В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В результате выражение для поля магнитного диполя примет вид: 3г(пзг) — гз п1 Н = г5 (15.11) 9 16. Энергия постоянного магнитного поля Предположим, что в некоторой области пространства островного типа находится система стационарных токов. Вычислим энергию постоянного магнитного поля, содержащегося в некотором объеме К Для этого нам, как и в случае электростатики, необходимо проинтегрировать выражение для плотности энергии и = Н /(З~г) 2 Отс1ода следует, что поле магнитного диполя на больших расстояниях убывает: Н 1/гз. Сравнивая выражения (15.11) и (10.1), видим, что они имеют аналогичный внд. Следовательно, уравнение магнитных силовых линий и их график для поля маг'- нитного днполя будет совпадать с уравнением силовых линий и графиком для поля электрического диполя (см. рис.
5). 92 отАционАРные элекгРОМАгнитные поля [гл. и по объему: (16.1) Р' Так как в большинстве случаев в качестве объема интегрирования выбирается все пространство, то прямое использование этой формулы оказывается не совсем удобным. В этих случаях может оказаться полезным другое выражение для энергии магнитного поля, физически эквивалентное выражению (16.1). Для его получения вы-:: разим вектор Н через векторный потенциал: Н = гоФ А. Тогда> используя известное соотношение (Нгоро А) = йъ (А Н] + (АгоФ Н) и учитывал, что в стационарном случае 4я.
гоФ Н= — 3, с из выражения (16.1) будем иметь: Е= / >> [ — П [А Н[-> — [> А>[. 1 1 8я. 2с Преобразовав интеграл от первого слагаемого в поверх- ностный, получим: 1 Г 1 Г 8' = — У (1А Н)ж) + — ~ (А 3)а. (16.2) . Таким образом, для вычисления энергии магнитного по- ля нет необходимости интегрировать по всему объему У. ! з 1е1 энвггия постоянного мАгнитного поля 93 Для этого согласно выражению (16.2) достаточно вычи- слить поток вектора [А Н[/8>г через поверхность О> огра- ничивающую объем У> и прибавить к нему интеграл от функции (А 3)Г'2с по области, занимаемой токами.
Наи- более же простой вид выражение (16.2) принимает в том случае, ко1'да область У совпадает со всем простран- ством. Поскольку при т -+ со векторы А, Н и с[Б имеют асимптотику 1 1 [А~ —, [Н~ - —, [1Б~ гз, гз ' гэ то очевидно, что при интегрировании по бесконечно уда- ленной поверхности первый интеграл в выражении (16.2) обрагцается в нуль. Тогда 8' = — / (1 А)1[У. 1 Г„ (16.3) 2с „/ Следует еще раз отметить, что хотя интеграл в этом выражении формально берется по всему пространству, фактически же, из-за того, что 3 ф 0 только в отдельных областях пространства островного типа, интегрирование производится по области, занимаемой токами.
Как будет показано в 3 46, функция Лагранжа в слу- чае магнитостатики (46.9) для системы стационарных токов, помещенной в постоянное внешнее магнитное по- ле, совпадает с ее энергией: Ь = Е„»,Р. Поэтому обоб- п1енная сила К = дЬ/да;, соответствующая обобщенной координате а;, в магнитостатике имеет вид: (16.4) да[ отличаясь знаком от выражения (13,8), справедливого в электростатике. ЙЛ=2я, иТ=2я. (17.2); Е =Еоехр( — г'[~А — (3с г))), Н =Ноехр1 — г[сА — (1с г))1. Глава Ш ЭЛЕКтРОМАГНИтНЫЕ ВОЛНЫ $ 17. Свойства плоских электромагнитньгх волн Наиболее просто уравнения Максвелла могут быть '. решены в том случае„когда заряды и токи в рассма- '-, триваемой области пространства отсутствуют и решение,,' ищется в виде плоских воли. Рассмотрим систему уравнений Максвелла (3.19) без ", источников: 1дЕ гоФ Н =- —, сд1' 1дН гог Е= — — —, с д$* (17.1) ' Йч Е =О, йч Н =О.
Будем искать рещение этой системы уравнений в виде ':: плоской электромагнитной волны: В полной аналогии с механикой векторы Ео и Но назо- .'. вем амхызтрг7ами электрического и магнитного полей, ы '::,,' - круговой (или циклической) частотой 1с — волновьиа:: вектором, а саму величину сл — (1с г) — фаэоб волны.
В:. ~ 17) овойствА пгюских эляктРОМАГнитных ВОлн 95 соответствии с этими определениями мы можем ввести понятие оливы волны Л, как расстояния между двумя поверхностями постоянной фазы, колебания в которых в каждый момент времени отличаются по фазе на 2я, а также периода колебаний Т вЂ” как промежутка времени, в течение которого фаза волны изменяется на 2я. В силу этих определений имеем, как обычно: Следует заметить, что векторы напряженностей магнитного и электрического полей, как и всякие другие физически измеряемые величины, всегда должны быть вещественными. Поэтому компоненты электромагнитной волны, строго говоря, необходимо было бы искать в явно вегцественном виде, взяв, например, только реальную часть от выражений (17.2).
Однако, во всех линейных (по векторам Е и Н) соотношениях мы можем использовать комплексное представление волны (17.2), имея в виду, что после осуществления всех операций в качестве результата будет рассматриваться лишь действительная часть полученных выражений. Найдем условия, которым должны удовлетворять все входящие в соотношения (17.2) величины в силу уравнений Максвелла. Подставляя соотношения (17.2) в уравнение (17.1) и учитывая, что в рассматриваемом случае дН го1 Н = г(1с Н1, — = — иоН, йч Н = ю(1с Н), получим после сокращения на несущественный множи- (гл.
ш элвктРОмлгнитные волны тель е;. (17.3) ~й' — — ",)Н = о. (17.7) [Ч = [Н[. (17.4) Дс Н)= — — Е с [й Е) =-"Н, с (1с Е) =о, (1 н) =о. Из последних двух уравнений (17.3) следует, что у плос-:: кой электромагнитной волны векторы Е и Н перпендикулярны к волновому вектору 1с. Так как волновой век-:: тор определяет направление распространения волны, то:: плоская электромагнитная волна оказывается лоиереи- ." ков волной. Выясним теперь, как связан волновой вектор с ча- -: стотой волны..Пля этого выразим из первого соотношения (17,3) вектор Е и подставим его во второе.
После .:' несложных преобразований получим: Совершенно аналогично, выражая из второго соотноше- ния (17.3) вектор Н и подставляя его в первое, имеем: Ч'ак как у электромагнитной волны векторы Е и Н не могут быть тождественно равными нулю, то для выпол- нения,цвух последних равенств необходимо, чтобы 'з' 171 свойствл плоских элвктгомлгнитных волн 97 Отсюда легко найти закок дисиерсии плоских электро- магнитных волн в вакууме — зависимость частоты от волнового вектора: Используя известные соотношения легко установить, что Л = сТ. Вводя единичный вектор и, направленный вдоль вектора к, из выражения (17.4) получим: к = — и. (17.5) с В этом случае первые два соотношения (17.3) примут вид: Е = — [и Н), Н = [и Е). (17.6) Таким образом, векторы и, Е, Н образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов.
Взяв модуль от соотношений (17.6), легко убедиться, что у плоской электромагнитной волны, кроме того, модули векторов Е и Н должны быть равными: До сих пор мы рассматривали мокозроматииескую электромагнитную волну, т.е. волну, у которой векторы Е и Н являлись гармоническими функциями времени с определенной и строго постоянной частотой и. Однако, на практике всякая электромагнитная волна, как правило, имеет не одну определенную частоту, а содержит целый элвктгомлгнитныв Волны [гл.
ш , спектр частот. Такую волну можно описать, представив.-:, ее в виде волнового пакета — совокупности монохромати- ';: ческих волн, амплитуды которых зависят от частоты: (17.8) ! Выражения (17.8) в научной литературе получили наиме-,:. нование стынтрального разложения полей Е и Н. Так как при каждом фиксированном значении м в: силу (17.5) и (17.6) должны выполняться соотношения 1« = -п, Ео(м) = — (п Но(щ)), Но(ы) =)п Ео(ю)), то и волна (17.8) будет удовлетворять аналогичным со- ''., отношениям: 1с= — п, Е= — )п Н), Н=)п Е).
с Таким образом, в случае плоской немонохроматической: волны напряженности электрического и магнитного по- ' лей равны по модулю и векторы п, Е, Н составляют пра- ' вую тройку взаимно ортогональных векторов. злплзлывлющив потвнциллы 4я . ПА(г,«) = — — Я «). с Как известно из математической физики, общее решение неоднорсдного уравнения состоит из частного решения несднорапного уравнения и общего решения однородного уравнения. Если такое решение будет найдено, то используя начальные и граничные условия, можно установить значения констант интегрирования, входящих в общее решение сднородного уравнения, и обеспечить, тем самым, единственность решения задачи.
Предположим, что рассматриваемая нами система зарядов и токов является островной, т.е. плотности заряда р(г,«) и тока,1 =,1(г, «) отличны от нуля только лишь в ограниченной области пространства, максимальный линейный размер которой конечен. Определим электромагнитное поле, создаваемое этой островной системой. Так как уравнения (18. 1) для потенциалов р и А имеют одинаковый вид, то построим сначала решение для скалярного потенциала у, а соответствующее решение для векторного потенциала А запишем по аналогии.
В случае, когда плотность заряда не зависит от времени р = р(г), решение уравнения (8.3), как мы установили в ~ 8, имеет вид (8.10): 8 18. Запаздывающие потенциалы Теперь нам необходимо найти решения уравнений: (7.6) для потенциалов в общем случае, когда плотности ';:, заряда и тока зависят от времени: П ср(г,«) = — 4яр(г,«), (18.1) Однако, если прршоложить, что и в общем случае, когда плотность заряда зависит от времени р = р(г, «), решение первого уравнения системы (18.1) имеет аналогич- 8 |8) электРОмАГнитные Волны 3АНАзлыВАющие потенциАлы )ГЛ. Ш Г Л"р(Г',1) (18.2) .
)г — гр~ то несложно убедиться, что уравнение (18.1) не выполня- ' ется, так как в общем случае дз р(г', Г)/да~ ф О. Действи- -' тельно, псдставляя'выражение (18.2) в первое уравнение:, системы (18.1), получим." С) рр(г, Г) = -'Ьгр(г, Ф) — — / — ' ф — 4яр(Г, Г). 1 Г аЛ" дар(г', Ц сз,/ )г — г'~ дР Поэтому частное решение неоднородного уравнения .',:; (18.1) в общем случае, когда р = р(г, Г), будем искать в:; виде Г Л"р(г', О'(Ф, г, г')) ')г — г'~ где О'(Ф, г, г') — некоторая неизвестная функция времени Ф, радиуса-вектора г точки набл|одения и радиуса-вектора . г' элемента обьема интегрирования Л".
Отметим прежде всего, что функция О'(Г, г, г') долж- ..' на включать радиусы-векторы г и г' только в виде их:. разности г — г'. Действительно, рассмотрим некоторую систему зарядов из двух систем координат, начала отсчета которых расположены в двух различных точках трехмерного пространства. Тогда при произвольной зависимости функции О'($,г,г') от г и г' выражение в правой части соотношения (18.3) будет различным в этих двух системах координат и потенциал у(г, Г), создаваемый одной и той же системой зарядов в одной и той же точке наблюдения г, будет различен при его вычислении в различных системах координат. И лишь в том случае, когда радиусы-векторы г и г' входят в функцию О'(Г, г, г') в виде разности г — г', потенциал рр(Г, Г) не будет зависеть от того, в какой точке пространства помещено начало отсчета системы координат, а будет определяться только взаимным расположением системы зар|щов и точки наблюдения.
Учтем также, что функция О'(Г, В) является скаларом. Так как в инерциальных системах отсчета в трехмерном пространстве нет выделенных направлений, то функция О' должна зависеть не просто от разности векторов г — г', а от модуля этой разности: О' = О'(Г, )à — г')). Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (18.1) следует искать в виде| Г Лр'р(г', О'(Г, Га)) 1' Где для удобства дальнейших вычислений введено обозначение Га = )г — г''). Подставим выражение (18.4) в первое уравнение системы (18.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
