В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поместим ньчало координат прямоугольной декартовой системы отсчета в какую-либо точку источника (см. рис. 4). Обозначим в этой системе отсчета радиус- вектор точки наблюдения через г, а радиус-вектор центра некоторого текущего элемента объема интегрирования сЛ"' через г'. Вполне очевидно, что расстояние ~г'( от ~ 91 РАзложение ЛОтенЦиАлА пО мУльтиполЯм б1 начала отсчета до центра этого элемента в рассматриваемой нами системе координат никогда не превысит величины Х вЂ” максимального линейного размера области, занятой источником: ~г'~ < Х. Найдем приближенное выражение для потенциала (9.1) на достаточно больших (по сравнению с Х) расстояниях от источника: ~г~ >> Х.
Для этого нам прежде всего необходимо разложить величину 1/~г — г'~, стоящую под знаком интеграла (9.1), в бесконечный ряд по степеням Ф малого параметра г /г < Х,/г « 1. Как известно, любая функция Х(К), бесконечно дифференцируемая в некоторой окрестности точки К = г, может быть представлена в этой окрестности в виде степенного ряда: 1 1 2 /(К) = /(г)+ — ((К вЂ” г)т7) Лг)+ —, ((К-г)'%7) /(г)+.
Воспользовавшись этим разложением и полагая в нем В. = г — г', 5(К) = 1/~г — г'~, получим: Легко убедиться, что этот ряд представляет собой имен- У но разложение по степеням малого параметра г /г. Пействительно, так как операция дифференцирования функции 1/г по порядку величины эквивалентна умножению дифференцируемой функции на 1/г, то каждое действие оператора ,а ,а ,а (г8гас1) = х — + у — + г а* а9 а.
[ГЛ. П 1 (г'г) (г бгас1) — = — —, т ГЗ „(,) = /',Л'р(,) —,. Г с с (г'г) [Р1(г) =— (гс1) (9.7) где введено обозначение с[ = сЛс р(г )г' р(г ) = ~,с[,о(г' — г,). 62 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ по порядку величины соответствует умножению дифференцируемого выражения на Г /Г << 1. Поэтому фактически по сравнению с предыдущим членом этого ряда каждый последующий член ряда (9.2) содержит на еди! НИЦу большее 'числО малых СОМНОжн'гелей Г /Г. Псдставим теперь разложение (9.2) в выражение для потенциала (9.1). В результате оно примет вид: ср(г) = ~ д„(г), (9.3) с!=О ср„(г) = — сЛс'р(г')(г'бгес1)сс-.
(9.4) П[ Г Выражения (9.3) и (9.4) представляют собой мультипольное разложение скалярного потенциала для системы зарядов островного типа. Рассмотрим несколько первых слагаемых этого бесконечного ряда и выясним их физический смысл. При и = О из выражения (9.4) имеем: сре(г) = ~ сЛс р(г )- = —, с с 1 Ю где Я вЂ” полный заряд системы: с,с = сЛ с'р(г'). (9.5) Для.системы, состоящей из [1с точечных частиц, заряды которых 17„и радиусы-векторы г, заданы, можно запи- сать з 9] РАзложение ЛОтенциАПА пО мультипОлям 63 Поэтому выражение (9.6) для полного заряца системы примет вид: Ас Таким Образом, в нулевом приближении потенциал системы зарядов островного типа на больших расстояниях от нее совпадает с кулоновским потенциалом точечной частицы, имеющей заряд, равный полному заряду Я системы.
Учитывая, что следующий член ряда (9.3) можно записать в виде: Так как вектор г не зависит от переменных интегриро- вания, то его можно вынести из-под знака интеграла. В результате выражение для !рс(г) примет вид: 64 стАционАРные электРОмАРнитныв пОля !Гл. ц для вектора электрического дипольного момента системы зарядов. В научной литературе потенциал у1(г) получил название потенциала эле1еглрическоео диполя. В случае системы, состоящей из И точечных частиц, вектор электрического дипольного момента д в силу выражений (9.6) и (9.8) принимает вид: И ) чага ° (9 9) а=1 И, наконец, пццействовав оператором (г'%!) на функцию 1/Г два раза, будем иметь: (г йга!1) — = — (з'6гас1) — = — — + з 1, (г'г) Г' з 3(г'г)з Г ГЗ ГЗ ГЗ Пс!цставляя это соотношение в выражение (9.4), для по- тенциала' !рз(г) получим: Потенциал дз(г) и все последующие потенциалы ряда (9.3) принимают наиболее компактный вид, если использовать индексную форму записи векторов г и г', принятую в тензорном анализе.
При такой форме записи компоненты радиуса-вектора некоторой точки г представляют и вице я'" = .(х1, хз, яз), неявно предполагая, что индекс, обозначенный любой греческой буквой ( О, Д, р и т.п.), может принимать три значения: 1, 2, 3. В декартовых координатах обычно полагают х1 = г„гз = р, гз = 3 з~ РАзложннив потннциалА по мультиполям 65 Совершенно аналогично и любой трехмерный вектор А МОЖНО ЗаПИСатъ В ВИДЕ Аа = (А1, АЗ, АЗ), ПРИЧЕМ В дЕ- картовых координатах его компоненты будут иметь следующий смысл: А = А,„Аз = А„, А = А,.
Необхс!цимо отметить, что наряду с вектором А'", индекс у которого расположен вверху (контравариантный индекс), мы можем использовать и вектор А, индекс у которого расположен внизу (ковариантный индекс). В общем случае компоненты этих двух векторов не совпала; ют: А ~6 А1, А~ ф Аз, А ф: Аз. Однако, в применении к нашей задаче такая степень общности является излишней, поэтому вплоть до 3 31, где будут введены более строгие представления о тензорах, условимся не делать различия между контразариантными и ковариантными индексами у всех тензорных величин: А = А, г!! = яя. Для того, чтобы зто соглашение не приводило к каким- либо ошибкам, компоненты всех трехмерных тензоров необходимо записывать только в декартовых координатах.
Индексная форма записи и принятое соглашение позволяют представить скалярное произведение двух векторов А и В несколькими эквивалентными способами: з з з з (АВ) = ~~! А В, = ~~),АаВа = ,'! А„В = ",) А В". Лля упрощения записи пс!лобных выражений, в тензорном анализе обычно широко используется правило суммирования Эйнштейна: по индексам, обозначенным с!цной и той же буквой и стоян!ими с!цин вверху, а другой внизу, предполагается суммирование по всей совокупности принимаемых данными индексами значений.
В соответствии с этим правилом скалярное произведение векторов А и В з з А = А ~ Бар = А11 + А22 + Азз Ам А12 Азз А21 А22 А23 ~21 Азз Азз А Р= (9.11) Ввоця обозначение )' 1, если а = р', 1 О, если о ф ~3. х х.0ар 2гз (9 14) 66 стАциОнАРные электгомАГнитные пОля может быть записано без использования знака суммирования: (Ав) = А"В„= А„В'". Слелующим по сложности геометрическим объектом, ко- торый нам потребуется, является тензор второго ранга:: — тензор, имекяций два индекса А Р. Примерами таких .': тензоров служат, например, тензор инерции тел в меха- нике абсолютно твердого тела, тензор скоростей дефор-:, маций в механике сплошных сред и ряд других тензоров.
Так как индексы с~ и р у тензора второго ранга АаР мо-:.' гут принимать независимо друг от друга значения 1, 2,: 3, то в общем случае данный тензор имеет девять не-,'. зависимых компонент и его можно представить в виде: матрицы, строки которой нумеруются первым индексом, =, а столбцы — вторым индексом: Важным частным случаем тензора второго ранга явля-,';. ется символ Кронекера Б„р, который имеет вид: Тензор Кронекера Бар позволяет представить скалярное -: произведение двух векторов А и В еще и в виде: з 9~ РАзложение пО'ГенциАлА пО мУлътипОлЯм 67 Кроме того, с помощью тензора Бар обычно определяется и след любого тензора АаР второго ранга: А = с-РА„р = 5~рА~Р =,'~ ~ б~рА~Р.
Из соотношений (9.11) и (9.12) следует, что след тензо- ра А"Р в декартовых координатах является суммой его диагональных компонент: Используя тензорную форму записи, представим входящее в выражение (9.10) скалярное произведение векторов г и г' в виде: 1 Ф (г'г) =х ха, г =Барх~хр, (г'г)' =х х хрхр. Подставляя эти соотношения в выражение (9.10), полу- чим: а <рз(г) = — / <й"'р(г') ~Зх' хр — г'~К,р1. 2гз / Х), р = Сй"'р(Г')(ЗХаХН вЂ” Г бар) (9 1З) для тензора электрического квадрупольного момента си- стемы, выражение (9.10) мы можем записать в достаточ- но компактном виде: 68 стАпиОКАРные элекТРОмАгнитные пОля ]ГЛ. П Потенциал >рз(г) в научной литературе получил название: потенаиала эаептрического кеадруполя.
В случае системы, состоящей из Ф точечных частиц, тензор электрического квадрупольного момента Р,„р в; силу выражений (9.6) и (9.13) принимает вид: ~ 1О] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЛИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ И ЕГО ПОЛЕ 69 Тогда при Я ф О и 11 ф О >р1(г) рз(г) — — — «1, >ро(г) >р!(г) А> Р,„р = ~ де(3х„х, — Б„рг(,]~. (») (е) з »=1 Из выражений (9.7) и (9.14) следует, что на боль-:,, ших расстояниях от системы зарядов (г -+ ОО) потенциал," электрического квадруполя >рз(г) убывает быстрее, чем:. потенциал электрического диполя у!(г)> а тот, в свою . очередь, убывает быстрее потенциала кулоновского поляЧо(г): 1 1 1 ро(г) >р1(г) э>2(г) г г~ гз' ,Пля сравнения потенциалов >ро(г), у!(г) и >рз(г) по по-:.
рядку величины учтем, что ](гс1)~ г]сЦ, ~]х х Р„р~ г шах Р„р. Оценки величин ]с1] и шах .Р,„р можно получить из вы- раженвй (9.8) и (9.13): Щ = ~ е("'г'р(г')~ < Ц й/'р(г')~ ф~1,, шах .Р,„р = шах ЙЪ" р(г')]3х>„х' — гл5 рД ф~уз. Таким образом, определяющий вклад в потенциал (9.3) системы зарядов в общем случае дает кулоновский потенциал !ро(г) = Я(г. Физический смысл этого утверждения достаточно очевиден: на больших расстояниях от системы детали распределения зарядов оказываются мало существенными и в начальном приближении всю систему можно рассматривать как точечный заряд Д = ] е(]' >р(г'), помещенный в начало координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
