И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Р,у( = Ьтт(,р/(, -т —" „' = Ьт, 1) твр = -„(/( = 2" ~ О~' 81 1. 1 2. с(~Я = 1, Общий вид собственных функций операторов Ь ~ь = — стр 2 1 /О'1 2) п(, = — —, 2' ~ 1/)' яя и я, есть Π— (/(, (г) 6.4 Сложение моментов Система состоит из двух подсистем: 1 с оператором Л(1), и 2 с оператором Л(2) Четыре взаимно коммутирующих оператора Ле(1) ~,(1) Лз(2) г (2) (6.17) Их общая система собственных функций ф;,, (1) ф з, (2). Оператор полного момента количества движения всей системы Л = Л(1) + Л(2).
(6.18) Соотношения (6.2) выполнены. Другая четверка взаимно коммутирующих оператора З Х .Р(1) Лз(2). (6. 19) Их общая система собственных функций л 22 ф,„„„,(1,2) = ~ ~~1 С~,"".~..ф;,„„(1)ф~,,(2), ои = — л п~г= — и где С,'. коэффициенты Клебша Горлана. т = т1 + тз, тя~тг А — 1 у1 — 2 уз — 2 21 22 уг у2 31 Зз 1 уг уз 2 Правило треугольника ул + гя ~ .1 ) ~у1 — 221 Л ~ .12 31+22 А +.12 — 1 у1 +.6 у1 + уя — 2 1'1 + у; — 1 Л+Л вЂ” 2 — 2 1;+Уз — 3 — 3 1г +1з — 4 — А у1 +у —.1г + у2 — 1 7 Нерелятивистская частица в центральном поле 7.1 к1астнца в центральном поле Оператор Гамильтона частицы с массой те в центральном поле Ь'(~К вЂ” Ве,') имеет вид Аг Й = — Ь + П(~11 — ~,(). 2гпе (7.1) Атомная система единиц: 6 = 1, гие — — 1, ~е~ = 1.
Сферическая система координат т, д, у. 1 11д,д 1 Н(г) = — — 2~ + 1'(т) = — — —,- — тг — + — Ег(Д, у) + 1 "(т). 2 ' 2тгдт дг 2тг (7.2) ( 1 д, д 1 дг) ~ (~ 'Р) — вш~ + г ггд,г дл в;пгггд, г ~' (7. 3) ЙФг = ЬФг Ег4 = 1(1- 1)~ Е,ф„~„,= тг(~„~„,, (7.4) 1 гг'.а (г) = -Ра(т)~1 Яу): т (7 б) с 1 д' 1(1+ 1) — — — — + — + Ъ'(т) Рм(т) = Е„г1'„1(т). 2 г1тг (7 О) Центробежный член Х(1. + 1)/2тг.
Каждая точка спектра (21. + 1) кратно вырождена. Малые т. Предполагаем, что потенциальная энергия либо ограничена, либо обращается в бесконечность не быстрее, чем 1/т. Тогда с 1 Р 1(1+1)) — — — -+ ' -~Р(т) =О, 2 г1тг 2гг Р(т) = ст~, ( (» — 1) — 1(1+1)) г' ' = О, Р(т) = с,т + сг--. И-1 т~ Коэффициент сг — — О.
Иначе 4~(г) = 1» т~+'' и при 1 ) 0 волновая функция не интегрируемая, а при 1 = 0 оператор кинетической энергии, действуя на волновую функцию, дает г' функцию. Таким образом, Р„~ = т" ' и Р ~(0) = О. Большие т. Предполагаем Ъ'(оо) = О. Если тЪ'(г) — г 0 при г — > оо, то при больших г 1 ~Р— —,— — Р(т) = Е1'(т), 2 дтг 83 Рассматриваем стационарные состояния. Оператор Гамильтона коммутирует с операторами квадрата Ег и г проекции Е, орбитального момента количества движения. Поэтому о = ~/ — 2Е. Р(т) = с1е " + сзе Если тЪ'(т) -+ У, где Я есть константа, то при больших т Р(т) = с1т ~е " + сгт~е )Р„(т)~' Цт = 1. о ~ф„е~(г)( дг = 1 Качественно имеется облако с плотностью ~ф„~,„(г)(з.
Форма поверхности постоянной плотности на периферии облака напоминает полярную диаграмму. Облако а состояния сфера, облако р состояния "гантель". 7.2 частица в кулоновском поле Рассмотрим кулоновское поле притяжения У Ъ'(т) = — —, т (7.7) < Р 2Я г'.(г'+ 1) 1 + 2Е + — — ,' Р„р(т) = О. 4тз т тя (7. 8) Р„~(О) = О. Состояния дискретного спектра.
Энергия Е < О. а= ~2Е, 1'„~(т) = е "~(т), (1з /' ф~ 2Я г(1'+ 1) — — 2а -+ — У --- У=О, рте 4т т тз 1 = тт 2 Сьт = ~~~ Сьт +т, г=а к=о При Е > О величина о чисто мнимая и дискретного спектра нет, спектр чисто сплошной, ~ф(г)~~ есть относительная плотность вероятности найти частицу в точке г.
При Е < О может быть дискретный спектр. Если дискретный спектр есть, то число уровней определяется тем, как именно потенциал стремится к нулю на бесконечности. Если потенциал стремится к нулю со стороны положительных значений, то число уровней конечно. Если потенциал стремится к нулю со стороны отрицательных значений, то число уровней зависит от того, как именно убывает потенциал.
Если потенциал убывает быстрее, чем 1/т~, то число уровней конечно. Если потенциал убывает медленнее чем 1/т~, то число уровней бесконечно. Если потенциал убывает как — д~т~, то число уровней определяется величиной у = 2д — 1(г. + 1): если 7 < 1/4, то число уровней конечно, если у > 1/4, то число уровней бесконечно велико. Состояние дискретного спектра. Нормировка Кратность вырождения в кулоновском поле т«Я.
Симметрия задачи о частице в кулоновском лоле соответствует симметрии четырехмерного шара. Радиальные волновые функции име- ют вид «+«е--Р/27з««-«( ) . (и — Р. — 1)! пя<(п+»))з Р е с, (р) = — «.,(Р) присоединенный полипом Лагерра, «»Р 2Хт Р = (7 11) «»' Е,(р) = е" (е ~Р') полином Лагерра. «» в Сплошной спектр. Каждая точка сплошного спектра бесконечно кратно вырождена.
Вол- новая функция имеет вид »с = ~/2Е, Ф~«~~(г) = -„'Р««~(т)1'«.~(«У, «Р), Ры(т) = С«,«е '"" т« ' Е(»+ 1+»ь~,2»+ 2,2йт). Е(а, »», «к) есть вырожденная гипергеометрическая функция. 7,3 Свободная частица как частица в центральном поле Рассмотрим стационарные состояния свободной частицы Й«»«(г) = Е«р(г). Так как Й = р~/2, то ф(г) = «»«(1с, г) и Е = »сз««2, где р«»«(1с, г) = 1ссф (1с, г), (7.12) а 1с есть волновой вектор. Спектр чисто сплошной и каждая точка спектра бесконечно кратно вырождена. Волновая функция «»«(1с, г) = — — е«»"'~ ~/3 з (7.13) нормированна на 6 функцию по 1с «»«(г) = Й(т)Уа„(д, «Р). < 2 «» ~( + ) — — — — т~ — + — —,~ К(т) = Ей(т), тЛ(т) ~ = О.
2 тз «»т «»т 2те ) ' Ь=о Вводя е = Ит и» (г) = »»(т), получаем 2 е г '» «И+ 1) —,— ' — +1 — —,— 1У( ) = и. е «»к Оператор Гамильтона коммутирует с операторами квадрата и е проекции орбитального момента количества движения. Поэтому можно искать волновую функцию в виде Общее решение имеет вид Л(я) = ~ — — 4.~1~~(я): ~~4Я = ~;-- ( — ) 1 — ~-1!я(я). к2з ' 1~2г Асимптотики сферических функций Бесселя и Неймана 1 3 5 .(2К+1)' 1 ~ л — сов (г — — (1.'+ 1)), при г — ~, оо я ( 2 Ы)= 1 ° 3 ° 5 ° (Я вЂ” 1) — — — при я1Н г — ~0 п~(я)— 1, г я — в1п ( г — — (1+ 1)), при г 2 Поэтому из гй(г) ~,,е — — 0 следует В = 0 и 4*~„,(г) 4нгы(г) й = йй — й') 6а 6„„„.
и Другой вид фа~,„(г) = --ъ'2Е 1~(ть'2Е) У~ (д, у), 4*„,„„(г) фв и,„(г) дг = 6(Š— Е') 6н 6„,„;. в 7.4 Мастица в сферически — симметричной потенциальной име если г < гсе если г > тв. 1 Ф я (г) Рх(г)~ь Я 9д) т ~г Р(~, 1) — — — + — + У(г) Р ~(г) = Е аР~и(т) Р„~(0) = (). 2 Дт2 2гг 87 Рассмотрим частицу в поле сферически-симметричной прямоугольной потенциальной ямы конечной глубины + 2(Е + 1'о) Рог(т) = О, т < то, + 2Е Ри(т) = О, т )~ то. Состояния дискретного спектра, — Ц < Е < О.
Дискретные уровни могут быть, только если К(1+1) < Ъдто х = ~/2(Е+ Ро) > О, а=~2Е )О, Р„ы(т) = Ат 3т(хт), т < то,. Ро~(т) = .Втйг(1от), т )~ то, 6~(и) = !~(т) + 1п~(л), 1 й 1 й — (т о(хт)) = —, — — 1т Ь~(тат) ) тур(хт) йт т Ьр(гат) йт Рассмотрим и состояние, то есть состояние с К = О по(х) = Уравнение имеет решение только, если В трехмерном случае, в отличие от одномерного, не во всякой яме есть связанное состоя- ние. < й' ~(й+ 1) йтя тг < й' Р(~ + 1) йт2 то 81П Х 3о(*) = соя и Х 2 т г'о > —.
2 о г Йо(в) = — -е", ж 8 Квазирелятивистская теория 8.1 Уравнение Дирака для свободной частицы Уравнение Шредингера для частицы с массой кле в пустом пространстве д 62 ( дя дя д' 1 4Ь вЂ” 4Р— — --- ~ — + — + — — ) ф д1 2те ( дт' дц2 ' д22 ) не инвариантно относительно преобразований Лоренца. Дирак предложил другое уравне- ние, содержащее только первые производные по времени и по координатам д рл — 'рр = Нп "рр, д1 (8.1) Нп = с (ахрх + аррр + агрг) + дгпес ° (8.2) Величины а„ар, а, и Р' не должны зависеть как от импУльса (линейность по импУль- сам), так и от координат и времени (однородность пространства и времени, изотропность пространства). Для их определения Дирак предложил следук1щее Нд — — ср +гп с Е = с Р + тпнс 2,2 2 2,4 ая =- 1., д2 а2=1, 2 р ара, + а,ар — — О, а,ар — ара, = О, а,а, + а,а, = О,.
арф +,дар — — О, а,Р Ф 12аг — — О. аД+~Уа, = О, Отсюда видно, что а,, ар, а, и Р' не могУт быть константами, а должны быть эРмитовски- ми опеРатоРами а„ар, а, и Р', опРеделенными в пРостРанстве фУнкций каких-то новых переменных, а это означает, что у релятивистской частицы должны быть дополнительные степени свободы. Обозначая 422 а2 = ар, а1 ах~ получаем уравнение для а, (8.3) а,4рр + йра, = 26;„, 2,й = 1,2,3,4. 8.2 Матрицы Дирака Будем искать операторы а в виде М х Х матриц а, возможно меньшего размера. Имеем 1. а~ = 1, 2' = 1,2, 3,4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
