В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тэк как векторы Яг') и О1 в линейном проводнике коллинеарны, то 1(г')сй = Яг')сЦ. Учитывая, что ~БЫ = Л", выражение (3.11) перепишем в виде: Данное соотношение позволяет получить еще сдно уравнение Максвелла. Для этого воспользуемся равенством: (1(г') г — г')) Яг') .г~з Где индекс г у оператора ГОФ означает, что ротор берется по координатам вектора г = (х, у, з).
Поэтому соотношение (3.12) можно записать в виде: 1д Г (Есй) = — — — ~ (НсБ). с д$ 1 дЕ 4я. ге Н= — — + — Яг,~), сд1 с (3.19) 1 дН го$ Е = — — —, с Ю 1дН ~(го1Е+ — — )сБ) = О. с И сЬ Н=О, с1гн Е = 4яр(г, 1) (3.18) '.
1дН гоФ Е = — — —. с д~ е г' = еЕ + — (нН1. с (3.20) д — йнН=О д$ 1. Г = рЕ+ -0Н]. с (3.21) йн Н=О. зб з БАвнения электгомАгнитного поля ~гл. ю 5, опирающуюся на контур Х. Если считать контур Ь не-; подвижным и использовать современные обозначения, то; закон Фарадея примет вид: Перенесем все члены налево и применим теорему Стокса. В результате получим: 'Хак как данное выражение должно быть равным нулю- при любом выборе контура Ь и поверхности Я, то в силу: основной леммы вариационного исчисления имеем: Это соотношение представляет собой еще одно уравнение,: Максвелла; Для получения последнего уравнения Максвелла вы- "::; числим дивергенцию от обеих частей равенства (3.18).
В результате получим: Так как в общем случае вектор Н зависит от времени, то .:: наиболее просто обеспечить выполнение этого соотноше- ! ния, если положить з 31 ФизическОе ОБОснОВАние ~РАВнении мАксВеллА 37 Данное соотношение и является последним из уравнений Максвелла. С физической точки зрения оно эквивалентно утверждению об отсутствии в прирспе магнитных заря- ДОБ. Система полученных уравнений называется системой уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
Сила, действующая в электромагнитном поле Е = Е(г, 1) и Н = Н(г, 1) на частицу с зарядом е, имеет вид: Это выражение в научной литературе получило название силы Лоренца. В случае, когда рассматривается система распределенных зарядов с плотностью заряда р = р(г„1) и плотностью тока 1 = 1(г,1), вместо силы Лоренца необхсаимо использовать плотность силы Лоренца 1, равную силе, действующей со стороны электромагнитного поля на единицу объема.
Она имеет вид: (4.1) 1 дЕ 4я. гоФ Н = - — + — 1, с й с 1дН го$ Š— — —, =с' сйнН=О, с11ч Е = 4нр. 38 РРАвнения электгомАгнитного поля [гл. 1 Система уравнений Максвелла (3.19), дополненная выражениями для силы Лоренца (3.2О) и плотности силы Лоренца (3.21), дает возможность решать широкий круг задач о движении и излучении заряженных частиц ", в вакууме. 3 4. Закон сохранения энергии в электродинамике Рассмотрим систему уравнений Максвелла: Умножим первое уравнение данной системы скалярно на вектор Е, а второе уравнение — на вектор Н. Вычитая из,-'.
первого уравнения второе, получим: ~е ы н) — (н.~ н~ = -'( (е) -~ (н ~~) ) + 4— 'щ).: (4.2) Воспользовавшись известными соотношениями йР (ЕН] = (Н го1 Е) — (Е то~ Н), ~ЕдЕ~+ ~НдН~ 1 д ~Е, + Н,~ ~ 4! 3АкОн сохРАнения энеггии в электРОлинАмике 39 и разделив равенство (4.2) на 4н/с, приведем его к виду: д Е2+Н2 с — ~+ Йъ. — [ЕН1+(Е)) = О. (4.3) Выясним теперь физический смысл каждого слагаемого в данном выражении.
Лля этого выделим некоторый фиксированный объем Ъ", содержащий всю систему заряженных частиц, и проинтегрируем ссютношение (4.3) по всему объему: — ~ ( «н' ~- ~А — (Еще'~-~~еи~п' = О. Так как после интегрирования по объему величина ДЕ2 + Н2)Л' будет зависеть только от 1, то в первом Р слагаемом частную производную по времени можно заменить на полную. Кроме того, преобразуем по теореме Остроградского - Гаусса второе слагаемое.
В результате получим: — ) ( " )ь ~~ —;ценнв~~.~~ц~а =О, (4.4) где О' - поверхность, ограничивающая объем К Используя выражение (2.3) для плотности тока, последнее слагаемое этого соотношения можно преобразовать к виду: 1ЕД)н'=Кя./ Н» — .Рй .й~ 'М'= Ъ | аж1 Е +НЕ с Ц( о = — (ЕН). 8Бг ' 4Бг (4.6) ~'(Е 4-Н') ди( — — = д.п о+ (Е1), (4.8) — (Е4,,'- Е4) = ~(~ББ(. 46 РРАвнения электРОмАГиитнОГО пОля [ГЛ. ( Ча(агаЕ(Га41)) = )' Да~ (Е(Га4 ф~а)+ +-((ч,Н(г„й))ч,) ~ = ,'ь ~Р,ьа), Б-1 где Е, - сила Лоренца (3.20), действующая на частицу с:,' номером а со стороны поля. Таким образом, последнее слагаемое в соотношении::: (4.4) представляет собой мощность сил электромагнит-, ного поля, действующих на систему 'заряженных частиц.,', Согласно уравнениям механики эта величина равна про- '-.
изводной по времени от суммарной кинетической энергии:: системы частиц: Поэтому соотношение (4.4) принимает вид: — (Е4; 4- ( ( ) Л') = — ~ — ((ЕН(ББ(. (4.Ц Из этого выражения непосредственно следует, что;.' величина 1Е + Н~)/8Бг имеет размерность плотности ';,: энергии (энергии, содержащейся в единице объема), а ве-, личина с(ЕН)/4Бг - размерность плотности потока энер- ': гии (энергии, проходящей в единицу времени через по-,': верхность ~тиничной площади). Поскольку эти величи-,'- ны зависят только от характеристик элекромагнитно-:.
го поля, то естественно предположить, что плотность ' з 4( 3АкОн сОхРАнениЯ энеРГии в электРОлинАмике 41 энергии и и вектор плотности потока энергии о для электромагнитного поля имеют вид Это предположение нахсдится в полном согласии с теоремой Умова, в которой впервые было введено понятие плотности потока энергии и в общей форме проведено изучение локализации и движения в пространстве любых видов энергии. Так как впоследствии аналогичный вопрос применительно к электромагнитному полю исследовал Пойнтинг, то вектор о в электродинамике называют вектором Пойнтинга. Соотношения (4.3) и (4.5) представляют собой закон сохранения энергии электромагнитного поля и заряженных частиц в дифференциальной и интегральной форльае, соответственно.
Вводя обозначение лля энергии электромагнитного поля, содержащейся в объеме Ъ; мы можем переписать их в виде: Согласно первому из этих соотношений уменьшение плотности электромагнитного поля в какой-либо точке 42 РРАВНЕНИЯ ЭЛЕКтРОМАГНИтНОГО ПОЛЯ ~ГЛ. 1'„ ~ ь1 ПО'ГЕНЦИАЛЫ эЛЕК'ГРОМАГНИтНОГО ПОЛЯ 43 пространства с течением времени привсдит в общем слу-' чае к появлению в данной точке отличной от нуля дивер-' генции вектора Пойнтинга и к совершению полем работ над заряженными частицами.
Таким образом, данное дифференциальное соотно-~ шение описьгвает баланс энергий в каждой точке про-:,. странства. Однако, в большинстве случаев детальное знание такого баланса оказывается ненужным. Обычно': возникает необхсдимость исследовать движение и распре-";. деледие энергии электромагнитного поля интегрально..: Для этой цели служит второе из соотношений (4.8):-' Согласно этому интегральному соотношению суммарн уменьшение энергии поля и кинетической энергии ча-" стиц в некотором объеме Ъ' происхсдит только из-за на-'. личия потока энергии электромагнитного поля через по верхность, ограничивающую данный объем.
Использу ''' выражение (4.4), это соотношение можно залисать и несколько иной форме: — — = ~ (ойБ) + (Е1)ИК гИу Г а 7 (4.9); Я Ъ' Эта форма записи интегрального закона сохране энергии означает, что изменение энергии поля в некото;: ром объеме Ъ' происхсдит из-за наличия потока энерг через поверхность, ограничивающую объем Ъ, и умень-, шения энергии частиц (или совершения полем работ над заряженными частицами, находящимися в данно объеме). Помимо плотности энергии и электромагнитное по-: ле имеет плотиосгль импульса Р: Р = — = — (ЕН). <т 1 (4.1О) сз 4згс Таким образом, электромагнитное поле, как и остальные формы материи, обладает энергией и импульсом. Это означает, что оно является не каким-то удобным, но беспрепметным понятием, а представляет собой объективную физическую реальность. ~ 5.
Потенциалы электромагнитного поля Характеризуя с математической точки зрения систему уравнений Максвелла 1 дЕ 4~г. гоФ Н= — — + — 3, сдг с (5.1) 1 дН гоФ Е = — — —, с дг с1Ь Н = О, г11~г Е = 4з.р, 1д, 4я О = — — с1п Е+ — с1пг1. с дг с необходимо прежде всего отметить, что Она состоит из восьми линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. При заданных р = р(г, г) и ) = 1(г, $) эта система содержит шесть независимых функций по числу компонент векторов Е и Н. Отсюда непосредственно следует, что система (5.1) либо пеРеопределена и поэтому в ряде случаев может не иметь Решения, либо ссдержит линейно зависимые уравнения. Легко убедиться, что в действительности реализуется вторая из этих возможностей. Для этого возьмем диеергенцию от правой и левой частей первого из векторных уравнений (5.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
