И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 16
Текст из файла (страница 16)
= .~.4®у)~ ~ Ъпах ' /'~ т дт ~ т т дт т 2 Ьк ~А(б, ж)! тпа т~ 111 Тогда йт = ]А(д,~р)] ~И. Коэффициент А(д, оо) называется амплитудой рассеяния. Полное сечение рассеяния получается путем интегрирования дифференциального сечения рассеяния по всему телесному углу: ст = дст = ]А(д 1о)]~ сИ. 10.2 Метод Бориа Обозначим — '„'Р~'(г) = П( ) и запишем уравнение Шредингера в виде (Л + й~) т/т(г) = ~1(г)т/т(г). Переведем зто уравнение в интегральное. Для этого нужно найти функцию Грина свобод- ной частицы: (~1, + йо) т'(г, г') = ~(т — г'). о (~~о =0 1(~+о<-')З вЂ”, 1с РО(а ~ — ~Ваш] е-+о (2 .)з ~ 1 /" охра(д.
(г — ~г))] о ( (2я)о ~ тто — (й -~ Ы)з (10.2) Вычислим интеграл в (10.2): Г охра(д (г — г'))] /' /' / ехр[ту]г — г'~ сов ] ц2 (а + те)2 / / / ~12 (о; + Ге)2 о о а с о 1 Г ехр[щ]г — г'] сов д] 2тг =2тт / " -д сЦйсовд = —. / уо — (й- Ы)з ъ'1г — г' о -т ас д (ехр[гтт]г — э']] — ехр[ — зд]г — г'Ц) 2я /" дехр[тд] г — гав/] уо (й +,.е)г Ф]т' — т' ] ./ я — (Й + 1е) о 2 2г 1 и 2тг = — — 2тгт —, ехр[г(к+ те)]г — т']] =, ехр[т(й+ ге)]г — т (]. 1]г — г'] 2 ]г — г'] Отсюда ехр[й ! т' — т']] С,(г,г') = —— 112 Требуемой асимптотике волновой функции рассеяния (10.1) соответствует предельныи переход 11ш(к+ Ге) (е > О).
Обозначим такую функцию Грина С,(г, г'). Тогда о Интегральное уравнение для волновой функции рассеяния: 4(т) х охра(йо т)] + С.»(т,т')ГГ(т')ф(т')Йт' Г ехр[й[т — т'[1» = ехр[1(йо . 1)] — / ' „' Ю (т'Ят'~йт'. (10.3) Вычислим асимптотику волновой функции (10.3) при т -+ оо: т +т' — 2(т т)=т ~1 — 2 2 ю2» 2 (т т) т (т . ') [т — т'[ й(т — т'] йт — (й» 'т), й —, ехр(1йт) ехр[»(йо.
т)] + А(д,у) — ' т Где А(д, у) = — — — ехр[ — 1(й» т')] $'(т')~(т') Йт' или А(д, р) = — „', (ФЮФ), ф» (т) = ехр[1(й» т)]. (10.4) (10.5) о»~"~(т) = ехр[К(йо т)] — ~ — — — ---, — — 11(т')~ф»" »»(т')»1т', Г ехр[й~т — т'[] 4п [т — т'] а в качестве первого приближения взять просто плоскую падающую волну.
В первом борновском приближении: 2 А(д,»р) 2 Ьз(~»[~ [»до)> 2 4!Ф»[~ ,.~о »»»»(т) = ехр[1(й» т),', ~фо(т) = ехр[»(йо т)]. Для локального потенциала (Р = Ъ" (т)): А(д, »»») = — — ехр[г((йо — й,) - т')] У(т')»1т'. 2ийо,/ В случае центрального поля (1'(т) = К(т)): х л. 2з. А(д) = — — ~ ~ » ехр[г~йо — й,[тсоад»] Ъ'(т) т йт а»пд»»(д» йр» ГГГ 2 2хЬ/// о о о — — — 1 (ехр[»[йо — й»[т) — ехр[ — г[йо — й»[т,') Ъ'(т) т»Ь гУ(йо — й»),/ о 2»г»о — — — а»п([йо — й»~ т)1'(т) т»1т, У]йо — й» [,У о Борн предложил решать интегральное уравнение (10.3) методом последовательных приближений: д 1с1 — — Ъо = Ъ, ]7со — К] = Юош 2' то есть рассеяние обладает аксиальной симметрией, и амплитуда рассеяния зависит только от угла д.
ехр( — ест) Для экранированного кулоновского потенциала Ъ'(т) = Я т 2гпоЮ Г А(д) = —— / ейп ([3со — Й1[ т) ехр( — ат) с6. Ь ])со — К1] о 2тцоЯ 1 1 1 ) Ч]йо — Й1 ] 2с' а — с]йо — Й1 ] а+ с]Ио — Й1 [ 2гпаО 1 2тло(с 1 ]~о 'с1] + сг ~ 41г г + г И 2 г 4(сг а(пг ( ссг 2 Л$' = 4ггер. Действительно, р(ц) = ехр[г(ц т)] р(т) й = — ~ ехр[г(ц. т)] М/(т) 4т 4гг „( е Г ецг ец 4гг,/ = — / Ъ'(т)А ехр[с(д ° т)] й = — / Ъ'(т) ехр[с(д т)] сЬ = — — Ът(ц). 4я,/ 4гг Плотность р создается ядром с зарядом Уе и электронным облаком с плотностью заряда — еп(т): р(т) = Ееб(т) — еп(т) Следовательно, р(д) = ехр[с(д-т)]р(т)с(т = яе — егт(ц), где г'(ц) = ехр[г(д т)]п(т) Ь. называется форм-фактором. Таким образом, 4.,г Ъ'(ц) = — , (У вЂ” Г(ц)), г г~4]т с ° ()]г г ' 2 / г ,1(з к4 ц4 2кгьг д а1п— 2 114 Если положить а = (), то для сечения рассеяния получим точную формулу Резерфорда.
Рассмотрим в борновском приближении рассеяние электрона на атоме, где взаимодействие моделируется потенциалом Ъ'(т), который создается статическим распределением заряда со сферически-симметричной плотностью р(т). Между Фурье-компонентами потенциала Ъ'(ц) и плотности заряда р(ц) есть связь, которая следует из уравнения Пуассона: При малых д, то есть малых а, разложим в ряд экспоненту, стоящую в формуле для форм-фактора Р(д), и получим Г(а) = н(т) сХт — 1 (д.
т)н(т)дт — — у (д. т) и(т'йт + .. 2 2,/ Таким образом, У вЂ” Г(а) = Сза, и при малых д сечение рассеяния йГ 2таое не зависит от угла д. 10.3 Метод парциальных волн со К ф(т) = ~ ,'~ Си — Ят)Уе (д, у). о=о =-е Радиальная функция ~е(т) будет решением уравнения с а К(К+ 1) о 2тао — — — — + йо — -- — -У(т) Ят) = О, йто (10.0) регулярным в нуле: $е(т) — т (т — + О). Асимптотика ~е(т) на больших расстояниях имеет вид (10.7) 1 ехр(йт) ~, ехр( — йт) е ~~(т) =' вш(1ст — — лг. + б~) =, ( — г) ехр(гбе) — -г~ехр( — Ы~), 2 21 21 где де называется фазой рассеяния.
Покажем, что сечение рассеяния определяется фазами 5~. Р(т) = — . — — ,'> ~> С~„,( — 1) ехр(гб~) у~ (д, у) о=о о=-е — — — С~„,г~ ехр( — где) У~„,(д, ~р); о=о =-а ехр(г(Рсо т)) = ,'~ (2Р+1)г~р(йт)Ре(совд), а=о 1, 1 ехр(йт), ~ ехр( — йт) а йт 2 2йт 2йт 115 Пусть рассеяние происходит в центральном поле Ъ'(т) = У(т).
Введем сферическую сис- тему координат с осью г вдоль вектора Йо и ищем волновую функцию рассеяния в виде суперпозиции нарниаяьных волн, отвечающих определенному значению момента с': е=о ехр( — йт) 2Х+ 1 — (-1) Ре(соя д); 21т к Сео = — ~/4ге(2К. + 1) ( — 1) ехр(1бе), Се = 0 (т ф О), й 2б+ 1 2е. +1 21А(д,<Р) + ,'~ — — — Ре(сояд) = ~~~ ' ехр(21бе)Ре(сояд); е=о е=о А(д) = —, ~ (28+ 1)Ре(соя д) (ехр(2ебе) — 1) 1 2Й е=о 1 = ,'~ (21+ 1)Ре(сояд) — ехр(гбе) яшбе, к е=о (10.8) г еЬ 1 еН /сг — — ,'~ (2К+ 1)Ре(соя д) ехр(ебе) я1п бе е=о оо Г и = — ~(28+1)яш бе.
г Р е=о Амплитуда рассеяния вперед, то есть на нулевой угол: 1 А(0) = — ) ~(2б+ 1) (соябе яшбе + гяш~бе) . к е=о Следовательно, 4к о = — 1п1А(0). к Это так называемая оптическая паеорсма . Если потенциал слабый и короткодействующий, достаточно учитывать только одну я-волну. Тогда г яш бо ~1~ фг А(д) = — е' о гйпбо, 'о~ к А(д) = — (с'~' яшбо + Зсояде"' гйпб,) к ейт = — (яш бо + 6яшбе яшб1 соя(бо — б1) соя д + 9яш б1 соя д) .
г г И 116 то есть рассеяние изотропно (сечение не зависит от углов). Если надо учитывать две волны, я-волну и р-волну, то 10.4 Оператор рассеяния (Ь' — матрица) Амплитуду рассеяния (10.4) можно записать в виде гао А(д, ~р) = — — — —. (Ф1[Т~'Фо), 2яйо (10.9) где ~Д> и ф, - падающая и рассеянная плоские волны, а оператор Т таков, что Можно указать явный вид этого оператора: Т = Ъ'+ Ъ'(Š— Н+ Ы) Ъ' (е — Ф+О). Введем оператор 3 = 1 — 2яЛ'.
Можно показать, что Я есть унитарный оператор: а также ь" = 11п1 17(1,1о)., и-~ — оо где О есть оператор эволюции: 1 с7(1, 1о) = ехр ~ — — „Н(т)(1 — 1о) нормирована на б(Š— Е') би б „„. Представление плоской волны через ф(Е, Р, т: г): оо е ехр[г(Й т)) = ,'~ ,'~ 4я1 — У~*„„(ды уь) ф(Е, Р, т; т), 2гноЬ о=о п~=-~ (10.10) где до и уо сферические углы вектора Й. Подставляя (10.10) в выражение для амплитуды рассеяния (10.9), находим као В~я А(д,р) = — — -- (4я) 2яЧ 2гаой х е х х ,'ь ,'~ ,'1 ~~ Ур (дя,р~) У~*,~,(д~„р~,)(Е,Р,га[У)Г,К',т'). е=-о =-ге=о '=--я 117 Оператор У называется оиерагпаром рассеяния, а матрица этого оператора называется ,витрине й рассеяния. Волновые функции свободной частицы можно нормировать различным образом (см.
раздел "Нерелятивистская частица в центральном поле"). В частности, функция В центральном поле оператор Т сферически симметричен,так что (Е, К, пе]Т]Е, е", т') = Те бее б Следовательно, 4й ~-' ~~ е ( "'у") е~( ""у'"') е Есн — — ,') (21 -)- 1) Ре(сов д) Те Еса 1 ,'~ (21+ 1) 1е(сов д) (Яе — 1), 2ек где д есть угол между векторами есе и й. Учитывая выражение амплитуды рассеяния через фазы бе (10.8), получаем Яе = ехр(2ебе), (10.11) то есть матричный элемент матрицы рассеяния очень просто связан с фазой рассеяния.
10.5 Свойства Я вЂ” матрицы Рассмотрим рассеяние в короткодействующем поле Ъ'(т). Уравнение (10.6) для радиаль- ных функций имеет линейно независимые решения Се) )(к, т) и Се) ) (к, т) с асимптотикой (ес, т) = ехр[+е(Ь вЂ” — яе)]. )М 2 (10. 12) .)е()с, т) = аеЯ ге )(й, т) — Ье® )Се~~()с, т), (10.13) Его асимптотика: 1 1 .)е(й, т) =' ае® ехр[ — е(Iст — — яе)] — Ье(й, т) ехр[+е(йт — --яе)], 1 1 ае(й) = — ехр( — ебе), Ье(к) = — ехр(1бе).
2 2 Используя (10.11), получаем: Яе(к) = ехр(2ебе) = — ---. Ье® ае(к) Так как в уравнение для Я)с,т) волновой вектор ес входит в виде к „то ее ( — Кт) г И) также есть решения этого уравнения. Из сравнения асимптотик этих функций с (10.12) заключаем: Хе"(-й,т) = (-1)'Хе' '(й,т), ,ге ( — Й,т) = ( — 1) Хе (Й,т). В силу единственности регулярного решения, )е( — ес, т) = С 1е(ес, т). 118 Регулярное в нуле решение 5(ес,т) (см.
(10.7)) есть линейная комбинация те (к,т) и (+) Х,' )(1,.): Из (10.13) тогда получаем: ае( — Й) ( — 1) ' = — С 6|(й), — бе( — й) ( — 1) = Са1(й). Поэтому (10.14) Д(Й. г) = СЯЙ,г). Так как при этом ~Х~ '(~)) = Х'(1), то Я,*® = Я (й). (10.15) Сделаем аналитическое продолжение Я~(й) на комплексную плоскость /с = й1 + й2. Соотношение (10.14) при этом сохраняется, в то время как (10.15) меняется, чтобы удовлетворить условиям Коши Римана: ЯД/с*) = Я '(к).
(10.16) Из соотношений (10.14) и (10.16) видно, что нули и полюса Яр(1с) расположены симметрично относительно мнимой оси. Кроме того. каждому полюсу соответствует нуль, расположенный симметрично относительно вещественной оси, и наоборот. Покажем, что если у системы есть связанное состояние с орбитальным моментом Р, то ему соответствует полк>с Я~(й) на мнимой оси в верхней полуплоскости. Пусть энергия связанного состояния есть У Ег = — — lс2(0, 2гле (йб г) = ехр( — Й2г — г — И), (-1) 1 2 х~ (Й~,г) =' ехр(Й2г+1-яс). (-) 2 Ц =й2, Функция ЯЙ, г) должна быть квадратично интегрируема, поэтому коэффициент при рас- тушей экспоненте должен быть равен нулю: если Ц ) О, то ае(й2) = О, если к2 ( О,то Ьр(1й2) = О. Таким образом, Яр(й) имеет полюс в точке 1/й2! и нуль в точке — а/й2/. Покажем, что в верх- ней полуплоскости полюса Я~(й) могут находиться только на мнимой оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
