В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 2
Текст из файла (страница 2)
~ — — ~ е,.+ гяпд" дд д~о +- ~ —,—" — ~еэ+ — ~ — — — "~е,, 1 1 дА„д(ГА„) 1 д(ГАР) дл„ При проведении практических расчетов в электро- динамике значительное упрощение формул достигается, если использовать оператор "набла", имеющий в декартовой системе координат вид: С помощью этого оператора можно вывести формулы, позволяющие записывать результат действия дифференциального оператора на произведение двух скалярных или векторйых функций в виде выражений, содержащих действие этого оператора только на один сомножитель. Запомнить зтн формулы достаточно сложно, гораздо проще запомнить алгоритм вывода этих формул. Он состоит из нескольких этапов. з 11 ОснОВныР мАтемАтические сООтнОшения 13 Продемонстрируем этот алгоритм на примере вычисления ГОФ [А В].
На первом этапе дифференциальные операторы записываются через оператор набла в соответствии с равенствами: дгас1 ф = ~7 ф, йР А = (~7 А), го1 А = [17 А]. (1.10) Следует отметить, что помимо операторов дгас1, с11~ и го1 самостоятельное значение имеет и оператор д д д (А з7) = А — + А„— + А, —, *дх "ду 'дэ' который представляет собой производную по направлению вектора А. В нашем случае го1 [А В] принимает вид: На втором этапе переписываем правую часть столько раз, сколько скалярных и векторных функций в нее входит, и отмечаем тильдой в первом слагаемом первый сомножитель, во втором слагаемом — второй сомножитель и т.д.
В нашем примере это будет выглядеть тах: го1 [А В] = [з7[А В]] + ~~7[А В]]. После этого используя правила векторной алгебры и свойства скалярных, векторных и смешанных произведений, рассматривая оператор набла, как некоторый обычный вектор, преобразуем правую часть полученного соотношения, переставляя сомножители, если требуется, тах чтобы помеченный сомножитель стоял справа (1.14) (1.16) 14 ИРАвнения электномАгнитного НОля '«гл. « от вектора набла„а не помеченные сомножители — слева.
В нашем случае, раскрывая двойные векторные произве- дения, получим= го$ [А В[ = А(%' В) — В(~7 А) + А('Р В) — В(~7А) = = (В '~7)А — В(~7 А) + А(~7 В) — (А ~7)В. На последнем этапе необходимо "прочитать" результат, переходя от оператора набла к ига«1, Йн и го$ в соответствии с представлениями (1.10). Н нашем случае приходим к соотношению: го1 [А В[ = (В ига«1)А — (А ра«1)В + Ас1««т  — В«11з А. Приведем для справки остальные формулы, которые не- сложно получить, действуя по указанному алгоритму: рас1'(А В) = (В яга«1)А+ (А яга«1)В+ (1.11) +[В го$ А[+ [А го$ В).
игам (ф. «р) = ф кгас1 у+ у ига«1 ф, «1п (««««А) = ««««с11э А+ (А ига«1 4), го$ (ф А) = ««««гоФ А — [А ягас1 ««««~, йъ [А В[ = (В го$ А) — (А го1 В), С помощью оператора "набла" несложно установить ряд важных. соотношений для дифференциальных операций второго порядка. В частности, имеем: гоФ ра«1 4~ = [%" Т'ф[ = [~7~7ф = О, (1.12) з 11 Основнь!е мАтемАтические сООтнОшениЯ 16 так как в силу соотношения (1.2) определитель будет со- держать две Одинаковые строки. Совершенно аналогич- но, в силу соотношения (1.3) прихсдим к равенству сЬ' го$ А = Г%7Р7А[) = О.
(1.13) И, наконец, используя формулу (1.4) для двойного век- торного произведения и правила действия с оператором "набла", получим соотношение гоФ го1 А = [17[Т7А[[ = = ига«1 «11~ А — з«7~А = р.ас1 йи А — Ь А. Это соотношение очень часто используется для записи оператора Лапласа от вектора в произвольной ортого- нальной криволинейной системе координат ЬА = ига«1 «1п«А — го1 гоФ А.
(1.15) Из интегральных соотношений для нас наибольший интерес будут представлять теоремы Стокса и Остроградского - Гаусса. Рассмотрим некоторый объем пространства Ъ', ограниченный замкнутой поверхностью 5. Теорема Остроградского — Гаусса утверждает, что «1н А«Л' = (А«Б) = (Ап)«Б, где и — единичный вектор внешней нормали в той точке поверхности, где находится элемент площади ««О, Рассмотрим теперь некоторый гладкий замкнутый контур Х без самопересечений.
Введем в каждой точке (гоФ АсБ) = (АЛ). (1.17) 16 уРАвнения электгомАгнитнОРО пОля ~гл. ! этого, контура бесконечно малый вектор <Й, касательный к контуру. Пусть О' — произвольная поверхность, ограни- ченная этим контуром. В силу теоремы Стокса справед- ливо следующее соотношение Интеграл, стоящий в этом соотношении справа, называется циркуляцией вектора А по замкнутому контуру Х, причем обход контура Х должен провспиться в положительном направлении, когда обходимая область остается слева. При вычислении полной интенсивности излучения произведение двух и более компонент единичного вектора п = е/г = 1'п1 = п~ = х/г, пз = пз —— у/г, пз = = п, = х/г) = (Е1и В соз ~р, зш В е1п ~р, соз д) необходимо интегрировать по сферическим углам.
Результат такого интегрирования удобно записывать в тензорном виде, полагая, что и = (и) о О где 6аи — символ Кронекера. В теоретической физике широкое применение нашла дельта;функция Дирака, являющаяся обобщеииой функцией. 'Не претендуя на полноту изложения, приведем з 1] ОснОвные мАтемАтические сООтнОшения 17 основные сведения О дельта-функции Дирака, знание ко- торых необходимо для изучения классической электроди- намики. Одномерная дельта-функция Дирака о(х — хс) определяется требованиями: | 1, если хо б (а о) с1х6(х — хс) = 1, если ха = а или хс = Б, О, если хс ф (а,Ь). Представление о дельта-функции дает график, приведенный на рис.1, если его максимум устремить к бесконечности, сохраняя площадь под графиком равной единице. Рис.1. График функции, имекяцей пределом дельта- функцию Дирака.
Б(х-хо) = 1пп б(х — хо,о) юЦо-го) (2,)з Ях)б(х — хо)ах = 1(хо), (1.20) Л~Дг)б(г — го) = З'РАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ~ГЛ. ! " Очевидно, что дельта-функцию Б(х — хе) можно рас- ", сматривать как предел целого ряда аналитических функций Б(х — хе, о): В частности, всем поставленным требованиям (1.19) удо- ' влетворяют, например, следующие функции: б(...) 1Ы '1""(*-* ) л(х — * ) б(х — хе) = 1пп Г11+ оз(х — хо)Ч ' о о 2 Б(х — хо) = 1пл — е 1*-Ао) а — >оо ~~я Из этих примеров непосредственно видно, что размерность дельта-функции обратна размерности ее аргумента. Легко также заметить, что дельта-функция четна: б( — х) = Б(х).
Кроме того, из определения (1.19) можно установить еще и следующие свойства: Б(ах) = —, Б(х) И' б(Г( )) = ~ „, !%(*»М ' з Ц ОснОВные мАтемАтические сООтнОшениЯ 19 где хА — корни уравнения г"(хА) = О. Важным частным случаем последней формулы является соотношение Б(х — а) + Б(х + а) б(х~ — а2) = 2~а! В ряде приложений бывает необходимо разложить дель- та-функцию в интеграл Фурье. Учитывая свойства (1.20) и определение интеграла Фурье, можно получить следу- ющее разложение: Б(х — хо) = — сУсе'"1 *о~ = — / сУс созе(х — хо).
2х,/ (1.21) Обобщение одномерной дельта-функции на трехмернь1й случай дает: Б(г — гс) =- б(х — хо)б(у — уо)б(х — ео), (1») Д(ге), если точка гс внутри объема 1'; -Дге), если тОчка ге на границе Объемз $, О, если точка го вне объема К 21 = — 4я о(г — г'), (1.23) Ьдг. рь = 1пп ы,-~о ЬЕ ' ~дя ря = 1ип ая-+о Ьо' 2О уРАвнвния элвктРомАгнитного поля «гл. « С использованием дельта-функции Дирака можно дока- зать два соотношения, которые нам потребуются в даль- нейшем: 1 1 «з —, =«з ~г — г«~ (х — х«)з + (р 1««)з + (г з«)~ В классической электродинамике очень часто встречаются функции двух точек — точки наблюдения г = (х, 1«, г) и точки г' = (х',у',х«), где находится элемент ««Г = «Ь'«1у'«Ь' объема интегрирования: Р = Р(г, г', 1).
Во избежание путаницы при действии дифференциальных операторов на такие функции мы в качестве векторного индекса будем указь«вать тот радиус-вектор, по координатам которого производится дифференцирование: дР дР дР %'„Р(г,г',Ф) = е — + е„— +е,—, дР дР дР ~7, Р(г, г', 1) = е„—, + е„—, + е, —. Совершенно аналогичный смысл будет иметь векторный индекс и у других дифференциальных операторов. ~ 2. Плотность заряда и плотность тока В классической электродинамике одним из основных объектов является электрический заряд ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯЛА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА Первоначально считалось, что носителями зарядов являются два вида особой электрической жидкости, одна из которых обладает положительным зарядом, а другая— отрицательным. Для количественного описания процессов перераспределения этих заряженных жидкостей, по аналогии с гидродинамикой, были введены понятия объемной плотности заряда р = р(г, т) и объемной плотности тока;1 = Яг,М): р(г,1) = 1пп — , ,1(г,1) = р(г,«)з«, (2.1) Ь«1 а«'-+о ЬT ' где Ьд — количество электрического заряда, сс«держащегося в элементе объема ЙХ, Р— скорость движения носителей электрического заряда.
Наряду с объемной плотностью заряда в классической электрсдинамике используются поверхностная ря и линейная р«. плотности заряда: где Ьдя — количество заряда, содержащаяся в элементе плошади Ь5'некоторой поверхности,а Ь~у, †количест заряда, содержащаяся в элементе длины ААХ некоторой линии. Введение понятий плотности заряда и плотности тока оказало положительное влияние на развитие электродинамики и использование этих терминов продолжается и в настоящее время. Однако, впоследствии выяснилось, что носителями электрического заряда являются дискретные объекты— уРлвнкния элкктгомлгнитного пОля !ГЛ.
1 элемецтарные частицы, причем у всех известных заряженвых частиц абсолютнвя величина заряда одна и та же1 е = 4,8.10 1о г~~~ ем~~~/сек. Так как величина этого заряда чрезвычайно мала, то очевидно, что в случае макроскопических тел, заряженных макроскопическим количеством заряда ~ >> е, дискретность распределения зарядэв мало сказывается на создаваемом ими поле и в этом случае можно продолжать пользоваться старыми представлениями о непрерывном распределении заряда. Но для описания электромагнитных полей, создаваемых отдельными элементарными частицами, такое приближение оказывается уже не справедливым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
