И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пользуясь тождеством (8.31), находим г е г (ат, р — — А(г)) = (р — -А(г)) — — (гт, Я), где Я есть напряженность магнитного поля. Поэтому 1 е е6 — (р — -А(г)) — ' (~.Я) + еАо~ уг = Е'~р. 2тло с 2тлос (8.42) Оператор энергии содержит слагаемое, которое имеет смысл энергии магнитного диполя ел е Р = — — — тт = †-Б 2тлос тиос в магнитном поле. Следовательно, у частицы имеется собственный магнитный момент, пропорциональный спину. При этом гиромагнитные отношения для спина и для орби- тального момента различанотся множителем 2.
Релятивистские поправки ,Р) Х+(Ъ' — Е')~ = О, с(о,р) 1о+( — 2тиосг -~ Ъ' — Е'),С = О. Используя второе уравнение, выразим т через у 1 1 / Е' — $'~ Х = -,г- — —,--- — с(~.,р) ~ = -- —, ~ —,г / ( .-.' г Учтем приближенно слагаемые, которые были отброшены при выводе уравнения Паули. Предположим, что магнитное поле отсутствует А = О, обозначим т' = еАо и положим Е = тлосг + Е'. Тогда система уравнений (8.39) примет вид Здесь мы воспользовались тем, что (Е' — 'н')/2тос~ юо/4с~, учли слагаемые порядка ко/с~ и отбросили слагаемые более высоких порядков. Тогда < / Е' — Ъ'~ — (г,Р) 1 — — —, (,р) + 1' 'р = ~'р.
2гиос ' 1, 2тос' ) Однако, условие нормировки имеет вид (фу) + (ф~~) = 1. Преобразование 1 о=1 — — — Р 8т2с~ у = дФ, приводит к ЙФ = Е'Ф, (Ф~Ф) = 1, где оператор Гамильтона имеет вид р 2 Н =- — +Р'+Н,. 2гио Здесь У~ оператор, содержащий релятивистские поправки порядка но/с~. В него входят; ° ОпеРатоР Р4/8тозсо, Учитыван>щий зависимость массы от скоРости. ° Операторы 1(Е, р) и ЬЪ', не имеющие классического аналога.
еи ° Оператор — — — (о, Е х р) спин орбитального взаимодействия. 4гиосо Здесь Е есть напряженность электрического поля. В случае центрального поля е6 й 1йг" 1 1Л' ~- -~ — — — (о', Е х р) = — — — — — — (сг, г х р) = — — — — Б, Ь 4 пф;о 4тосо г сЬ' 2тосо г йг Этот вид и послужил причиной названия "спин орбитальное взаимодействие" . Именно спин-орбитальное взаимодействие есть причина тонкой структуры спектров. Некоторые трудности теории Дирака При выводе уравнений Дирака использовались только самые общие предположения.
При этом получилось, что у частицы должен быть спин 1/2. Однако, есть частицы с другим значением спина. Дело в том, что для исключения состояний с отрицательной энергией пришлось предположить, что все состояния с отрицательной энергией заполнены. Тем самым начав с модели одной частицы, пришли к системе бесконечно большого числа частиц. Ксли взаимодействие между частицами не очень сильное, то даже при наличии физического вакуума модель одной частицы будет достаточно хорошим приближением. Так и оказывается для электронов. Однако, для многих других частиц взаимодействие оказывается сильным и модель одной частицы оказывается плохим приближением.
Для таких частиц теория Дирака не годится. Даже для электронов в теории Дирака есть проблемы. В частности, оказывается, что скорость частицы Их/Й по модулю всегда равна скорости света. Эти проблемы свидетельствуют о том, что теория Дирака является приближенной, квазирелятивистской теорией. Она позволяет получать многие экспериментальные результаты физики частиц с высокой энергией, но не является строго релятивистской.
В настоящее время есть более точные построения, но строгая релятивистская квантовая теория до сих пор еще не построена. Модуль 1Ч. Приближенные методы в квантовой механике 9 Теория возмущений 9.1 Теория стационарных возмущений Теория стационарных возмущений применяется для приближенного решения стационар- ного уравнения Шредингера ЙФ = Е1я. Но+ 1~, причем для оператора Йо все решения стационарного уравнения Шредингера известны, а оператор Р в некотором смысле мал (понятие малости будет уточнено позднее). Оператор Н принято называть возмущенным опсрагпором, оператор Но нееозмущенным оператором, а оператор г возмущением.
Пусть спектр оператора ЕЕо чисто дискретный: НоФь = гя 4'я <Ф ~Ф) = ~я, ~~4)(Ф.~ = Е я=1 Введем оператор Н,,: Й = ЕЕо -)- уР, где у числовой параметр. Рассмотрим задачу на собственные значения 7 7 ~7 7 и представим 1р и Е в виде рядов по степеням у: Е(о) „Ер) г Е(г) ,р(о) + р(ц + г,р(г) + (9 2) Тогда искомые энергия и волновая функция будут иметь вид (9.2) при у = Ь Величины ЕРЦ и 1Р(~) принято называть поправками й-го порядка теории возмущений к энергии и к функции соответственно. Подставляя (9.2) в (9.1) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени у,получаем; (9.3Ь) (9,3с) Система уравнений (9.3) определяет 1р с точностью до произвольного множителя.
Эта неоднозначность устраняется при выборе определенной нормировки волновых функций, например (,р(о) р ) Из (9.3а) следует, что Е(о) и Ф(о) суть собственное значение и собственная функция оператора ЕЕо. Пусть сначала Е() =61 101 (Йо Е(~)) Ф(") Е(о)) р(ц (Йо — Е(о)) Ф(г) Г-- Е(о)) р(г) О, ( Е(ц ~-) р(о) Е(ц 1;) р(г) + Е(г)р(о) ( Е(г) 1, ) р(г) , Е(г)р(г) + Е(з)р(о) соответствует невырожденному уровню. Тогда ф(о) (фдЖфд>, ,(О С, <ф Мф> ,7 я ед — еь ь=я Е( ) ф 'Р1ф( ) — С <Ф Мф )(Ф Щф > ед — ея (9,1) (9.б) (9 б) Из структуры формул теории возмущений ((9.4) (9.7)) видно.
что вклады последующих порядков будут быстро убьдвать, если выполнено неравенство (Фд )Р! Фя) (( 1. — еь Написанное неравенство представляет собой условие. применимости теории еоэмудценддй.. Пусть теперь е, является пд-кратно вырожденным. Тогда Е " = ед, ф() = ) Сф.. Для нахождения коэффициентов Сь используется уравнение (9.3Ь), которое приводит к системе алгебраических линейных однородных уравнений: ~, (ыС~ = Е(') Сь,.
1.= д (9.8) й=),2,...,т или Н„С = (Е(о) + Е(')) С„, 1; = 1,2....,гл, где Ны = (ФФ~фд. Ры = (ФФФ> )6д — ез~ (( (6д — еь~. )ед — ез( (( ~ез — 6я(, Й = 2,3, то есть расстояние между уровнями ед и ез гораздо меньше, чем расстояние от каждо- го из этих уровней до любого другого уровня. Здесь естественно использовать систему уравнений для вырожденных уровней (9.9): (Ндд — Е) С + Ндз Сз —— О, Няд Сд + (Н22 Е) Ся = О, (9.10) 102 Система уравнений (9.8) (или (9.9)) представляет собой задачу на собственные числа и собственные вектора секдулярцой матрицы размерности т х нд.
Собственные числа секулярной матрицы могут быть разными, но могут и совпадать. Возможны случаи поаиого (все собственные значения разные) или частичного (есть совпадающие собственные значения) снятия еьдрождения, а также случай, когда вырождение не снимается (все со~~ стве нные значения совпадают) . Наконец, рассмотрим случай близких уровней. Пусть где Е имеет смысл энергии в первом порядке теории возмущений. Однородная система уравнений (9.10) имеет нетривиальное решение, только если ее определитель равен нулю: (Нп — Е) (Нгг — Е) — Н12 Н21 = 0.
Это есть квадратное уравнение для энергии Е, решение которого имеет вид г Н11 + Н22 „1 ~НН11 Н22 ~Н, ~г 2 ~ 2 (9. И) В выражение для энергии входят две малые величины, (Н11 — Нгг) и Нгг. Представляют интерес два предельных случая. Предположим сначала, что ~Н12) << ~Н11 — Нгг'. '1"огда в под корнем в (9.11) можно пренебречь вторым слагаемым и получить Е1 =Ни =е1 ' Ъ11 Е2 Н22 = ег + 122 где Н12~ >> ~Н11 — Н2Ы Тогда под корнем в (9.11) можно пренебречь первым слагаемым и получить Н11 + Н22 Е1,2 -- ~~ 12~ 2 9.2 Эффект Зеемана Бесспиновая частица Оператор Гамильтона для бесспиновой частицы в электромагнитном поле: 1 2е еп Н = — (р — — А) + еАе — — рг — — (А р) + 1 — Жу А + — А + еАе.
2то с с с сг В случае постоянного и однородного магнитного поля с напряженностью Я векторный потенциал может быть вь1бран в виде: 1. А = -~Яхт] Тогда 111уА = О, 1, 1 1 (А р) = — ((Я х г1 р) = -((г х р1 Я) = — (Х Я), где 103 Таким образом, в этом случае получаются формулы теории возмущений для невырожден- ных уровней.
Предположим теперь, что имеет место обратное неравенство: Для центрального поля еАо(г) = ГГ(г) . В случае слабых магнитных полей можно пренебречь слагаемым с Аг. Направим ось г вдоль вектора напряженности магнитного поля Я. Тогда уравнение для стационарных состояний частицы в магнитном поле примет вид < ьг еЯ -~ — — Л + ГГ(г) — -- Л,~ Ф(т) = ЕЦг). 2та 2тас (9.12) Здесь гамильтониан коммутирует с операторами ХР и Х „и собственные функции ф могут быть взяты в виде функций центрального поля: 1 р„, (г) = - Р,„(.) ~; (у, р) Для таких функций Поэтому, если ф„а„есть решение уравнения ьг —;.
— Л + ГГ(т) ~ Фа (т) = Е„~ Ф и (т), 2та то она будет также решением уравнения (9.12), соответствуипцим энергии (а) еббр Е = Е„г — — т 2тос Частица со спином 1/2 Будем использовать уравнение Г1аули: Здесь Ф есть двухкомпонентная функция ГТ = рг + ГГ(г) — — — <(Я. Х) + 2(Я Я)1 + — — Аг + Н;, 2то 2тпос 2тосг где оператор Н1 содержит релятивистские поправки, обусловливающие тонкую структуру- уровней энергии. Оператор Я есть оператор спина электрона.
В зависимости от величины магнитного поля нужно рассматривать три случая. ° Очень слабое магнитное поле. Квадратичным по А членом можно пренебречь; расщепление уровней за счет магнитного поля меньше, чем расстояние между уровнями тонкой структуры. Это аномальный эффекта Зеемана. о Слабое магнитное поле. Квадратичным по А слагаемым по-прежнему можно пренеГ» речь, но расщепление уровней за счет магнитного поля превосходит величину тонкой структуры. Это эффект Пашена-Бака. ° Прн сильньгх полях надо учитывать квадратичное по А слагаемое. Это коадрагиичный эффект Зеемана. 104 Таким образом, (21+ 1)-кратно вырожденный уровень при включении магнитного поля полностью расщепится на 21+ 1 эквидистантных уровней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
