В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В результате получим: 44 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ (ГЛ. ! Используя уравнение спи Е = 4я.р системы (5.1), прихо-,'.' дим к соотношению 1 ь~ ПОТЕНПИАЛЫ ЭЛЕК'ХРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 45 Максвелла (5,1): гпУ Н =О. которое выполняется в силу дифференциального закона сохранения заряда (3.3). Поэтому первое и последнее уравнения системы (5.1), называемые первой парой урав-,' нений Максвелла, не являются независимыми друг От",~ друга. Совершенно аналогично можно убедиться в зави-:, симости и второй пары уравнений Максвелла — второго; и третьего уравнений системы (5.1). Таким образом, система уравнений Максвелла (5.1) ' фактически содержит лишь шесть линейно независимых.".
уравнений относительно шести независимых функций Е:; и Н и при заданных начальных и граничных условиях'. имеет единственное решение. Однако непосредственное определение векторов Е и Н из системы (5.1) в большинстве случае чрезвычайно":: затруднено, поскольку каждое из уравнений Максвелла::: содержит несколько неизвестных компонент векторов Е", и Н; Поэтому для практических целей обычно требуется: сначала свести систему уравнений первого порядка (5.1) ' к системе уравнений высшего порядка, каждое из кото-- рых содержит только' сдну неизвестную функцию.
Это; можно осуществить несколькими способами. Один из них состоит в введении вспомогательных не- -:.' известных функций, которые в научной литературе по- ' лучили название потенциалов электромагнитного поля..' Так как этот способ чаще всего используется, то изу-:: чим его подробнее. Рассмотрим последнее из уравнений;::: Оно утверждает, что вектор напряженности магнитного поля всегда имеет соленоидальный характер. Поэтому данный вектор может быть представлен в виде ротора от некоторого вспомогательного вектора А, называемого векторным потенциалом электромагнитного поля: Н(г,1) = гоФ А(г, 1).
Псдставляя это соотношение во второе из векторных уравнений (5.1) и переставляя местами независимые операции взятия ротора и частного дифференцирования по времени, получим: 1дА1 гой(Е+ — — ~ = О. с дг Так как это равенство должно выполняться тождественно, то выражение, стоящее в фигурных скобках, всегда можно представить в виде градиента от некоторой скалярной функции.
В силу исторической традиции этот градиент обычно записывают со знаком минус: 1дА Е+- — =-р а р(г,г), с дг а вспомогательную скалярную функцию ~р(г,г) в этом случае называют сквлярным потенциалом. Таким образом, векторы напряженностей электрического и магнитного полей можно выразить через потенциалы электромагнитного поля (5.2) Н(г,г) = го1 А, 46 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ~ГЛ. 1 1дА Е(г, ~) = — ягас1 у — —— с д1 и, тем самым, обеспечить тождественное выполнение второй пары уравнений Максвелла. 3 8. Калибровочная инвариантность классической электродинамики Выясним теперь, насколько однозначно могут быть выбраны потенциалы электромагнитного поля. Как следует из выражений (5.1), (3.20) и (3.21), скалярный <р(г, 8) и векторный А(г,$) потенциалы явным образом не входят ни в уравнения Максвелла, ни в уравнения движения заряженных частиц.
Эти уравнения зависят от потенциалов ~р и А только косвенно: через напряженности .'! электрического Е и магнитного Н полей. Поэтому никаким физическим экспериментом1) нельзя, например, измерить значения потенциалов ~о и А в какой-либо точке пространства. Отсюда следует, что в классической электроцинами- ~) В квантовой теории ситуация выглядит иначе, поскольку ее уравнения формально ссдержат скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля. В результате волновая функция (точнее, ее фаза) зависит от потенциалов (эффект Ааронова - Бома).
Поэтому калибровочные преобразования потенциалов приводят к неоднозначному виду волновой функции. Однако, в квантовой теории ни сама волновая функция, ни ее фаза измерены быть не могут. Более того, волновая функция обычно определяется с точностью до произвольного комплексного множителя ехр(то). з 6~ кАлиБРОВОчнАЯ инВАРиАнтность электРОлинАмики 47 ке потенциалы ~р и А сами по себе не имеют непосредственного физического смысла, а играют вспомогательную роль. В то же время напряженности электрического и магнитного полей всегда могут быть измерены по величине силы, действующей на пробный заряд, а, следовательно, они имеют реальный физический смысл. Таким образом, классическая электродинамика допускает возможность преобразований потенциалов, которые не изменяют значений полей Е и Н.
Такие преобразования в научной литературе получили наименование Калибровочных или градиентных преобразований. Найдем эти преобразования. Для этого обратим внимание прежде всего на первое из равенств (5.2). Так как для любой функции координат и времени Дг, 1) справедливо соотношение го~ ягае1 Дг,1) = О, то очевидно, что вектор напряженности электромагнитного поля не изменится, если к векторному потенциалу А добавить градиент от произвольной скалярной функции Дг, Ф), нэзывэ; емой калибровочной функцией: А = А' + ягад.
у(г, 1). В этом случае Н = го$ А = го$ А' = Н' и вектор Н' оказывается независящим от выбора калибровочной функции 1(г, Ф). Однако такое преобразование, вообще говоря, изменяет вектор Е. Пействительно, подставляя соотнопзение (6.1) во второе из равенств (5.2)„получим выражение, в которое кэлибровсчная функция ~(г,~) входит явно: 1дА ~ 1 д 1 1дА' Е = — ягас1 у — — — = — ягае1~~р+ — — Дг,1)~ — — —. с де с дх с д$ (6.2) 48 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 1ГЛ.
1 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ Для того, чтобы обеспечить независимость вектора Е' от КВЛИбрОВОЧНОй фуикцнн ~(Г, с) Прн ПрЕОбраЗОВаНИИ (6.1), необхсдимо, чтобы скалярный потенциал также изменялся по закОну: 1дД~,Ф) 1Р = 'Р с Ж Тогда выражение (6.2) примет вид: 1дА, 1дА' Е = -рай у — — — = -3гай р' — — — = Е'. с д$ с д$ Отсюда следует, что только совместное преобразование ':;:. потенциалов А = А'+огай Дг,1), 1р = 1р' — — ' (6.3) ' 1 ду(г,г) с обеспечнвает независимость векторов Е' и Н' от выбора ",,' калибровочной функции у(г, Ф).
В математике вьсражение, остающееся неизменным,: при определенном преобразовании переменных, входящих ",. в это выражение, называется инвариантом. Таким обра- .' зам, напряженности электрического Е и магнитного Н ::, полей являются инвариантами при проведении калибро-::: вочных преобразований (6.3) потенциалов 1р и А,а само ,''" свойство этих напряженностей не изменяться при кали-::: бровке потенциалов называется'калибровочной инвари- '. ант ностью.
Так как вхса~пцая в выражения (6.3) скалярная функ-:.' ция 7'(г, Ф) является совершенно произвольной функцией::; ксюрдинат и времени, то мы можем использовать эту не-:, однозначность в выборе потенциалов в дальнейшем для: существенного упрощения уравнений. 3 7. Вывод уравнений для потенциалов Установим теперь уравнения, которым должны удоВлетворять потенциалы в микроскопической электродинамике. Пля этого подставим выражения (5.2) в первое из уравнений (5.1). Используя известное соотношение ГОФ го$ А = рай й1у А — Ь А, где Ь вЂ” оператор Лапласа: д2 д2 дя Ь= — + — + —, де2 др2 д22 ' и переставляя местами независимые операции частного дифференцирования по времени и взятия градиента, приведем первое уравнение (5.1) к виду: 1 д2А 4я. Г1д1р С~ А — — — = — — 1+ 3гэй~- — + й1У А).
(7.1) с2 д1~ с с д1 Совершенно аналогично, подставляя второе выражение (5.2) в четвертое из уравнений (5.1) и учитывая, что й1у ягай сэ = Ь 1р, получим: 1 д21р 1 д Г1д1р Ь ~р — — — = — 4яр — — — ~ — — + й1у А~. (7.2) С2 д22 сд1 с дс Рассматривая структуру уравнений (7.1) и (7.2), легко заметить, что они легко упрощаются в том случае, когда выражения, стоящие в фигурньсх скобках, обращак1тся в нуль. Поэтому возникает естественный вопрос: а нельзя ли, воспользовавшись неоднозначностью (6.3) в 50 уРАВнения электРОмАгнитнОГО пОля ~гл. 1, ВыВОП уРАВнений для пОтенпиАлОВ 51 Определении потенциалов, добиться существенного упро-: щения уравнений (7.1) и (7.2)Т Ответ на этот вопрос, как::,.
мы увидим далее, положительный. Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что калибровочное преобразование (6.3) не изменяет вида урав- ', нений (7.1) и (7.2)..Действительно, подставляя соотно-:: шения (6.3) в уравнения (7.1) и (7.2), получим: 1 д2А' 42г. ~ 1 ду' Ь А' — — — = — — 1+ игам (- — + йч А'~. (7.3) с2 д12 с с д$ 1 дзу' 1 д ~1ду' Ь (р' — — — = — 42Рр — — — ~ — — + с11ч А'~. д12 сЮ с д$ Таким образом, калибровочная функция у"(г, 2) в эти:.', ураинения не вошла и единственное изменение по срав-:.: нению с уравнениями (7.1) и (7,2) состоит в появлении..
штрихов у скалярного и векторного потенциалов. Предположим теперь, что в первоначальной кали-:, бровке потенциалов величина — — + сбч А = Р(г, Ф) 1 д~Р (7- )" с д$ не равна нулхо, а является некоторой функцией координат,::. и времени. Выясним, можно ли так псдобрать калибро-,,:: вочную функцию у(г, Ф), чтобы откалнброванные потен-.'; циалы у' и А' уже удовлетворяли условию — — + О1ч А' = О. 1 др/ (7 5)' с д1 Для этого подставим соотношения (6.3) в выражение,. (7.4). В результате получим: 1др' ., 1 дд~ — — + сйч А'.+ Ь У вЂ” — — = Р(г, 1). с д1 с2 д22 Отсюда следует, что для выполнения дополнительного условия (7.5) калибровочная функция 7"(г,2) должна удо- Влетворять условию: Ь | — — — = Г(г,2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
