(~). / произвольное число, если ьь = Л, ~(') ~ О, если ь1 ~ Л. Такая функция не принадлежит Гильбертову пространству. Значит, у ь1 нет ни одного собственного числа и спектр ьь чисто сплошной. Любое вещественное число ьььь есть точка спектра,та как Я в ьььь) ' не ограничен. * ьь функцией Дирака называется такая функция 0(и), которая для любых ь(и), у которых 22 то любое ф сх' бУдет собственным вектоРом Рь. с Л = 1, а любое Л Е У 6Удет собственным вектором Ря с Л = О.
Таким образом, Рр обладает чисто дискретным спектром из двух собственных чисел О и 1, причем хотя бы одно из них бесконечнократно вырождено. * Реализация 1з( — оо, ао) Гильбертова пространства и оператор р (2.13) существуют 1(+0) и |( — О), и лкэбых х< < 0 и хз > 0 обеспечивает выполнение равенств | хт ~(х)Ю(х)<Ь = х< е | 1 ~(х)д(х)йх = — Д( — 0), 2 Ж< 1 — (У(+О) + У( — О)), (2.14) ~2 э ~ ~ ~ ч 1 тЬ(х)~х = — ~(--О) 2 Свойства <<-функции Дх)6(х)дх = 1, Ч х«0, хз ) О, ~ ~] з <о (2.15) (2.16) б( — х) = 6(х), 1 д(пх) = — д(х), 1а( (2.17) Г Ж2 6(х — а)д(х — Ь)дх = 6(а — Ь), Й< х< < шът<(а, Ь), хз > тих(а, Ь).
(2.18) д образные последовательности ! с аж< а-+х << к Мх д(х) = 1пп м -<за л'х * "Собственные функции" оператора координаты и д функция ~Х(Л, 1) = ЛУ(Л,~), У(Л,<7) = 6(<1 — Л). 2.5 Собственные функции линейного эрмитовского оператора и разложение по базису. <р =,~ скБ, сь = ('Р Ь) <у<р. «=1 (2.19) * Оператор р (2.13), с чисто сплошным спектром, занимающим всю вещественную о< ь. д — 1 — |(Л,<1) = ЛДЛ,<1), <(<7 * Собственные функции линейного эрмитовского оператора 1. с чисто дискретным спектром Бй = ЛаБ, (Лз Ы = Ьзь образуют полную ортонормированную систему.
Поэтому 1 ,Х(Л, у) = — е'л»,. л/2~г ~р(у) = — йЛ йу е'~~» «0 ~р(у~), 2я,/ с(Л) = р(у')Г(Л, у')йу', Фр. 9Р = с(Л)Х (Л, у)йЛ, (2.20) * Оператор координаты у (2.12). ,Х(Л,у) = 6(у — Л), Фу) = 6(у — у') р(у')йу', (2.21) 6(у — у') = 6(Л вЂ” у)6(Л вЂ” у')йЛ, р(у) = йЛ6(Л вЂ” у) йу'6(Л вЂ” у') р(у'), у = с(Л) Х(Л, у)йЛ, с(Л) = ср(у') Х'(Л, у')йу', Чср.
(2. 22) * "Скалярное произведение" функций сплошного спектра. "Собственные функции" оператора р: ДЛ, у) = е'л«, л/2л 1 Х л л«а1пА(Л Л) ( Хл, Хл ) = 11п1 Г Х(Л, у)Х*(Л', у)йу = 11п1 — У ецл л ~»йу = !1ш — — —; — = 6(Л вЂ” Л'). А-~со / А -~ос 27Г А -~со 7Г(Л вЂ” Л') со со " Я'"'"""" Й=-1 24 "Собственные функции" оператора у: Х(Л, у) = 6(у — Л). Из формулы (2.18) следует (Хл, Хл) = 6(Л вЂ” Л). * Условия полноты и замкнутости.
Пусть Хь(у) образуют полную систему функций. Тогда * Эрмитовскому оператору можно сопоставить базис, который состоит из собственных функций ~л(и) оператора, если они есть. и, если собственные функции не образуют полной системы, из ре/пений /(Л, /д) уравнения в сплошном спектре. Базисные функции дискретного спектра нормированы на символ Кронекера, а сплошного спектра на // функцию. (Ь,Ь) = 6ьв, (Л,Ул) = О, (Ул.Ул) = ~(Л вЂ” Л') Базис является полным и по нему можно разлагать любую функцию из Гильбертова пространства и = ~ к/, + (к,/,А, к, =(р,/,~, г.
= ~р,/,~ Ч„,. (2.23) * Функция от оператора.. Пусть Г(т) есть функция вещественной переменной, а Х есть эрмитовский оператор к(Х)уь = г(л„)у,. если Р(/к) = ~~ сли, то 1'(/' ) = ~,слХ . 2.6 Две теоремы о коммутирующих операторах. 2.7 Преобразование подобия операторов. Рассмотрим набор линейных самосопряженньтх операторов А, В, С, и унитарный оператор О. Совершим преобразование подобия над каждым оператором и получим набор операторов й' = ~~вО-1 с/ = Ос0-1 А' = ОАО При преобразовании подобия: 1. Равные операторы остаются равными ОАО-' = ОВО-' ~А' = В.
26 * Теорема. Если два линейных самосопряженных оператора А и ЛХ имеют общий базис, то они коммутируют. * Обратная теорема. Если два линейных самосопряженных оператора Х и М коммутирук>т, то они имеют общий базис. 2. Сумма операторов переходит в сумму А' = В'+ С'. А= В+С, 3. Произведение операторов переходит в произведение. ОАб 1 = 77В77 '77С77 ' => А' = В'. А = ВС, 4. Эрмитовски сопряженные операторы остаются эрмитовски сопряженными. А = В~. 7УАО = 77В~7! ' = (70'-')~~В777) =~ А' = ~В') 5. Спектр оператора не меняется. 3 Основные положении квантовой механики 3.1 Физические величины и операторы Первое положение: * Каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряженный оператор и наоборот, каждому линейному самосопряженному оператору соответствует некоторая физическая величина.
физическая величина принимает значения только из спектра, оператора. Если физической величине А соответствует оператор 1, то величине Р'(Ь) должен соответствовать оператор Р'(Ь). Классическая механика должна быть предельным случаем квантовой механики, в частности, должен существовать квантовый аналог скобки Пуассона. Классическая система, функция Гамильтона Н(д1,...,д„,р1,,р„,1), сд обобщенные координаты, р; канонически сопряженные импульсы, п число ст11пеней свободы, физическая величина г (д1, -, д„„р1.
-, р„, Е). Развитие физической величины во времени — — — + (УХ, Е') . Л д1 * (Е, С) есть классическая скобка Пуассона )'дР дС дг дС'( ~-; (др1 а~, д~, др,/ ~Р,С) = — ~С,Р), (3 1) г,С) = О, С есть константа, Г (3.2) (Е1 + 32~С) = '(Р1~С) + ( 2! С) ~ ~~1~2~ С) = ~~о С) ~2 + ~1 ~~2.С), (3.4) Поряд<ж следования операторов г1 и Р~ в левой и правой частях (3.1) одинаков, ~Р,~с,л)) + ~с,~л,Р)) + ~л,~Р,с)) = в. (3.5) Имеем (С,С2 Р) = ~С„Р)С2+ С, ~С2,Р), ~Е,С1С2) = (Е,С1) С, + С1~Р,С2), ~КБ,С1С2) = ~Е,С1С2)Е2+ К~Й2,С1С2) = Г Р„С1) С2Е2 + С, ~Г„С2) Р; + Г1 ~Р~, С,) Ся + КС1 (Е„С2), 27 *Квантовая скобка Пуассона ~Е,С) удовлетворяет тем же пяти всоотногпениям, что и классическая: ~Р»Р2> С1С2~ = ~Р»Р2~ С1~ Ся + С1 ~Р1Р2у С2~ ~Рп С1 ( Р2С2 + Р1 ~Р2~ С1 ~ С2 + С1 (Р1~ Сз ( Р2 + С1Р1 ~Р2~ С2~ Отсюда ~Е~~ С1~ (У2Сз — СзРя) = (Р1С» — С1Р1) ~Ую Сз~ .
(3.6) Это равенство должно быть справедливым для любых Р~, Р», См Сз. Поэтому (3.7) где С постоянная. Она равна»/Ь. Таким образом (3.8) (Ч», ~р) = О, », й = 1, ° ., тс, уй=1, и, (Р»з щ) = б»эл у', й = 1 ., и. Реализация Гильбертова пространства Лз. Если оператор координаты есть оператор ум- ножения на координату, а оператор импульса есть д Р» = — гЬ вЂ”, дЧ»' (3.10) то (3.9) выполнены.
*Для физической величины Р', имеющей классический аналог, надо взять ее выражение через обобщенные координаты и импульсы Р' = Р(Чм ° -, Ч„,Р„., р„) и в качестве оператора Г взять (3.! 1) При этом из разных возможных выражений для одной и той же функции Р надо выбрать правильное, в частности, то, которое приводит к самосопряженному оператору Р. Для физической величины, не имекнцей классического аналога, выражение для оператора надо угадывать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
