И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 10
Текст из файла (страница 10)
1. Полная энергия классического осциллятора может принимать любые полоз<сительно<е значения, начиная с Е = О. При Е = 0 частица покоится в начале координат. У квантового осциллятора полная энергия может принимать значения из бесконечноео, дискретного, эквидистантного набора. Наинизший уровень энергии Ео = ~1йа< > 0 соответствует энереии нулевых колебаний. 2, Известно, что х = О, 7<, = О. Средние значения координать< и илтульса квантповоео гармонического осциллятора такэке равны нулю, что следует из (4.46) и (4.47). 3. Для классического осциллятора Е„„= гав<вша„.
Для квантового осциллятора Е„= то<о~(п)х~)п). Таким образом, связь энергии с величиной среднеквадратичного отпклонения одинакова для квинтового и классического осцилляторав.. Р Еь = Ъ(х), (г<)Ъ'(х)<и) = ц — н 2то 5. Среднеквадратичные отклонения координаты и импульса: 2— Ьхо = (х — х) = хо = — — — п + то<о ~, 2) — /~Р'~~ — ( ), —, / ~ 2 /' 12н<о~ / 2 ~, ' 2) ' Таким образом Л ар=6 +~ Л =~Л ир= 2) ' Таким образом в основном состоянии (и = 0) в соотноисении неопределенности реализуется равенство: Ьх ~Хр = У~. Для больших и соотношение неопределенности вы«олняется с запасом: Ьх . <Лр » ь. 2' Следовательно, основное состояние и низковозбужценные состояния сильно отличаются от клъссических, а высоковозбужденные состояния мало отличаются от классических.
Это иллюстрируют рисунки 4.16, 4.17 и 4.18, на которых представлена плотность вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в интервале между классическими точками поворота для разных энергий. -ао 0 ао — ао 0 ао Рис. 17 Первое возбужденное состояние. Рис. 16 Основное состояние. 4. Теорема вириала вьтолняется как для клас<ического, так и для квантового осциллятора: ао Рис. 18 Высоковозбужденное состояние, 4.6 Однородное поле Постановка задачи. Оператор Гамильтона. Рассмотрим частицу с массой твя движущуюся в однородном поле вида Ъ'(ж) = — Ех, Рис. 19 Потенциальная и полная энергии системы в однородном поле.
Уравнение 1Предингера для стационарных состояний с б2 12 — — — — —, + Ех Ф(х) = ЕФ(гк) 2гигэ Ихэ после замены переменных х = жг, жэ = У/(2гггэ Е) и с = Е/(Рм) приводится к виду: с 1г — +я — с ф(я)=0. газ 14.48) Решение в импульсном представлении. В импульсном представлении оператором координаты будет г = +г г1/г1р, а оператором импульса будет оператор умножения р. Уравнение 111редингера (4.48) в импульсном представлении запишется 14.49) Его решением является функция ~р (р) = е'(зг гв) ~% 14 '0) Множитель 1/з/2гг поставлен для нормировки: где К вЂ” напряженность поля. Обозначим классическую точку поворота за гк».
Т.к. потенциал неограничен нн снизу ни сверху, то спектр чисто сплошной. Оказывается, спектр занимает всю вещественную ось энергии. Чтобы найти 1 ь(г) надо перейти к координатному представлению: Последний интег ал, с т , р, с тозностью до константы, представляет собой функцию Зйри Г /1, ФИ) — — р+Ы 1р о (4.51) Таким образом, 1 4е (~) ~ — Ф (~ ~) (4 52) Перейдя к пе еме .ре виной х и энергии К с помощью х — е = (Кх — Е~ "Р'м волновую функцию ф нк ию 15.(,) — е = ( х — ')/( м), получаем ию функцию 15н(х) частицы, движущейся в однородном поле 15 () =Ф (') =СМ) = — --Ф( з/т 1 Р'м (4.53) Сравнение движения квантовои и классической частиц.
йри есть Асимптотики функции 1 / 2 з1 21~ —, в1п ~-)Е!' + — ~, Š— + — оо. )1(( 3 4 Ф(г) = (4 54) Поэтом волновая у ая функция частицы в однородном поле ь ~х1 и и недост иная облас ) ле кн(х) при к > х1 (классически у ласть) экспоненциально затухает, а при х < к ( ная облает ) ри х ка (классически разрешенласть) она осцилли ет со в ру. се возрастающей частотой и убывающей амплит дой. Поведение функции фв(х) показано рисунке 4.20. еи амплитудои. 1'ис. 20 Функция Эйри. 1. Полн я а энергия как классической так и ква вантовой частицы в однородном поле может принимать любые значения от -оо до +оо.
бб где С есть норми ювочная коне 1 онстанта, которая обычно подбирается так, чтобы фн(к) была нормирована на о функцию по энергии. х,х - классичес- ти классической частицы в точке х "о 'о- 2. Известно, что величина скорости кл кая точка поворота) задается выражением / 2 и„,(х) = ~/--- (Š— Гх), гва тает п и меньшении х. Поведение квантовой частицы ы полностью аналои возрастает при уменьшении х. скорятся внезпним однородным еской частицы. Она также ускоря гично поведению классическо " . О ,ле ет из возрастания частоты < . осцилляпий полем.
Ее скорость также растет, что следу . волновои функции фв(х) при х + — ~р — оо ~ исунок 4.20). 1 новой нкции фн(х) при х -+ — оо 1рисунок 4.20) свя- 3. У еньпгение амплитуды волновой функции >н .ныл ветс я зано с возрастанием кинети е етическои энергии т и в точке х (абсолк~т- !) н сть ве оятности обнаружить частицу в точке х огпносипгеаьниа(.) плотность вер я финитного движения).
, и в оятности имеет смысл только для инитн г ная величина плотности вероят кз и квантовую час- и в . оятпости обнаружить классическукз и к Относительные плотности вероят как классическая, нке 4.21. Из этого рисунка видно что, как кла тицу в точке показаны на рисунке ..
з, так и квантовая пло тноств вероятности уменьшаются при х — ~ — оо. х)1 0 Рис. 21 Относительные плотности вероятности обнаружить классическук1 и у квантов ю частицу в данной точке х. " о ласти х' > ха плотность вероятности р,„ ,х, =О,вто 4. В классически недоступной области (х ха) время,как квантовая оная плотность вероятности р (х) затухает по экспоненц тз~г закону с показателем пропорциональным — х ~4.54). 67 5 Связь квантовой механики с классической механикой 5.1 Волновой пакет В классической механике движение частицы описывается радиус-вектором г(1). В квантовой механике состояние частицы описывается волновой функцией ф(г, «). Поведение квантовой частицы будет похоже на поведение классической, если ф(г,1) будет локализована лишь в небольшой области пространства.
Такие волновые функции принято называть волновыми пакетами. В зтом случае, среднее значение г(1) = 4*(г, 1)гф(г) юг, описывающее положение центра волнового пакета, может быть сопоставлено с радиус- вектором классической частицы, а дисперсия Лг = ~/(Ля)2+ (Ьу)з+ (Л~)2 = ~/(я — х)2 + (у — я' + (я — й)з, характеризует ширину волнового пакета. Оказывается, что если в начальный момент времени создать локализованный волновой пакет, то в течение некоторого промежутка времени г®, будет мало отличаться от классической траектории. 5.2 Уравнения Эренфеста Оператор Гамильтона описывающий частицу с массой те в потенциальном поле Ъ'(г): 1 1 — + р(г) = — (~~ + р~~ + р~~) + р (г) 2гло 2гво -„-я = (О,~~ = -„'(й- - -О) =,, ' „(Рх — хР), (5.1) (5.2) Уравнения (5.1) и (5.2) называк~тся уравнениями Эренфеста. Уравнение (5.1) совпадает со своим аналогом в классической механике, а уравнение (5.2) лишь похоже на уравнение Ньютона.
В уравнении (5.2) стоит среднее от производной др"/дх, а в уравнении Ньютона стоит сила, вычисленная в той точке, где находится частица, то есть производная от Ъ' в точке яс Сравним их. Разложим дР/дя в ряд по С = я — х: дЪ' дР' 1 дзЪ' дх дх, 2 дх~ ~я Уравнение (5.2) перейдет в уравнение Ньютона, если . дз~, —: » ~ з~ (Ьх)', дх~ т.е. если Ьх было достаточно мало. Однако, при уменьшении Ьх будет возрастатыХр„и разница в кинетических энергиях классической и квантовой частиц становится болыпой: р. р.— ~чь 2 ---2 я — — = — — + —, 2гио 2ые 2гно 2 з — — 2 Ьрх =Рз 5.3 Минимизирующий волновой пакет и его расплывание Принцип неопределенности Гейзенберга ЬЧЛр ') Ь/2.
Волновой пакет, для которого выполняется равенство,ЛЧ,Ьр = Ь/2, принято называть иижииизиррюи1п.я. Форма минимизирующего волнового пакета (Ч~а) = Ф,(Ч): 1. = (Р— Р) + 4(Ч вЂ” Ч), /Д ~ К: (а~К Ь',~~а) = О, (Ь~Ь) = (и~1+Й~и) = Ьр + 4[р,Ч) + /э* /1Ч = 3р + Ьэ' + /1 ЬЧ = О, Ь 2ЛЧ: при таком /1 выполнено условие минимизирук>щего пакета: ЬЧЬр = Ь/2. Из свойств нормы вектора ,'Ь) следует, что (Ь~Ь) = О тогда и только тогда, когда ~Ь) = О.
Отсюда с1 гЬ 1,~а) = ~-1Ь-- — Р— — (Ч вЂ” Ч) ~.(Ч) = О, йЧ 2ЬЧз 1 / г (Ч вЂ” Ч) 1 Р.(Ч) = — „=--= — =ехР~-РЧ вЂ” --- —,/. 412 ДЧ2 (5.3) Функция 1я,(Ч) соответствует минимизирукпцему волновому пакету. Исследуем как будет меняться во времени волновой пакет Ф(Ч, 1) если в начальный момент времени он являлся минимизирующим (5.3). Пусть Й = П(Ч): 1~(Ч)фп(Ч) = Епфп(Ч): (фп!фткр) = Аап, 'Ь--ж(Ч,1) = й(Ч)Е(Ч,1), Ф(Ч, О) = Ф,(Ч). т.е.
квантовое состояние сильно отличается от классического. При малых значениях Лр величина Лх не мала, то есть волновой пакет не будет достаточно локализован. Следо- вательно. только при больших значениях кинетической энергии поведение квантовой и классической частиц будут близки. Тогда ф(Ч 4) = У С.ЯФ.Ю С.И) = (ф (Ч)ЖЧ,~)) в=1 С„,((,) = С (О) ехр( †.,Е„,й), С (0) = ) ф*„,(у')ф(~',0)41у'. Таким образом, ж Ф(4,6) = [ К(4,4',СУЪ(4',0(44', (((4,4',Ц = 2 и(- — „~,~) Ф,(4(Ф„(4 (. в=1 — х Свободная частица. Й(д) = —; Е„= —; фр(у) = — — =ехр — рп 2гво 2то з/22г6 Я(44',Ц = — Р(- ' [Р~ — Р (4 — 4Ы)44 = С(Ц 4(4(4 — 4['(, 22гЬ,/ ~ 2п1((й где у = гл(1/(2И) зависит от времени, а С(~) = 1/ — гу/я. Выберем систему отсчета так, чтобы р = О, тогда волновая функция минимизирующезс( волнового пакета свободной частицы равна; 1 Г гп((4Ьгуг ~' -гпв(д — д)2 '1 12(гу,4) =, — — — ехр 4/2,4,,2 1[ 22Щ [ гл 4,1чг ' ~22Щ [ и, 4А~12 4 Изменение формы (квадрата модуля волновой функции) минимизирующего волнового пакета с течением времени в случае свободного движения: 1 / (гу — б) ~ р„,((у,1) = = —..
ехр [ —- /Ъ,(~), ~ 2 (~) /' где дисперсия (г(г) 2(г(1) = 2 (Лц + (Хр /гп„) ~ ) = —— 2 2 2 2 (2Ы) + (н(е40щ ) 2гвго4Лгуг Таким образом, с течением времени минимизирующий волновой пакет сохраняет свою гауссову форму, однако его ширина возрастает пакет расплывается. 40 ~ 41 ~ 42 70 Гармонический осциллитор. Й(ч)=-- — + -' о ч, Р 1 г г 2гпо 2 1 1"„= Ьог~ и + -), ф„(Ч) = — — ==-==- =с з' Н„(х), 2) ' /и /и п~рь р (Ч,1) = ехр 1 / (Ч вЂ” Чо(1))' ~ /2т(1)гг ~ 2 о (1) г г Р о(1) = ЬЧ сов оЛ + — — ( — — ~ вш оА, Чо(1) = Чсов~Л + — — -ппог1.
~Ч ~2глоы ъ/гпоЬог Если в момент времени 1 = О выбрать начальную ширину пакета;/о(О) = „/Ь/(2гпоог), то дисперсия о (1) = 1/2 не зависит от времени. В этом случае и (Ч,О) = — = р(- (Ч вЂ” Ч) ), 1.-.(Ч,1) = - — ех (- (Ч вЂ” Чо(1)) ): 1 г т.е.плотность вероятности такая же, как и плотность вероятности для основного сос гояния гармонического осциллятора, но центрирована не на начало координат, а на точку Ч, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
