В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ъ' Напряженность электрического поля Е = — !>>ро(г)> обусловленная этой частью потенциала, с ростом г убывает как Цг~: Е— Это хорошо известное выражение для поля кулоновского центра. ~ 10. Электрический дипольный момент и его поле Если полный заряд системы равен нулю, то ведушую роль в разложении (9.3) начинает играть потенпиал >р!(г) = (гд)/гз. Он совпадает с потенциалом точечного диполя, дипольный момент которого равен дипольному моменту рассматриваемой системы зарядов.
З(га) †.Ч 1= Г~ р1г) = ~~ 9,Цà — г,). 70 ОтАциОнАРные электРОмАГнитные пОля 1гл. и Используя известные соотношения 1 пг Кгас1 — = — —, Кгаа(гс1) = а, Гп 1и+2' найдем напряженность поля электрического диполя: Таким образом, поле электрического диполя не является:: центральным, так как 1ЕГ1 ф О.
На больших расстояниях от диполя оно убывает как 1/Гз. Представление о силовых линиях поля электрического диполя дает рис. 5. Изучим теперь свойства вектора электрического дипольного момента системы д. Как следует из выражения (9.8), этот вектор зависит не только от распределения зарядов в системе 1что обеспечивается наличием плотности,-,' заряда р(г') под знаком интеграла (9.8)), но и от выбора начала отсчета декартовой системы координат (из-за присутствия вектора г' в выражении (9.8)).
Поэтому возникает вполне естественный вопрос: в "' какой мере вектор Й характеризует симметрию в распределении зарядов внутри рассматриваемой системы, а в какой мере отражает, может быть, не совсем удачный выбор начала отсчета декартовой системы координат. Или, говоря иными словами, если мы в какой-либо системе координаг, измеряя поле Е1 1г) определим величину вектора:: с1, то можно ли на основании этих данных судить о наличии какой-либо симметрии в распределении зарядов в .:: системе.
Или же эта величина настолько зависит От выборь координат, что не позволяет делать таких вывсдов? з 1Щ электгический пипОльный мОмент и еГО пОле 71 Для ответа на этот вопрос вычислим электрический днпольный момент Одной и той же системы точечных зарядов в двух декартовых системах координат, начала отсчета которых не совпадают, а координатные оси параллельны, и сравним полученные результаты. Рис. 5. Силовые линии поля электрического диполя. Обозначая радиус-вектор заряда с номером а (а = 1, 2..Ж) в первой системе координат через г„плотность рассматриваемой совокупности точечных зарядов мы можем записать в виде: Подставляя это выражение в соотношение (9.8)„опреде- 72 стяционАгнык элкктгомлгнитнык поля ~гл. п лим вектор Й в первой системе координат: (10.2); р(г) = ~ д,Б(г — г,).
а=1 Поэтому во второй системе координат И Ча Га ° (10.3) ' а=1 Выразим теперь радиус-вектор г', через г,: г', = г, — Не. Подставляя это соотношение в равенство (10.3), получим: -': Предположим теперь,что начало отсчета второй систе- -:, мы координат помещено в точку, радиус-вектор которой . Ве. Обозначая в этой системе координат радиус-вектор ' заряда с номером а через г'„будем иметь: З 1Ц элккткичкский квАлгупольный момкнт и кго полк 73 от того, в какой точке помещено начало отсчета. В частности, если начало отсчета декартовой системы координат при Я ~ О поместить в точку с радиусом-вектором Йе = ЙЯ, то электрический дипольный момент обра; тится в нуль независимо от характера распределения заряда в системе.
Система координат, в которой вектор Й равен нулю, в научной литературе получила название системы центра заряда. Таким образом, при Я ф 0 вектор Й не может служить характеристикой, отражающей наличие или отсутствие какой-либо симметрии в распределении зарядов в рассматриваемой системе. Если же полный заряд системы равен нулю, то ее электрический дипольньтй момент становится независимым от выбора начала отсчета, в результате чего по величине и направлению вектора с1 можно делать некоторые предположения о характере распределения зарядов в системе.
В частности, учитывая, что для двух разноименных точечных зарядов ~д, расположенных на расстоянии 1 друг от друга, 11 = д1, мы можем любую нейтральную систему зарядов представить себе как состоящую нз двух подсистем: положительной и отрицательной, центры зарядов которых смещены на величину 1 пропорциональную Й: 1 = Й/11. Следует однако отметить, что знание вектора д не позволяет однозначно судить о расределении плотности заряда в системе.
а=1 где Д вЂ” полный заряд системы. Отсюда непосредственно следует, что в общем слу- '- чае„когда полный заряд системы Я отличен от нуля, ' электрический дипольный момент существенно, зависит ", 3 11. Электрический квадрупольный момент и его поле Перейдем теперь к изучению поля электрического квадруполя (9.14). Простейшим примером электрического квадруполя является система, состоящая из четырех д<рз 5 хо0[зрх х~ 0арх Это означает, что матрица .0м 012 .013 021 0~22 0]23 031 0зз 033 74 стАциОнАРные элекТРОмАгнитные пОля [гл. и равных по абсолютной величине зарядов, расположенных: в вершинах квадрата, причем знаки зарядов должны че-:; редоваться.
Следует отметить, что эквивалентным пред- -:, ставлением квадруполя может служить также и систе-:, ма из двух равных по величине и противоположных по [ направлению электрических диполей, смещенных на неболыдое расстояние. Поле электрического квадруполя имеет ярко выра-; женньзй нецентральный характер и его удобно предста-: влять, используя тензорную форму записи: Из этого выражения следует, что при т -+ ОО поле убыва- .," ет как 1/г~. Поэтому учет поля электрического квадру- .
поля обычно произвсдится в том случае, когда электрический заряд и дипольный момент системы равны нулю. Следует, сднако, отметить, что потенциал у2(г) и соответствующее ему поле Ез являются предметом исследования даже тогда, когда полный заряд системы не равен нулю и основная роль в создании поля принадлежит кулоновской части потенциала. Это связано с тем, что измерение поля Е2 позволяет установить величину '. компонент тензора электрического квадрупольного момента 0~Р, которые характеризу1от степень несферичности в распределении заряда в изучаемой системе.
Именно таким путем была измерена величина электрического квадрупольного поля у атомных ядер и на этой основе '; сделан вывод об отсутствии сферической симметрии в распределении заряда у некоторых из них. Выясним теперь, сколько независимых компонент 3 11] электРический кВАЙРРпольный мОмент и еГО пОле 75 может иметь тензор электрического квадрупольного момента в случае произвольной системы зарядов. Как известно, трехмерный тензор второго ранга в общем случае содержит 3 = 9 независимь1х компонент. Тензор 0~Я, хотя и является тензором второго ранга, в силу присущих ему свойств имеет значительно меньшее число компонент.
Во-первых, из определения этого тензорь (9.13) следует, что он симметричен по индексам о и Д: при перестановке этих индексов он не изменяется, т.е. 0„р = р(г)(3х',„хр — Б„рг' )сП" = р(г)(3хрх' — 6„рг'~)ЙЪ" = Юр„. элементами которой являются компоненты этого тензо= "Т ра, совпадает с транспонированной матрицей: 0 = 0 Следовательно компоненты тензора .0,„р должны удовлетворять трем соотношениям: 0~12 021 ~ 013 0311 023 032 Таким образом, симметрия тензора 0 р уменьшает число его независимых компонент до шести. Но это еще не все.
Из определения (9.13) легко убедиться, что данный тензор является бесследовым: его след равен нулю. Пействительно, учитывая, что о Рх'„х~ — — г~, о„рэ"Р =3, 7б стАциОнАРные электРОИАГнитные пОля П'л, ц получим: Р: = Р„,Ю'~ =б. Расписывая зто выражение по-компонентно, имеем: Ри+Ргг+Рзз =0 Данное соо'хношение еше на единицу уменьшает число независимых компонент. И, наконец, производя преобразование поворота декартовой системы координат, мы можем обратить в нуль еще три (по числу независимых углов поворота) компоненты этого тензора. Таким образом, тензор электрического квадрупольного момента имеет всего две независимые компоненты. Проще всего в этом убедиться следующим образом.
Рассмотрим некоторую квадратичную форму, коэффициентами которой являются компоненты тензора Р„я. з 12] ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 77 ~ 12. Энергия электростатического поля Найдем теперь энергию электростатического поля, создаваемого некоторой системой покоящихся зар1шов. В соответствии с общей формулой (4.б) плотность энергии электрического поля в вакууме определяется выражением: со = Ег/(8гг).
Поэтому энергию поля, ссдержащуюся в некотором объеме $', можно найти, интегрируя плотность со по данному объему $'. сп;Ег 1 Г 8 / (12.1) Таким образом, после перехода к системе координат, оси которой ориентированы вдоль главных осей, отличными от нуля компонентами тензора электрического квадрупольного момента в общем случае могут быть только компоненты Рм, Ргг и Рзз = -(Рм + Ргг). 1 =РаР* Е . Как и всякую квадратичную форму, ее всегда можно путем преобразований поворота гривести к главным осям, в результэте чего все перекрестные слагаемые исчезнут и она примет вид: 7 = Р11е + РггУ + Рззг .
Поскольку след тензора Р„р сохраняет свое значение при преобразованиях поворота, то В типичных задачах классической электродинамики в качестве объема У иногда выступают конечные области пространства, но чаще же интересуются энергией поля, заключенной во всем пространстве. В последнем случае использование выражения (12.1) может оказаться не совсем удобным по целому ряду причин. Поэтому наряду с выражением (12.1) в электростатике используется и другое выражение для определения энергии поля. Для его получения учтем, что Е = — кгас1 ~р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
