И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(ти 3р! й) ) ) тиос * (И ( Й-,'-2ЯЙ))). 1, (ги (р( к) = ко„,отио(ги~г)1г). 146 з =",~ Ар,+ о=г (А р) х; А; ро 1,о=1 1 1 — ,') х; (А,.о + Атя) ро + — ~) х; (Аы — Атн) рь. Среднее значение электрического дипольного момента: сЕ(Е) = 4" (х, Е)етую(х, $)йх д„ч + "1 1В~~~*(Е) ехр(ио„„,1)й „+ В~~~(Е) ехр(аког„1)с1„„„) ШфИ йв„+ 2Ке ~1 ВП~(1) ехр(ы„,„1)с1в есть сумма постоянного дипольного момента начального состояния д„„и зависящего от времени наведенного дипольного момента И'„(г), где д'„(1) = 2Ве ~~ В~~~(1) ехр(ив„„ДЮ, Тйф|1 2 1 гы~„ ~тп~ = -Ве ~ — ~ --- — "сХ„(сУ „А) совм1 + -- И„(г1„,в А) в1пюЕ (12 9) 6 ~~„,„— ~' с "™ с ЛЪ.фИ ™И +м „г1„(М„„, Я)сое<Л вЂ” ~ый„,(М „Я)вш(Л~. р = а (Ь с) его среднее Р по всем возможным расположениям жестко связанных между собой векторов аи Ь есть Р = — (а. Ь) с.
1 3 (12.10) Проводя усреднение в выражении (12.9) с помощью формулы (12.10), получим 2 1 а~щи~'~ И'„(~) = — 6 Ке ~ — — — --- ~ — -"-"-"- (г1„,„г~„) А соыЛ вЂ” ™-'--- (И„д „) А агп м1 36 с "™ мм~ ~Рай +ю,„(4„,„ЛХ „)Ясов~Л вЂ” иц(И„„, ЛХ „)Яе1поЛ~. Учитывая. что д мЯв1п<Л = — Я(г), д1 1 -мА в1п(Л = Е(Ц, Ясоз<Л = Я(1), можем записать 1 д аЕ(1) + уЯ(1) — — Д вЂ” Яф, с д1 2 М~ип 2 36 Е ~ахи "'" — Н.е ,'~, (ЛХ в с1„), й$фП 2с х 1 — 1ш ~ — (ЛХ„,„, дв ).
~А~тп т~~ь 148 Как правило, в эксперименте рассматривается большое число систем (газ, раствор), каждая из которых случайным образом ориентирована в пространстве. Поэтому измеряемые величины представляют собой среднее по всевозможным ориентациям систем. Рассмотрим три вектора а, Ь и с. Пусть вектор с фиксирован, угол между векторами а и Ь также фиксирован, а жестко связанные между собой вектора а и Ь направлены произвольным образом.
Тогда для вектора Аналогично для наведенного магнитного дипольного момента: лх,',(1) = ы'Н(1) + "тЕ(1) + -Д вЂ” -Е(1), д с д8 озфп Как правило, из четырех величин а, к, у и фс наибольшей является поляризуемость гт. Рассмотрим случай, когда можно учитывать только сс Тогда 1> г4' = аЕ, ЛХ' = О. Р = согх = согхЕа, где действующее на молекулу поле Е, связано с внешним полем Е формулой Лоренца: 4тг Е, =Е+ — Р. 3 (12.11) Тогда и для электрической индукции получаем Ю = Е + 4тгР = ЕЕ, 4ясогт е = 1+ — — —— 4тггхсо 1 — — —— 3 (е диэлектрическая постоянная).
При малых концентрациях со с = нв(ю) = 1 + 4ясоа(от), где и есть показатель преломления света в среде. Выразим поляризуемость через среднюю силу осциллятора У „: е2 ВЗфИ ВФф7$ ™И — — ы „(((тп(х(тг))о + ~(тгг~у~тг) ~ + ((то(х~п)~ ) .
Поведение показателя преломления при изменении частоты света (закон дисперсии) вблизи некоторой линии поглощения с частотой м „показано на рисунке. Кривые дисперсии имеют разный вид в зависимости от знака 1 „(или го„,„,). Для среды с концентрацией молекул со дипольный момент единицы объема (вектор поля- ризации) есть ~Мт~п~ Отрицательная дисперсия Рассмотрим теперь случай, когда помимо гг нужно учитывать еще и,д: д' = иŠ— — д- — Я, 1 д с д1 ЛХ' = — д — Е. 1 д с д1 Лля немагнитной среды вектор намагниченности Х мал, и нет необходимости различать действующее и внешнее магнитное поле: 1 д 'Р = сог1 = сос"Еа со д Я с дг 1 д ."Г = соМ = со-д — Е,+~В с д1 -' Используя опять формулу Лоренца (12.11), найдем для векторов электрической и магнит- ной индукции: (12 12) (12.1З) 4ясо,д 1 — — согг (12.14) Рассмотрим распространение электромагнитных волн в среде, предполагая, что свобод- ных зарядов и токов нет.
Систему уравнений Максвелла 1д гоФЕ = -- --И сд1 1д гоФ Я = — --Ю, с д1 г11ч Ю = О, ЙчБ=О нужно дополнить ««материальными уравнениями»» (12.12) (12.13). Введем декартову систему координат и будем искать решение в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси гс Е = Е(е,сов~о + оечв1пу), М (~ ) — 1 = й — 1 = й( — — 1) = И( — 1). й 150 ~«~зло~ Положительная дисперсия д — о — Яр д1 д д .Е д1 Число я определяет вид поляризации волны (я = Π— плоско-поляризованная, я = ' 1 циркулярно поляризованная), Такое решение существует, если выполнены следующие соотношения: 2яида + я = и - (ды), 2иды -1- яя = я(и~+ (ды) ), (12.15) где есть показатель преломления.
Вектор напряженности магнитного поля при этом имеет вид: Я = ЕЦ вЂ” ия + дм)е.,яшу + (и — яды)еясояу). и, =~й+дм, и = ~/я --дм, а значит, разные скорости распространения и волновые векторы: с О~ и =---, к = -и и с Рассмотрим две циркулярно-поляризованные волны с одинаковой амплитудой Е,. = Е (е, соя р ~- е„я1п 1р+), Е = Е(е,сову. — еяя1пу ), 9~~ = 'ро ~ у1: 'ро = йог — иу1, 'р1 дм я~ с ы ы ко = -ия = — к~я, с ия = ~/я. Возьмем суперпозицию этих волн Е = Е+ + Е = 2Есоя~ря(е,соя~о1 -~ е„яш1р1).
Первый сомножитель здесь это зависящая от координат и времени амплитуда 2Е соя ро — — 2Е соя(йод — ы1) = 2Е соя (- кй г — м1) . Второй сомпожитель ды' д(0 е,сову, -~- ер айпи, = е соя — я + еяя!и ' — -г с с представляет собой вектор поляризации, зависящий от координаты ж В каждой плоскости я волна является плоско-поляризованной, однако плоскость поляризации разная для разных значений координаты г. При распространении волны происходит вращение ияпскости иолярпзиции света. Величина угла поворота (на единичном расстоянии я) опречеляется модулем параметра д, а направление поворота определяется знаком д. Плоскость поляризации света могут вращать только среды, молекулы которых не имеют ни центра симметрии, ни плоскости симметрии.
151 Если Д = О, то д = О, и соотношения (12.15) выполняк~тся при любом я, то есть в среде могут распространяться волны с любой поляризацией. Если !! ф О, то д ф О, и соотнсяпения (12.15) удовлетворяются только при я = +1. Следовательно, в среде могут распространяться только циркулярно-поляризованные волны. При этом волнам, поляризованным по часовой стрелке (я = +1) и против часовой стрелки (я = — 1), соответствуют разные показатели преломления: 13 Система квантовых различимых частиц Волновая функция системы п бесспиновых частиц и плотность вероятности !Ф (г1, г2,, г„, 1) ! .
Ф(Г1, г2,, г„, 1), Оператор Гамильтона в нерелятивистском приближении У 1 Й(Г1,г2,,г„,х) = — ~~й — --ьй + ~ ъ'й(гй,е) + — ~~ь 4~й(г,,гй), й.—. 1 тй й-1 ай=1 потен- $1й(г;,гй) ф О, Ъ;и (г,,гй,гг,...) = О. Центральные потенциалы ъ',й(г;,гй) = ъ;й(/г, — Гй(). Временное уравнение Шредингера д г Ь вЂ” Ф (г1, гя,, гьч 1) = Н(г1, г2,, г„, 1) Ф (г1, г2,, г„, 1) .
д1 Замкнутые системы $~й(Г.1) = О, М, Н(11 Г2 ~1п 1) Н(11 Г2 Гу1) ° Стационарное уравнение Шредингера Н(Г1, Г2,, Г„) Ф(Г1, Г2..., Г„) = .Е Ф (Г1, Г2,, г„) . Интегралы движения — гБЯ~й, М = ~~1 тй — — ~~й (гй,рй1. й=1 й=1 й-1 Двухчастичнвя система й2 К2 Ь1 Ь2 + 1 ((Г1 Г2!) р 2т1 2т2 Н(Г1, Г2) Ф (Г1, Г2) = Я Ф(Г1, Г2). Замена переменных (Г1,г2) -+ ~К, г), ХЙ1Г1 + ТИ2Г2 ГВ1 + ТВ2 Г=Г1 — Г2, где ъ~(гй,1) потенциальная энергия частицы во внешних полях, а ъ'й(Г1,гй) циальная энергия межчастичного взаимодействия. Приближение парных взаимодействий 14 Система тождественных частиц.
14.1 Неразличимость тождественных квантовых частиц Тождественными называются частицы, каждая характеристика которых у всех частиц совершенно одинакова. Квантовые тождественные частицы являются принципиально неразличимыми. ОО О ". квантовые частицы классические частицы Рисунок 1. Неразличимость тождественных квантовых частиц. 14.2 Симметрия волновой функции системы тождественных частиц Волновая функция системы из и тождественных частиц (хь совокупность переменных, характеризующих Й-ую частицу) Ф = Ф(х„х„,х„,). Оператор перестановки переменных двух частиц Рыф(х1 '.:х~-1 хыхь,ь,хг мха,.х~~ь,х„) = =Ф(хы ., хи-ь хь хи-, х~ 1, ха., хм,, х„).
~2 Ры = Рнч ~Ры) = РыРы = 1, ~Ры~ = Ры Оператор Е любой физической величины Ь системы тождественных частиц коммутирует с оператором Ры РиЯ(х, ',х„) = 1(х,,х„)Ры. Две функции Ф(хь.,х„) и Ф1(хд,- ., х,„) = Рыф(х„,х„) описывают одно и тоже состояние; 157 ~р ~'= ~Ф!' =~ Ф (х,"-,х„) = е""'*'- *"'р(х1,",х.), о (х, ",х„) ~К, (Ф1(ЦФ1) = (Ф(ЦФ) =~ оы(х1, .,х„) = аы.
Таким образом Рц~й(х~, -,х„) = ЯыФ(х1,...,х„), () 2 Ры~ Ф(хы,х„) = УФ(хм,х„) = (Яы) Ф(х~, -,т,„), Фы)' = 1: Из свойств перестановок следует: Отсюда он~1 = К ~~я, ~у = сь = ~уь Ф .о~с). Таким образом, волновая функция либо полностью симметрична, либо полностью анти- симметрична. Симметричность оператора Гамильтона влечет сохранение симметрии волновой функции во времени. 14.3 Пятое положение квантовой механики. (Принцип Паули) Волновая функция системы тождественных частиц с целым спином полностью симиепь рпчна. Волновая функция системы тождественных частиц с иолдцелым спином полностью анпгасимметрнчна. Это есть принцип Паули в точной формулировке.
14.4 Система невзаимодействующих тождественных частиц Перестановка общего вида ее четность ~(и). Оператор перестановки переменных Р„: 158 .~ м 'е(х1. хз) ' ' ' > хи) = р(хи~ ~ хи~~ ' ' ' ~ А'„) Рассмотрим стационарные состояния системы и невзаимодействующих тождественньгх частиц Й(хм,х„) Ф(хь.,х„) = ЕФ(х, .,х„). Ж1) и Й(х ''' " ) = ЕЙ1(хь).
Ьг г Пусть известно, что Й,(х)ф~(х) = евое(х), (фе(ф„,) = дг„,. Тогда Е = е„, + ер, + .. + ср„, и для целого спина Ф (х„,х„) = —, ~ Р чая,(х1) ° . фг„(х„)., а для полуцелого спина Ф„(х ) ." Ф„(х„) -(х ° ) =-'-~.(-)" ~ ( ) ~ (х) = — ''"'"' ' '""")~ ( ) 4г„(хг) ". Ф,„(х ) 14.5 Статистика Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна 1. Тождественные чаппины с волупелым свином 4ермионьь Из гп одночастичных волновых функций (са > и) можно построить тп.' и! (тп — а)! разных антисимметричных и-частичных функций. Для газа слабо взаимодейству- ющих фермионов среднее число частиц в одночастичном состоянии у с энергией е, определяется формулой Ферми-Дирака 159 где определитель называется определителем Слейтера. Он обращается в ноль, если у него совпадают любые две строки.
Система невзаимодействующих частиц с полуцелым спином не может находиться в таком состоянии, в котором какие-нибудь две частицы находятся в одном и том же одночастичном состоянии. Это утверждение есть принцип Паули в виде принципа исключения. 2. Тождественные насгаицы с целым спинам бозоны. Из ги одночастичных волновых функций (гп ) и) можно построить (и + гп — 1)! и! (Тп 1)! разных симметричных п-частичных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
