В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Подставляя это соотношение в выражение (12.1), найдем: 1 с = — — / сЛ'(Е ягас1 1р), 8я/ ~гл. п 1 1з| 8 = - ~~ р(г)р( И~. 2./ (12.4) р(г) = р,(г) + р,(г), (13.1) 1 1 р(г) — , Е T гг 78 стАционАрныв айяктгомАгнитиыв поля Преобразуем теперь, псдьщтегральное выражение. Используя; известное соотиощеиие Йч (рЕ) =, у с(1ч Е + (Е 8гас1у), — — — ~ сЛ "дп (1рЕ) + — l сЛ'<рс)н Е.
(12.2). З~г;/ 8тг,/ Первый из этих интегралов по теореме Остроградского- Гаусса працставим в виде поверхностного интеграла, а во втором учтем, что в силу уравнений Максвелла с(1ч Е = 4яр, В результате выражение (12.2) примет вид: Е = — — ~ (ИВЕ)у + — / р(г)у(г)сЛ; (12.3) 1 1 Г 8я ~ где Я - поверхность, ограничивающая объем интегрирования T, . Эта формула для вычисления энергии электростатического поля полностью эквивалентна формуле (12.1) и может применяться как для конечных, так и для бесконечных областей пространства, причем в посланием случае она существенно упрощается. Действительно, если по условиям задачи электрические заряды сосредоточены только в области островного типа и на бесконечности отсутствуют, то скалярный потенциал ~о(г) и напряженность электрического поля Е(г) на достаточном удалении от системы (г -+ со) убывают не медленнее> чем знвггия и силА ВЗАимолвйствия 79 Элемент же поверхности интегрирования ф8~ гзДП ра стет только квадратично с ростом расстояния от системы.
ПОэтОму при дОстагочнО 60льших значениях 1 поверхностный интеграл в выражении (12-3) убывает не медленне, чем г 1: (сБЕ)у < НЯ~Е~ р — дй, в результате чего в пределе при г -+ Ос он обращается в нуль (у сИ = 4я). Таким образом, в случае бесконечной 0 области интегрирования К выражение для энергии электростатического поля, создаваемого островной системой зарядов, принимает вид: 3 13. Энергия и сила взаимодействия двух удаленных систем зарядов Рассмотрим две системы заряженных частиц, занимающих объемы Ъ~ и 1'з и находящиеся на расстоянии, превышающем их линейные размеры.
В соответствии с постановкой данной задачи полную плотность заряда р(г) можно разбить на две части где плотность р1 (г) отлична от нуля в объеме Ъ~, а плот- ность рэ — в объеме Ъ~~. 1 [з[ ~ с[ "р1(г') [г — г'1 ~ Л'рз(г') [г — г" ~ (13.2) — 1Г[ Г,1, Рбг')Рз(г) 2,/ ,/ [г — г'~ [ Ъ (13.3)- 1 +- Г Л'рз(г)[рз(г). Я,„, = р,(г) рз(г) сЛ~.
а=[ 80 с'ГациОНАРные эаектРОМАГнитные пОля [Гл и В силу линейности'здектродинамики потенциал [р(г) создаваемый этим" системами, так может быть пр дстав,цен в виде сумьпя иатенциалов, создаваемых каждой '[" из систем ~()= (.)+,(.), Подставляя соотноп[ения (13.1) и (13.2) в выражение (12.4), .будем иметь: 1 [ Г / Р1(г)~рю(г)~~~ + <МРЮРз(г)+ рг(г)д1(г))+ Проанализируем каждое из слагаемых поАзученного: выраж~ния, Первое из акх, очевидно, представюзяет об и энергию собственного полл первой системы. Эта величи на не зависит от того„имеются ли еще другие яастицы и ': где они расположены, яз в этом смысле являетси постони ной адцитивной добавкс й в выражении (13 3)- Совершенно аналогично можно убедиться, что и последн ее сцагиемое в' правой части выражения (13.3) представляет сойой " энергию собственного электростатического поэп[ Втор сй ' системы, обладающей теми же свойствами, что и энергия ";: первой системы.
Оста[вжиеся два слагаемых ВкярэжеРсня ЭНЕРГИЯ И СИЛА ВЗАИМОЛЕЙСТВИЯ 31 (13.3) ссдержат как характеристики первой системы, так и характеристики второй системы: 1 1 Г Е[з = — ~ р1(г)уз(г)с[Р, Еы —— — ~ рз(г)~о[(г)ИК (13.4) Используя выражения для потенциалов (13.2) и подста- вляя их в соотношения (13.4), легко убедиться, что они РВ.Вны Из этих выражений следует, что энергии Еы и с[э сушественно зависят от величины расстояния между двумя системами. В результате энергию взаимсдействия двух удаленных дРуг от друга систем зарядов можно записать в виде: Если первая система состоит из точечных зарядов, то Ф р[(г) = ~~~ даб(г — г„).
В результате получим: Ф Е;„, = ) 4аУз(г+ г',). а=1 Ь = — б;„1 — сопят, И Чат Ж с11 =,'> 4,г,' а=1 82 стАННОИАРные элвктРомАгнитные поля ~гл. н Банное выражение существенно упрощается, если поле,": уз(г„) медленно изменяется-на расстояниях порядкь раз-,: мера первой системы. Для этого радиус-вектор каждой ':; частицы первой системы представим в виде г, = г+ га,:с Где г — радиус-вектор центра масс первой системы за- ! рядов, г', — вектор, проведенный из центра масс первой:: системы к а-ой частице.
В результате получим." Разложим теперь потенциал уз (г+ г',) в ряд Тейлора ':: в окрестности точки с радиусом-вектором г: уз(г+ г',) = срз(г) + (г',8гад )срз(г) + ... (13.6):: Тьк как величина вектора г', по определению не превы-:.',,' шает размеров первой системы, а внешнее поле в преде- -:=' лах системы изменяется медленно, то каждое слагаемое .! в данном разложении будет значительно меньшим, чем; предьц1ущее, в результате чего схсдимость этого ряда .': будет Обеспечена. Подставляя разложение (13.6) в выражение (13.5) и ввопя обозначения для полного заряда (~1 первой системы и ее электриче- ского дипольного момента с11, получим окончательно: Я;„1 — — фаз(г) — (Ез(г)с11) + ... «13.7) з 14) уРАВнение еля вектОРного пОтенпиАЙА 83 Соотношение (13.7) позволяет достаточно легко получить выражения для силы и момента силы, действующих на систему заряженных част1щ со стороны внешнего поля в статическом состоянии.
Для этого в соответствии с алгоритмом аналитической механики мы должны построить функцию Лагранжа Х рассматриваемой системы и продифференцировать ее по обобщенным координьтам а;. Тогда обобщенная сила г';, соответствующая обобщенной координате а;, будет иметь вид: дЕ Я'.— да; Как будет показано в 3 46, функция Лагранжа (46.8) для системы зарядов, покоящейся во внешнем электростатическом поле, может бь1ть выражена через энергию взаимодействия: где соиз1 — постоянная величина, не зависящая от обобщенных координат.
Поэтому выражение для обобщенной силы, действующей на такую систему, принимает вид: Жай Я',— да; 3 14. Уравнение для векторного потенциала статического магнитного поля и его рещение В случае магнитостатики уравнения Максвелла (3.19) принимают вид: 4я. ге Н = (14.1) <11У Н = О.
83 стАПНОнАРные электРОМАГнитные ЛОля !Гл. н левой части также равен нулю. Поэтому для системы островного типа соленендальный вектор 1(г) независимо '::, от выбора Функции ! (г) должен удовлетворять условию: ! | фг!Р)!!г)гг =О. (15.2) Наибольший интерес для наших целей это соотноше- -: ние представляет лиШь-при двух частных выборах вида функции Дг). В первом из них положим последовательно: ,Г(г) = х',р,я. Учитывая, что Ц(г)%')х = ! (г), Щг)'Г)у =,!Р(г), Д(г) ~7)е = 1,(г), из выражения (15.2) будем иметь Яг)!Лг = Яг')!Л" = О, (15.3) | ~ ~~ г ! ! В другом случае, выбирал Дг) = г(гг'), где г — некоторый вектор, не зависящий от г, и используя соотношение ! (1(г) уас1)(гг')г = (г'Яг))г + (гг')1(г), !Л1'1(г'Яг))г + (гг')Яг)) = О. Заменяя в этом выражении г на г', г' на г и сЛ" на сЛ", будем иметь окончательно: 3 15! ВектОРный потенциАл и пОле мАГнитноГО липОлЯ 89 А(г) = ) А„(г), (15.5) ГДЕ АА(г) = , / !Л"'Я(г')(г'ра!1) †, (15 6) Выражение (15.5) и представляет собой мультипольное разложение векторного потенциала в стационарном слуРассмотрим несколько первых слагаемых этого бесконечного ряда.
При п = О из выражения (15.6) имеем: А ( ) = — ! Л",1(г')- = — ~ Л",1(г'). с СГ „! В силу соленоидальности вектора „1, интеграл (15.3), как мы видели, равен нулю, поэтому и потенциал Ао(г) = О. Таким образом, в магнитостатике, в отличие от электростатики, у векторного потенциала отсутствует монопольная часть: А 1/Г. Учитывая, что Рассмотрим некоторую систему стационарных токов 1 = Яг) островного типа. Поместив начало отсчета декартовой системы координат в какую-либо точку источника, обозначим радиус-вектор точки наблюдения через г, а радиус-вектор центра текущего элемента Объема интеГрирования — через г'. Полагал, что ~г'~ < Х и ЦГ << 1, воспользуемся разложением (9.2).
Подставляя его в выражение (14.6), будем иметь: !Л~~((г1(г~))г~ + (гг~)ЯГ )) = О. (15А) | ~ ~ ~ | ! г С 1 (гг') (г'ага!1) — =- — —, Г ГЗ 90 стАционАРные злкктРОмАгнитныР пОля )гл. и 3 16) эневгия постоянного мАгнитного поля 91 А ) ) = —./Л"П ~Ж") — ).)) '0'+ +(гг'»Яг') + (гЯг')) г'». Легко убедиться, что первые два члена в подынтеграль-,"' ном выражении представляют собой двойное векторное:," произведение [г [3(г') г'[), а интеграл от оставшихся двух', членов в силу условия (15.4) равен нулю. Поэтому, вводя':, обозначение п1 = — сЛ~' [г'.1(г')[ 2с „1 (15.8)-", для вектора магнитного дипольного момента системы,', выражение (15.7) приведем к виду: А1(г) = 3 [пзг[ (15.9)- Это выражение в научной литературе получило название поп3еициала мазнитнаео диполя.
Из выражения (15.9),' следует, что на больших расстояниях от системы токов;:. векторный потенциал убывает не медленнее, чем А 1/т . Исследуем поле магнитного диполя. Учить)вая, что) вектор пз является постоянным вектором, из общих фор;;- мул векторного анализа получим: г г г Б =' "[' — [= -( К ~) — + 11 —. (15.10):. гз ,.з гз следующий член ряда (15.5) можно записать в виде: А )~) = —. / н)") ')1)г'). Проводя тождественные преобразования, это соотноше-'-; ние запишем в виде Воспользовавшись известным из электростатики соотно- шепнем дг с111) 1" = с1п — = — 4Л96(г), 1.3 легко установить, что г сыч — = — 4я 5(г). )-3 Но так как наше разложение применимо при выполнении условия Ь/г « 1, то последний член в выражении (15 10) будет всегда равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
