В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поэтому возникла необходимость построения модели заряженной элементарной частицы,. 'Поскольку в классической теории поля элементарные частицы считаются точечными объектами» то такой мсделью в электрсдинамике стало заряженное тело исчезающе малых размеров, но обладающее не равным нулю заряд~м. В силу определения (2.1) плотность электрического заРЯда должна быть бесконечной в точке г = 1о(1), где находится заряженная точечная частица, и обращаться в нуль в остальных точках. Для описания такого распределения зарядов и токов удобно использовать дельта-функцию Дирака, основные свойства которой изложены в предыдущем параграфе. Если точечная частица имеет заряд д и движется по закону г = го(1), то ее плотность заряда р(г, 1) и плотность тока 3(г, $) можно представить в виде: ~ 31 аизичкскок окосновлниг хелвнкний млксвкллл 23 где 1'о(1) = иго(1)/й — скорость частицы.
Для системы, состоя1цей из У точечных заряженных частиц, имеем: Р(г» 1) = ~1 Ра(Г» 1) = ,У ~1а6(Г га(1))» (2.3) Д(Г»1) = "~ ',1а(Г» 1) =,"> 'с1аъаЯЬ(г — Га(1)). а=1 а=1 Таким образом, зная величину каждого заряда»1, и закон движения каждой заряженной частицы г = га(1), из соотношений (2.3) несложно найти плотность заряда и плотность тока всей системы. По заданным же р(г,1) и Яг, г), как мы увидим далее, уравнения Максвелла позволяют определить создаваемое этой системой электромагнитное поле.
'3 3. Физическое обоснование уравнений Максвелла Уравнения электромагнитного поля были выведены Максвеллом на основе четырех законов злектромагнетизма, открытых к середине Х1Х века. Это — закон сохранения электрического заряда, закон Кулона, закон Био— Савара — Лапласа и закон Фарадея. Покажем как из этих законов можно вывести уравнения Максвелла. а). Закон сохранения электрического заряда (2.2) р(.,1) я~(г — го(1)), 3(г11) = око(1)6(г — го(1)), Этот закон был сформулирован к середине ХЧП века и результате исследований ряда ученых.
Согласно существовавшим в то время представлениям все электрические явления происхсдили как результат взаимодействия — / сЛ1р(г,~)+ ДЖ) = О. д д — Д~р(г 8) (3.1),. др(г,1) + с[[У 1(г, 1) = О. (3.3) (3.2) 24 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕК'ГРОМАГНИ'ГНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 1 двух различных видов электрической жидкости. На основе ряда экспериментов было установлено, что нельзя создать сдин вид электрической жидкости без того, чтобы не возник и другой вид. Отсюда непосредственно следовало, что электрический заряд (алгебраическая сумма количеств обоих видов электрической жидкости) в любом явлении не изменяется.
Исходя из этих представлений, по аналогии с гидро- динамикой, можно получить дифференциальный закон: сохранениязаряда — уравнениенепрерывности. Действительно, вь1делим в каком-либо заряженном теле произвольный обьем К Если плотность заряда в точке г обозначихь через р = р(т,с), то полный заряд (~, содержащийся в объеме Р; будет равен: Подсчитаем изменение заряда ~ в объеме 1~ с течением: времени.
'ХВК как заряды в силу закона сохранения не ':,' исчезают и не появляются, а лишь перераспределяются,, то единственной причиной изменения заряда Я в объеме Ъ' может быть только перетекание зарядов через поверх-; ность о', ограничивающую объем К Ввсая обозначение ': ,1(г, х) для вектора плотности тока зарядов, найдем вели-;. чину полного тока зарядов 1 через поверхность О: в Поскопьку с физической точки зрения при 1 > О ток 1 ' представляет собой количество электрического заряда,, ~ 3[ Физическое ОБОснОВАние УРАВнений мАксВеллА 25 покидаю1цего объем Ъ' в единицу времени (дД/д[ < О), то мы можем написать интегральный закон сохранения заряда в виде: дЯ вЂ” = — Х дс Подставляя в это выражение соотношения (3.1) и (3.2), ПОЛ~ ЧИМ: Изменяя порядок следования независимых операций диф- ференцирования по времени и интегрирования по объему, а также используя теорему Остроградского - Гаусса, име- ем: Так как это равенство справедливо при любом выборе объема интегрирования 11, то выражение, стоящее в квадратных скобках, должно быть тождественно равно ну- Это соотношение представляет собой дифференциальный ~акоп сохранения заряда или, как его еще иногда назы- Вают, уравнение непрерывности.
б). Закон Кулона для электрических зарядов В 1785 г. Ш.Кулон установил закон взаимодействия для покоящихся точечных зарядов. Как следовало из результатов экспериментов, сила Г, действую1цая на проб- (3.5) .: НФ е = (ЕСБ) = (Еп)СБ, 26 УРАВНения элЕКтР~мАгнитного поля ~ГЛ. 1 ный точечный заряд О со стороны другого точечного за- . ряда Я, находящегося в покое на расстоянии В от него, . равна: дЯВ (3А): где В.
= г1 — гз, а г1 и.гз — радиусы-векторы зарядов д и- Я, соответственно, Используя закон Кулона (3.4), можно определить на-:. пряженность электрического поля Е, создаваемого заря-::, дом ~ в точке, где находится пробный заряд д. По опреде-: лению напряженность электрического поля Е равна силе, с которой это поле действует на единичный пробный за- ' ряд. Поэтому в рассматриваемом случае: Если теперь считать, что заряд Д находится в начале::, координат, то выражение (3.5) будет описывать напря- ':; женность электрического поля в произвольной точке с: радиусом-вектором ее. Используя выражение (3.5), мы можем получить од-: но из уравнений Максвелла. Для этого рассмотрим не- '. которую произвольную замкнутую поверхность О', охва- '. тывающую заряд Ч, Найдем величину потока вектора.', напряженности электрического поля Е через эту поверх-,' ность.
Поток дФ е вектора Е через элемент площади сБ,:: по определению может быть записан в виде где' и — вектор внешней нормали к элементу поверхности " СИ. З 3~ ФИЗИЧЕСКОЕ ОВОСРЮВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 27 Подставляя в правую часть этого соотношения выражение (3.5), имеем: (ЕСБ) = Ю вЂ” сБ = — ПЯСОВ(п В.). (3.6) (В.п) Ез дз Учитывая, что ИЯ соа(п Й.) представляет собой проекцию элемента площади ПЯ на сферу радиуса В, мы можем за- писать: ОБ соа(п Н.) = НЯ,ру„где сБ„,А — элемент площа- ди сферы радиуса В.
(см.рис. 2). Рис. 2. Элемент сферической поверхности. Как следует из рис. 2, элемент поверхности сферы ~Я,Ру, с точностью до бесконечно малых высшего порядка может быть представлен в виде: ОЯ,РА = АВ А.О. Учитывая, что АВ = ВЕ1п Мр, А0 = ЛЮ, легко найти, длУ Е(г,М) = 4»р(гД. (3.8) с11У ~ — +4»,1) = О. дЕ йР Е(г) = 4»р(г) (3.7) дŠ— + 4я,1 = гос Х. дс (3.9) 28 уРАВнения электгомАгнитного пОля [гл.
с что сБ,РА = В~ ипдссРйр. Если теперь ввести обозначе- . ние ссй = з1пдссдсар для элемента 1) телесного угла ссй, ' то подучим окончательно: с~~~рь = В Поэтому соотношение (3.6) принимает вид: ЫФд =(ЕЖ) =Дай. Интегрируя это равенство по всей поверхностн О, имеем: Фн = (ЕсБ) = Я сИ = ~ зспЫд йр =4Щ.
я 0 о Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, преобразуем интеграл по замкнутой поверхности Я в интеграл по охватываемому данной поверхностью объему К Тогда, учнтыва» определение (3.1), получим: сП'"с1су Е(г) = 4Щ = 4» сП"р(г). Тьк как данное соотношение справедливо при произволь- ном выбэре объема интегрированн» 1', то ~) Элемент телесного угла сИ определяется как элемент поверхности сферы единичного радиуса, образованньсй дифференциалами сферических углов Ю н скр. з 3) ФизическОе ОВОснОВАние УРАВнений мАксвеллА 29 Таким образом, из закона Кулона непосредственно следует, что в электростатическом случае вектор Е(г) удовлетворяет уравнению (3.7).
Однако, при создании своей теории Максвелл пошел дальше и в качестве постулата предположил, что вектор Е удовлетворяет этому же уравнению и в самом общем случае, когда Е и р зависят от времени: Это предположение, как оказалось, не противоречит остальным уравнениям Максвелла и правильно отражает действительность. Используя уравнения (3.3) и (3.8), мы можем получить еще одно полезное соотношение. Для этого продифференцируем уравнение (3.8) по времени и учтем, что др/д~ = — дп 1.
В результате получим: дсЫР Е/д~ = -4»йу .). Переставляя местами независимые операции чьстного днфференцировьния по времени и координатам в левой части данного равенства, имеем: Поскольку дивергенция вектора, стоящего в фигурных скобках, равна нулю, то согласно векторному анализу данный вектор явл»ется соленаидальным. Поэтому сумма дЕ/й+4я 1 всегда может быть выражена через ротор некоторого пока неизвестного вектора Х: получим: Н(г) = гя(г).
1~сй Щ СААР (3.10):: 1 = у'(г')ИЯ, 1 ( Ц(г') (г — г')~ с ./ )г — г'~з (3.12) Н(г) = -го~, (, сй". 1 1 1(г') с,/ ~г — г'~ Рнс. 3. Провсдник с током. 30 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ~ГЛ. 1 в). Закон Био - Савара - Лапласа В, результате ряда исследований Ж.Био, Ф.Савара, ',: П.Палласа и других ученых к 1820 г.
было установле- .' но, что напряженность магнитного поля, создаваемого в вакууме элементом постоянного тока И1 (см. рис. 3),: определяется выражением: где И. = г — г', а г = (х, у, з~ н г' = (х', р', а'~ — радиусы- векторы точки наблюдения и элемента тока сП, соответственно, с — электродинамическая постоянная, совпадающая со скоростью света в вакууме, которую в нашем курсе будем считать равной: с = 3 ° 101е см/сек. З 3) ФИЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 31 Интегрируя выражение (3.10) по всей линии тока 1, Учтем теперь, что ток в линейном провсднике (т.е. в про- воднике, длина которого значительно превышает мак- симальный линейный размер его поперечного сечения) можно представить в виде: Где 5 — сечение проводника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
