И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(в и и целые числа). 1'азложим вещественное поле ф по этой полной системе функций: х1 ~ю ~л ф(т,с) = ~ (д(й,г)и(й, т) + д"(й,Ю)и'(й, т)) 2,/ 2,/ 2,/ и и 4 "=-'~'1-'('"'"'"" /'"'(""' 2 ь й' и и о +д(й, с) д*(й', 1) и(й, т) ы'(М, т) с(в + д*(й, 1) фй', 8) и*(й, т) и(й', т) с1е У У б~ р, б„ / ", ' д|', ь; )=.'С',и,): (17ф) сКи = ~ йс д(й, 1) д'(й,.1);. 2 й — 4>'Йи = ,'1 д(й,1) д*(й,1); 2 У Ь ( (й 1) ~ (й «) 2(й) (~ 1) ~(й 1)) аР(й) = йв+ т'. Обобщенный импульс и функция Гамильтона: дЬ р(й, 1) = —. — = )*(й, 1), й)(й, 1) Н = ,'1 ~р(й,1) р*(й,1) + юс(й) д(й,1) д"(й,1)).
131 оз ачает что каждое значение й входит только один раз (нужно Штрих у знака суммы озн ч иметь в виду, что и*(й, т) = и( — й, т)). Вычислим функцию Лагранжа для рассматриваемого поля: Вещественная и мнимая части переменных д и р: 1 (р — 'р )' 1/2 1 р1 = ----(д) + газ), 1/2 Каноническое преобразование: Переменные Я1 и Щ объединяются в одну переменную Ц и аналогично переменные Р1 и Р2 объединяются в одну переменную Р: фй,1) = Ц1(й,1), Р(й,1) = Р1(й,1)р 9( й; 1) М2(йр 1)р ( й, 1) = Р2(йр 1).
Функция Гамильтона принимает вид: О = — ~ 1Р~(й 1) + ))~(й)Ц~(й ~)) Она имеет вид функции Гамильтона системы невзаимодействующих гармонических ос- цилляторов, причем переменные, описывающие эти осцилляторы, являн>тся веществен- ными. Теперь можно провести квантование: ®й,е) — + Я(й), ф(й) = фй); Р(й,1) -+ Р(й), Р1(й) = Р(й); ~фй)рЯ(й')~ = О, ~Р(й),Р(й')~ = О, ~Р(й)рЯ(й')~ = — гйбь,ь', О ~ ~~ ~р2(й) + 2(~ )О2(й) ~ Операторы рождения Ь1 и уничтожения Ь: ь)р ) = ' ( )р )р2)р ) -р рЗр )), 27 рр ) 1р )р ) = ' ( )р ) р2)р ) - р )р ) ) р з/26ы(й) '(Ь(й),Ь(й')~ = Ор ~Ь1(й),Ь1(й')~ = О, ~Ь(й),Ь1(й')~ = бьм.
Оператор Гамильтона скалярного поля через операторы рождения и уничтожения. рр = Г р з)3 рр)р)ьр) р —,). 132 1 11 = -®1+ 92), 1/2 1 Р1 (Р1 + Р2)р з/2 1 Д2 — — "" (.~ 1 Р2) р ~/2 )) 1 Ь = — 'М2 — Ф ). /2 Перенормировка: Й = ~ Ьла(й) Ьа(й) Ь(й). Операторы поля через операторы рождения и уничтожения: 4(т) = — — ~3 а — — (Ьа(й) ехр[ — а(3с - т)1 + Ь(й) ехр[а(3с т)1) О 2 (й) аг(т') = — == 2 а[/ (Ь (й) ехр[ — а(й. т)] — Ь(3с) ехр[а(3с т)]) .
~Б(3с) ,г'Д~ 1/ 2 Коммутаторы операторов поля: а3а — [ехр[а(й (т' — т))] + ехр[а(й (т — т'))]) ага = — — ,'а ехр[а(й (т — т'))]; [3(),А(~)] =а~~. 13, [ь(ц~р~-'(а а-';ь|ц~ рда ~н, Ьа(3с') ехр[ — а(й'. т')]+ Ь(й') ехр[а(3с' т')]] ай 1 — (ехр[а(й. (т' — а))] — ехр[а(й. (т — т'))]) = О; 2Ъ' ю(й) [тг(г), аг(т')] = О. Имея в виду предельный переход а3 — ~ сс, 1 — ехр(ай,х)г3й, = б(и), 2тг 1 1 2аг а3 2аг — ехр(ай,гс) = — ,'а ехр(ай,т) — — + г3 — а со — ,'а ехр[а(3с (т — т'))] — ~ 3 ехр[а(й (т — т'))]г3й = 5(т — т'), Ъ' получим: 3[аг(~ ), ф(з')~ = — аГй(т — т'). 133 '[аг(т),ф(т')~ = ал ~,"т —, [Ьа(й) ехр[ — а(й.
т)] — Ь(й) ехр[а(й т)], й й~ ЬГ(й') ехр[ — а(й'. т'), '+ Ь(й') ехр[а(й' т')]1 Оператор импульса поля Р: .Р = — я~7фдс =и .Р = — яКфйи. г= — у'у " ~ ~ 1' (за р~-и~ и — сии . р~и~ «) х (сй') ~ — Ьг(й') ехр( — г(й'. г)1 -~- Ь(й') ехР[г(й'. г))~ йп ~ М (Ь1(й) Ь ( — й) и Ь(й) Ь( — й) + Ь1(й) Ь(й) + Ь(й) Ь (й) 1 ",и лйЬг(й) Ь(й). Операторы полной энергии и полного импульса поля можно записать в виде й = '~'ь (й)й(й), Р = ', иЯ(й), где 1~(й) = Р(й)Ь(й) есть оператор числа частиц с волновым вектором й. Энергия и импульс частины с вол- новым вектором й есть Е~ = Ьы(й); р„= лй, :Я~~ = р~~ + Ьзгпз.
Эти частиды принято называть квинтами поля. В представлении чисел заполнения со- стояние квантового поля описывается бесконечномерным вектором состояния /И(й1), П(й2), ) р в котором указаны числа заполнения для всех волновых векторов й. Справедливы следу- ющие соотношения: В основном состоянии квантового поля (состоянии физического вакуума) числа заполнения всех квантов равны нулю; $0) = !О, О,...).
Среднее значение поля и квадрата поля в вакуумном состоянии: ар|им и (о~ь(био) + .. р1- (в,и(о~в(био)~ = о; (0~Ф!0) = ',й 134 ~Цйс) ~.(й,),, п(йс),...) ЬЮ !п(й1).", п(йс) ") ЬФ(йс) ~п(й1),..., п(й|),...) (п'(й1), и'(йя),... ~и(й1), п(йз),... ) п(йс) )п,(й,),..., п(йс),... ), ~/и(Й~) ~п(й1),..., п(йс) — 1,... ), /п(йс) + 1 ~~п(й1),..., л(йс) -и 1,... ), Ьп'(ь0,в(Й1)А~'(йг),п(Й2) ' ' ' (О~4 ~О) =,—,, 1 ",~ ---,— (О /(Ь1(Ус) ехр[ — с(1с г)[ + Ь(3с) ехр[1(й г)[~ й й~ х )Ь~(й) ехр[ — 1(к . г)[ + Ь(к) ехр[1(гс г)~~) = ~ — ) О.
2ъ' ы(й) Последнее соотношение означает„что поле в состоянии вакуума флуктуирует. Оказыва- ется. что среднее значение квадрата поля не только отлично от нуля, но и бесконечно велико: 'г ' оо ~ оо 1 л'т интеграл расходится при больших к. Это представляет собой одну из трудностей квантовой теории поля; существуют рецепты, позволяющие с ней справиться. 11.4 Квантование свободного электромагнитного поля 1дА Е = — ---- — ~Ао, с дг Я = гоФА, ЬА — — — ~7 с11у А + 1д ЬАо + — — ЙчА сдс — 47Гр, где р есть плотность заряда, а у есть плотность тока.
Векторный и скалярный потенциалы определены с точностью до калибровочного преобразования: 1 дс А — ~ А = А + ~;г; Ао — ~ Ао = Ао — — —, с дс Выбор той или иной формы потенциалов производится с помощью дополнительных уел<» вий, которые называются калибровкой. Наиболее часто применяются: Куяоноеская калибровка. йчА = О. Лорениее скал кааиброака. 1 дАо йгА + — — — = О. с д1 Здесь остается произвол калибровочного преобразования с функцией ко, удовлетво- ряющей однородному уравнению 1 дно ~а 135 Электромагнитное поле описывается напряженностью электрического поля Е и напря- женностью магнитного поля Я, компоненты которых не являются независимыми. Введем векторный потенциал А и скалярный потенциал Ао. Свободное электромагнитное поле: р=О, :1=0.
В лоренцевской калибровке для свободного электромагнитного поля имеем 1 дгА ЛА — —, —,— с' дгг 1 дгАе сг дсг 1 дАг йчА + — —— с дг О, Можно так подобрать функцию Лю что в результате скалярный потенциал А0 обратился в нуль. Тогда 1 дгА ЛА — — = О, с' дгг йчА = О. (11.1) (11.2) Каждая декартова компонента векторного потенциала удовлетворяет уравнению, которое является частным случаем рассмотренного ранее уравнения для скалярного поля. Пол- ная система векторных функций, удовлетворяющих таким же циклическим граничным условиям,что и в случае скалярного поля: 1 и(й,Л,г) = е(й, Л) ехр[г(й г)), /Г (й е(й,1)) = О; (й е(й,2)) = О; (й е(й,3)) = Ус.
Разложение векторного потенциала: А(г, 1) = ъ~4гг с ,'~ ,'~ (п(й, Л, 1)и(й, Л, г) + и'(й, Л,1)и'(й, .Л, г)1 не содержит слагаемых с Л = 3, чтобы удовлетворить уравнению (11.2). Действительно, г' сй йчи(й, Л,г) = ~(е(й, Л),й) ехр(г(й. т)) =,=,ехр(ъ(й г)) бл,з, Л ф 3 =~ йчА = О. Осталось поперечное поле, перпендикулярное волновому вектору, компоненты которого можно рассматривать как два независимых скалярных поля. Теперь можно провести квантование поля, как это было сделано в случае скалярного поля, учитывая, что связь частоты с волновым вектором имеет теперь более простой вид м(й) = сй.
В результате получаем: ,'~ йы(й)М(й, Л), ь л=цг '> ',~ ИУ(й,Л), ь л-л,г 136 Переменная Л = 1,2,3 различает три линейно независимых единичных вектора поляриза- ции е(й, Л). Выберем их так, что где ЬЦЙ,Л) = Р~Й,Л)Ь(Й,Л) есть оператор числа квантов (фотонов) с волновым вектором Й и поляризацией Л, выраженный через операторы рождения и уничтожения квантов, удовлетворяющих следующим условиям коммутации [Ь(Й,Л),Ь(Й',Л')~ = 0;. [Ь~(Й,Л),Ь~(Й',Л')1 = 0; [Ь(Й,Л),Ь~(Й',Л')~ = 6ьь д~,м.
Оператор векторного потенциала через операторы рождения и уничтожения: А = ,'> ~ ~ — — — -се(Й,Л) ~Ь~Й,Л) ехр~г(Й г)~ + Р(Й,Л) ехр~ — г~Й. г)~~. ~ а~(Й)Ъ' 12 Заряженные частицы в электромагнитном поле 12.1 Оператор Гамильтона Релятивистская функция Гамильтона системы заряженных частиц в электромагнитном поле; г и=г (;~+ (р — — А (;,1)) +Р(;,11 + — г с ™~ 2 !г1 — г ~ 1 + ,'~ ~~) (р(3с, Л,3) р*(3я, Л,Ь) + а1~(й)13(й, Л,3) 13*(1с, Л.,3)3 И Л= 1,2 Для квантованного поля в нерелятивистском пределе: Н, +Нг+Нг, '> -"--'-+ Р; + —,,'2 ~; ,'~ Ь (3)У(3,Л) ь л=1г е2 — (А1р(г1) .Р ) +,~ — ' — [А1р(г1)) с е(32, Л) (Ь(32, Л) ехр[1(32 г)] л=1,г Ь (Зс, Л) ехр[ — 1(3я . г)] ) .
А1,(г) Здесь Й1 есть оператор Гамильтона системы частиц с кулоновским взаимодействием, 332 оператор Гамильтона поперечного поля, Йг оператор взаимодействия частиц и поля. А1р(г) оператор векторного потенциала поперечного поля. Оператор Но = Н1 + Нг 12.2 Одна частица в электромагнитном поле. Вероятность излучения и поглощения 6 Н1 = — Л + 33(г), 2П1о Н2 ~ ~~ Ь1р~(3я)1~3(3~~ Л)~ Ь Л=-1,2 Йг= — — (А р) = — ,') ,'>', --- -2 ~ (е(3',Л) р) тес тая а1(3с) 1' х (61(32, Л) ехр [ — 1(3с .
г)] + Ь(3с, Л) ехр[1(32 . г)] ) . 138 описывающий невзаимодействующие систему электронов и поле, можно рассматривать как невозмущенный, а оператор взаимодействия Нг как возмущение. Под действием возмущения происходят переходы между стационарными состояниями оператора Нд. 1. Поглощение фотона. п,(й',Л') — 1, если й',Л' = йо,Ло и'(й',Л') = п(й',Л'), если й',Л' ф йо,Ло Вероятность перехода в единицу времени: г 2 Р „"" (йо, Ло) = — г ~(т ~(е(йо, Ло) 1г) ехрЯйо г)]~ и) т'„о (йод Е.. — Еа — М~~О) .(й Л) Р~ „— ) 2. Излучение фотона.
п(й'„Л') + 1, если й',Л' = йо,Ло и'(й', Л') = п(й', Л'), если й', Л' ф йо, Ло Е„„< Е„ гег ~(1со Ло) = г — !(™!(е(йо, Ло) 'Р) охра — 1(йо ' г)1~п) ~ тоог (йо) р 1, ГЕ,„— Е. + й~(йо) 1 х (п(йо, Ло)+ 1) — Рс ~ — — — / ь ~ ь Полная вероятность перехода в единицу времени с уровня Е„на уровень .Е„„с поглощением (Е„< Е ) или излучением (Е„) Е„,) какого-нибудь фотона: р(поги) ~~ ' ~~ ~ р(пагл) (й 1) р(иы) ~) ~ ~~~ ~ р(изо) (й 1 ) ь л=гд ь л=цг В пределе Ъ' — ~ оо сумма по й переходит в интеграл. Кроме того, в случае больших 1 функцию Р~ можно заменить на о-функцию. Тогда Р(поги) 1 У ~~~~ ~( ~( (й 1) р) [.(й .)1 п) ~~ ег Г п(й, Л) — 2лтгв / ог(й х 6(Е„, — ń— Ьго(й)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
