И.В. Абаренков - Краткий конспект лекций по квантовой механике (1129625), страница 19
Текст из файла (страница 19)
140 Так как ь1(й) = сй, в сферической системе координат й = (й, д, у1) интеграл по радиальной координате можно вычислить. Вводя обозначения Б'щ — Я„ Мви Ь Ьсй „= К„„— Е„, можем написать: 2 Р~„"„""1 = "'" ~ п(й „„Л) [(п1 [(е(й „, Л) р) ехр[2(й,„„г)',[и), 1ХЙ. 2яЬтд„сз,у Л=.1,2 Здесь й„„„, вектор с длиной й„„„и направлением, определяемым углами д и у1, дй элемент телесного угла. Полученную формулу можно записать в виде р(погл) 1 ~~ ~ 1р [поги) (у Л) твП „1 ~ ПЬК Л--1,2 где е2ы Ж'~;;,'"~ (д, В, Л) = - """ п(й~., Л) [(т Ие(1сщ., Л) . р) ехр[2(Уся„, г)] [ п) $ 11И определяется только числом заполнения фотона и не зависит от той системы, переходы в которой наблюдаются.
12.3 Вывод формулы Планка для равновесного излучения Пусть имеется совокупность большого числа одинаковых невзаимодействующих двухуровневых системы (Е~ > Е,), находящихся в равновесии с излучением. Среднее число частиц на данном уровне в тепловом равновесии при температуре Т (распределение Больцмана): Мь —— Жо ехр Ж, = Жо ехр 141 есть вероятность перехода в единицу времени с уровня Я„на уровень Е„, с поглощением фотона с частотой ы „и поляризацией Л, распространяющегося внутри телесного угла сИ около направления со сферическими углами д и 1р. Аналогично получается выражение для вероятности перехода в единицу времени с уровня Е„ на уровень Е с излучением фотона с частотой ь2„ и поляризацией Л, распространяющегося внутри телесного угла дй вдоль направления, определяемого сферическими углами д, ~р, то есть вектором 1с„ г 11Р„„, ~(2у1~р1Л) = -"-~™д (п(И,„„Л) + 1) [(гв[(е(й„,Л) р) ехр[ — 1(й„г))/и) [ йИ 2кЬт~<~ (п(И„„, Л) = Π— спонтанное излучение, в(й„, Л) ~ О вынужденное излучение).
При переходах между двумя данными уровнями отношение вероятности излучения фотона в единицу времени к вероятности поглощения фотона в единицу времени Число фотонов с частотой ид = (Е, — Етп)/6, испущенных в единицу времени, равно числу фотонов, поглощенных в единицу времени: юг, йР~ ™ (й, Л) = М~ ЮР~ ~(й, Л) Следовательно, Л~. 1Р.',->(й, Л) н(й, Л) + 1 Ъ аГ,'." Кй, Л) п(й, Л) где п(й, Л) среднее число фотонов с волновым вектором й и поляризацией Л.
Отсюда Е ь — Е,~ и(/с Л) + 1 й2' ) (й,л) 1 п(й, Л) = ехр — 1 12,4 Дипольное приближение Матричный элемент перехода представляет собой пространственный интеграл, подынтегральное выражение н котором существенно отлично от нуля лишь в области с радиусом Н, где велико произведение волновых функций конечного и начального состояния. Для низковозбужденных атомных систем Н = 1А, а длина волны видимого света есть Л 50001. Таким образом, отношение ~ (й Н) ~ 10-3 2дгН Л является малой величиной.
Следовательно, в указанной области можно приближенно по- ложить 1 ехр(с(й т)] — 1. Это приближение принято называть дипольны.ьд приближением. Вычисление матричного элемента в дипольном приближении дает: (т~(е Р) ехР(с(й т~)~~п) (е Р и), р ,п = (дгд(р~,сд) . Из соотношения 1 2 Ндт — тН; = (Рот — тря) = — — -Р 2пдо тдьо находим 1спо — (7$РНд т Ь (Етп Еп)д ~.
Ртпп Таким образом, где Сь „= ет„п есть матричный элемент электрического дипольного момента (здесь е заряд частицы). 142 тдр(пат'и) (д д ) ц т ( и т и ) ( д т т Л ) д7ао тНд)гд) = (Етп — Еп) (пд)т1и) = додо«ттапттппт Ь з п(й п,л) !(е(й „,Л) дптп) / д1йт — "-'-"- (п(й, Л) + 1) ~(е(й„, Л) сК„) ) Жь', 12.5 Силы осцилляторов Сила осциллятора перехода из состояния п в состояние гл с поляризацией вдоль оси яс Ь Аналогично определяются силы осцилляторов ~бд и ~~'~ для переходов с поляризацией вдоль осей д и я. Теорема о суммах сил осцилляторов: 12.6 Правила отбора Если физическая система, в которой наблюдается переход, обладает симметрией, то матричный элемент (гп)г(п) может обратиться в нуль строго. Это означает, что в дипольном приближении вероятность перехода строго равна нулю, то есть данный переход эапрепясн. Можно сформулировать праеила отбора, которые определяют разрешенные и запрещенные переходы.
Рассмотрим правила отбора в двух простых случаях. 1. Одномерный гармонический осциллятор. В главе 4 было получено следующее выражение для матричного элемента координаты: (и (и+ 1 (ис~х~п) = ~/ — 6,„„, + ~/ д Таким образом, оптические переходы с данного уровня возможны лишь на соседний уровень сверху (поглощение) или на соседний уровень снизу (излучение). Так как уровни гармонического осциллятора эквидисталтны, то осциллятор излучает и поглощает одну частоту. 2.
Частица в центральном поле. Волновая функция частицы: 4 ь (т') = . Р„е(г) У~ ('д, у) Матричный элемент оператора координаты: (нагл)г~пйп) = Ряи(г) г Р~(г) твайт У~~,(д, у) --Ур„(д, у) вбп дйМр. о Правила отбора определяет интеграл по угловым переменным. Для вычисления этого интеграла надо рассмотреть компоненты вектора ть = г(т: с (я + УУг д ' р( р) Р 1 (д ~) и, = (и — ху)/г = вшдехр( — ир) = ~/ У~, г(д,у) пэ я /2~г сов д~Г2 1~ш(д, ~Р) Тогда Г Г8~г Г У'*... (д, ~р) п„У~„„(д, ~о) эш дйдй~р = ~ — ( У'*,„,, (д, р) У; (д, у) У~„,(д, р) эш ОИ~йр. -13 1 '- Последний интеграл отличен от нуля, только если выполнены следующие два условия (правила отбора дипольных переходов в центральном поле): (а) г' + 1 + г, = 2Й (четное число) (ь) — т'+ р+т = О 143 12.7 Элементарная теория фотоэффекта Рассмотрим поток фотонов с волновым вектором й, поляризацией Л и интенсивностью Я Если в единице объема потока содержится по фотонов, то п(й, Л) = Рпо = Я.
/йос Е = эпос, Вероятность перехода в единицу времени из состояния п в состояние т: 4к~е~6 2 1 Еп1 Еп Р(~~о) Е ]( ]( Р) (1(У )]] „) ]~ Е ь ~ ь ) Начальное состояние и локализовано (дискретный спектр), конечное состояние т плоская волна с волновым вектором с1 (пренебрегаем потенциальной энергией в конечном состоянии): где и„, определяется циклическими граничными условиями на границах куба с объемом Ъ'.
Тогда Р~";,"1 = Я вЂ” ](д ](е ~7) ехрЯЙ т)]] п) ] -Р~ то02 с Вероятность перехода в группу состояний д„,о которые расположены в некотором малом объеме д-пространства вблизи вектора и = (д, д, у): 1Р1пагп) '~ ~ Р(тютп) 1 Р(догп) 2 1 1Р1 ол ~~ д,„п 8 з ~ о и тп Ф~~ Заменим функцию Р~ на соответствующую б-функцию, тогда длина вектора д определится законом сохранения энергии: В результате для вероятности переходя в единицу времени в состояние свободного электро- на с волновым вектором, расположенном в элементе телесного угла Нй вблизи направления д, ~р получаем 4 /2~г'е' -/Е + бо~ Рассмотрим водородоподобный атом.
Конечное состояние Начальное состояние Е, ГВ ГЕ~ 1 ~о(г) = ~/ — — ехр ( — — т), 61(г) = —, ехр[г(п. г)], ( -)о' то 6 ба~ е,— 1— ~о 2 — =Е„,+лы 2то 1 гное 2 Ео = — —— 2 Ьо ~2 и= тое~ д2 2 Е1 =, Ег » ]Ео], 2то Вероятность фотоэффекта (Ьй » (Ей!): тьР = Яйг ~т Я ( ехр<г(д г)) ((е 'ь7) ехр<г(Й г))(ехр~ — — т~ ) ' ььь1, й у где Я~ константа. Вычисление матричного элемента: У ~ 1 = ехр<г(д. г)) !(е.
г7) ехр[г(Й г)]!ехр — — т / а 1 1 8ггУ г(е и) гп + гц ~ + в2 2гт(е и) и =д — Й, (е .и) = (е д) — (е . Й) = (е д), (е. д) = дяшдсояуг, < ь2 2 --~) -ь. ~д — Й~ = д — 2Йдсовд + Й + ~ — ) у'ь 2 2 т' у'ь й й Так как Еь » ~Ее~, то 2йы 2р~ р и = — = — « 1. ср 2ттьь|ср ттьес с 2 тте~ г д »- — — У вЂ”, =т й~ д Поэтому приближенно < 2 г'1 — + (д — Й( = д ~1 — — сов гт) .
й с 1. Фотоэффект начинается с некоторого значения частоты падающего света. 2. Число вылетевших электронов пропорционально интенсивности падающего света. 3. Кинетическая энергия вылетевшего фотоэлектрона определяется частотой падающего света. 145 Окончательно для вероятности фотоэффекта: где Яь есть постоянная, аналогичная ььь. Слагаемое с в/с в знаменателе приводит к тому, что угол д, в котором вылетает наибольшее число фотоэлектронов, оказывается меньше гт/2, причем отклонение от гт/2 пропорционально в/с. Этот факт принято называть сдвигом вперед фотоэлектрона — импульс фотоэлектрона не перпендикулярен импульсу фотона, а немного наклонен в направлении импульса фотона.
В заключение сформулируем три закона фотоэффекта Эйнштейна: 12.8 Наведенные электрический и магнитный дипольные моменты Если длина волны электромагнитного поля велика по сравнению с размерами системы, квантовыми свойствами поля можно пренебречь. В этом случае действие электромагнитного поля на систему сводится к наведению переменных во времени электрического и магнитного дипольных моментов. Оператор Гамильтона частицы в поле (используется калибровка Лоренца; квадратичными по векторному потенциалу членами пренебрегаем, считая поле слабым): е ей Н = Оо — — (А(т4 р) — — — (Я(т,1) т) тиос ' 2тиос Пусть А(т,1) = А(т) сов м1, Я(т,1) = гоФА(т,1) = Я(т) сояоЛ, з т = то~-~),х е, где то некоторая точка внутри системы.
Разложим векторный потенциал А по степеням х; и отбросим в полученном разложении все члены, начиная с квадратичных: з д Аь(т) = Ао +,,'~ х; Ано Ао = Аь(то), А,.ь = Аь(т) дх; о=г 1 =-~*о (А(т) р) = ~~) А,р; + ,'[н К) квадруиоль Здесь А = А(то), Я = Я(то). Отбросим член, соответствующий учету квадрупольного момента, как малый. С той же точностью в слагаемом, содержащем (Я(т) . ~т), можно заменить вектор Я(т) на постоянный вектор Я. В таком приближении оператор Гамильтона принимает вид; Й = Йо + 1У(х,1), у(г,О = ( ' (л е ' (я.~к+ю))) ) уиос 2уиос где х есть совокупность пространственных т и сливовой о переменных. Матричные эл~. менты: (уи(оо(~) = -КиАай: (ти Ч (х, Х) / й~ = — ~ — — ' (А .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
