В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Учитывая, что Ь ~р = |1|Г 8Гас) рр, найдем сначала 8ГаГ) |р: 1дрМ а~а р = /(р| ',Я|р,хааа — р — — ар а Я)ар'. В Лд5дВ Взяв дивергенцию от этого выражения и добавив вторые производные по времени, получим: ар= ) (р|~Я|р,Я))а — а — )2 — (а аЯа а — )р 1 др до 1 (18.5) 103 102 зАНАзяыБАюшие потенциАлы [гл. ш элвктРОмАгнитные Волны 8га»1 В = (г — г') $г — гр( ' 1 (г — г') 8. а — =- д2Я 1 д2Я вЂ” — — — =О дВ2 с2 д»2 (18.8) (18.7) 5(Х,О) = $. 1д'Я . 1Ы 1 д'Я Используя вспомогательные формулы 2 1 АъВ = йч игам В = —,, Ь вЂ” = — 4яБ(г — г'), (г — г'1' В выражение (18.5) приведем к виду: :. ар ~( — »~( — '«')р(р;я(«,ж))»- Интегрируя первое слагаемое в зтом выражении и под- .' ставляя полученное соотношение в левую часть первого ' уравнения системы (18.1), будем иметь: (18.6) -4яр(г, 5(2, О)) = — 4яр(г, 8).
Проанализируем зто равенство. Отметим прежде всего, что для 'совпадения внеинтегральных членов необхсдимо потребовать выполнения условия Тогда соотношение (18.6) примет вид: Так как это равенство должно выполняться для всех систем зарядов и при произвольном соотношении между величиной произвсщных др~д5 и д~р~д5~, то в силу основной леммы вариационного исчисления выражения в квадратных скобках должны тождественно обращаться в нуль: Из курса математической физики известно, что первое уравнение системы (18.8) прр~ставляет собой волновое уравнение, решение которого имеет вид: Я(~, В) = Д ~2 — — ) + Уф+ — ), (18.О) В В где ~~ и ~р — произвольные функции своих аргументов: функция ~2 зависит от 2 — В/с, а функция 62 — от 2+ В/с.
Функция ~2(1 — В/с) при 2 > О описывает сферическую волну, распространяющуюся из точки г' в направлении пространственной бесконечности (расхсдящеяся сферическая волна)«а функция ~2(«+ В/с) при «С О 104 105 элехтгомАгнитные ВОлны (гл. ш . ЗАЛАзлыеАюшие потенцнАлы сферическую волну, распространяющуюся из простран-: ственной бесконечности в точку г' (сходящаяся сфериче- ская волна). Подставляя выражение (18.9) во второе уравнение ' системы (18.8), получим: -~/$- — )Д(1+ — ) =О, 4, В,' В где штрих обозначает произвсе(ную по аргументу функ- !' Из этого уравнения следует, что возможны два слу- -:, чая: Д(Ф вЂ” В/с) ~ О, /зР(1+ В/с) = 0 и /1(С вЂ” В/с) = О, Я$+В/с) ф О.
Рассмотрим первый из них. В этом случае функция:,' /1(е — В/с) может быть произвольной функцией своего "-. аргумента, а функция Я1 + В/с) обязана быть равной ';", некоторой константе Со. Тогда функция 5(Ф, В) примет:: вид: . В Я(1, В) = /1 (Ф вЂ” — ) + Со. (18 10) " Из условия (18.7) и выражения (18.10) следует, что ! /( ф = Ф вЂ” Со при В = О. Поэтому при В ф 0 В В .(1(~ — — ) = ~ — — — Со.
с с В результате из выражения (18.10) имеем: фВ) =~- —. В (18.11) , В этом случае частное решение несднорсдного уравнения;, (18.1) в силу соотношений (18.3) и (18.11) принимает вид: .'-' еВ" ! — '~ р(рД = /, р(~',р — — ). (18.12( ° Совершенно аналогично можно убедиться, что в случае Л (Ф вЂ” В/с) = О, Я (Ф + В/с) ф 0 приходим к выраже- Таким Образом„исходному уравнению (18.1) удовлетворяют два различных частных решения (18.12) и (18.13). Исследуем эти решения.
Отметим прежде всего, что при "выключении" зависимости р от времени оба выражения (18.12) и (18.13) переходят в выражение (8.10) для потенциала статического поля. Палее, из выражения (18.12) следует, что скалярный потенциал в точке наблюдения с радиусом-вектором г и в момент времени 'Ф определяется распределением заряда, взятым в предшествующий момент времени т 1 — (г — г(~/с < 1. Поэтому выражение (18.12) в научной литературе получило название зат(аздыеающеео потенкиар(а, а величина ~г — г'(/с, равная времени распространения электромагнитного сигнала от элемента объема (Пр' (см. рис.
4) до точки наблюдения, называется временем запаздывания. Это решение удовлетворяет принципу причинности, поскольку здесь причина (наличие нестацнонарных зарядов в какой-либо точке) всегда предшествует следствию — появлению электромагнитного излучения в других точках. Рассмотрим теперь выражение (18.13). Из этого выражения следует, что скалярный потенциал в точке наблюдения с радиусом вектором г и в момент времени 1 определяется распределением заряда, взятым в последу- тощий момент времени т = $+ )г — г')/с ) Ф.
Поэтому выражение (18. 13) в научной литературе получило название 107 ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНПИАЛЫ [гл. щ элехтРОМАГнитные ВОлны опережающего потенциала, а величина ~г — г~~/с, равная:,: времени распространения электромагнитного сигнала от:: элемента объема ~П~' до точки наблюдения, называется:: временем опережения. Это решение не удовлетворяет::. принципу причинности, поскольку здесь следствие (по- ':, явление электромагнитного излучения) опережает при- ' чину (наличие нестационарных зарядов в какой-либо точ- ." ке).
Опережающие потенциалы иногда используются в-:; квантовой теории поля. В нашем курсе классической (неквантовой) электро- '.' динамики мы будем считать, что принцип причинности:. является фундаментальным физическим принципом, по- ' этому в задачах об излучении электромагнитных волн';- нестационарными системами зарядов и токов в качестве ';: частных решений неоднорсдных уравнений (18 1) будем", использовать только запаздывающие потенциалы: / у~~,Ц /, р( ',Ю вЂ” ), (18.!4) ~ А(г, $) = — ~,,1 ~г', Ф вЂ” — ) .
с„/ ~г — г~ с Прямым вычислением несложно убедиться, что запазды-:; вающие потенциалы (18.14) удовлетворяют условию Ло-,',, ренца. (7.7). Запаздывающие потенциалы находят широкое при-:;: менение при решении задач на определение электромаг-':;:. нитного излучения, создаваемого островными системами '. с заданным распределением плотностей заряда р = р(г, 1)::: и тока ) =,1(г,$) . В заключение этого параграфа обсудим важный вопрос об уравнении фронта электромагнитной волны в.:. электрсдинамике Максвелла.
Рассмотрим некоторую покоящуюся систему зарядов. Поле такой системы является статическим во всем пространстве. Предположим теперь, что в некоторый момент времени 1 = 1О заряды пришли в неинерциальное движение и система начала излучать электромагнитные волны. 'Гак как в электродинамике Максвелла, как мы видели, излучение распространяется с конечной скоростью, то все пространство будет разделено на две области некоторой зависящей от времени поверхностью, такой что впереди нее все компоненты поля излучения будут равны нуюпо, а позади нее могут быть отличны от нуля. Поэтому на самой поверхности компоненты поля будут терпеть разрыв. Эту поверхность в научной литературе и называют фронтом волны, а дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет, — уравнением фронта волны.
Как показывает более детальный анэлиз, уравнением фронта волны является второе уравнение системы (18.8), которое в научной литературе иногда называют уравнением эйконала или даже уравнением Гамильтона — Якоби. В простейшем случае излучения зарядами, солержащимися в элементе объема ОР' и находящимися в точке г', фронтом волны, как мы видели, является сфера радиус которой линейно возрастает с течением времени: В общем же случае фронт волны в результате сложения вкладов от различных частей излучающей системы мо- жет иметь более сложную форму. 108 199 Я 19) ПОТЕНЦИАЛЫ ЛИЕНАРА - ВИХЕРТА электРОмАВнигные Волны ~ГЛ.
!11 В результате будем иметь: (19.1) таким обрамм, фронт волны представляет собой движущуюся в пространстве поверхность, координаты которой связаны со вреаеенем некоторой зависимостью Я(1, В), удовлетворяющей уравнениям (18.8). 9 19. Потенциалы Лиенара - Вихерта Одним из немногнх примеров точных решений урав-: нений Максвелла, получаемых с помощью запаздывающих потенциалов, являются потенциалы произвольно движущейся заряженной частицы. В научной литературе это решение получило название потенциалов Лиенара . - Вихерта.
Предположим, что точечная частица, имеющая за.- ряд е, движется по некоторому заданному закону г =;-' = гс(г). скорость этой частицы Ре($) = Ого/ей, естествен-: но, будем предполагать меньшей скорости света в ваку-: уме: )РВ) ( с. Определим потенциалы и напряженности электромагнитного поля, создаваемого данной частицей. Лля этого воспользуемся выражениями (18.14), сделав в них замены: Т / Р(г1~ — ) = ~(~Р(г)~)с(г-1 — — ), Яг,Ф- — ) = ~ Щ(г',~')б(~-~' — — ), с с , У... 6(1-~'-"'7-') <р(г,1) Н ей р(г 1 ) 1 Г, Г ....
Б(~-1' — 1'-;"-() А(г,й) = — / ец' / Й'5(г )Х ) Используя трехмерную дельта-функцию Дирака, плотно- сти заряда и тока рассматриваемой частицы можно за- писать в виде: р(г,т) = ео(г- го(~)), (19.2) Яг, «) = рз'о(1) = стефа(г — го(~)). Подставляя выражения (19.2) в соотношения (19.1), по- лучим: р(~,1) = У ~ й'6(~' — го(Х')) 6(К вЂ” Ю' — ), ,/ ~г — г'~,/ с А(г,~) = — / ей'/ 6(г' — го(1'))6(1 — ~' — ). с,/ / ~г — г'~ с Учитывая, что ей" = дх'др'еЬ', проинтегрируем эти выражения по объему источника. Используя свойства (1.22) трехмерной дельта-функции Пирака, в результате будем [гл. ш элвктгомкгнитные ВОлны ~ 2Щ физические ксловия пгимвнимости 111 иметь: в рассматриваемом нами случае можно воспользоваться известным свойством дельта-функции Йирака: ~р(г,1) = е, Б~Ф вЂ” Ф'— й" т, ~г — го(~')! з ~г — го(г') ~ ~ с А~~Ц = — у «,(~ )6~1-$'- е Г й'., т, ~г — го(1т) ~ з с / (г — го(т')( с (19.З) Аргумент дельта-функции, входящей в эти выражения, .': в общем случае произвольного закона движения частицы .' приставляет собой некоторую довольно сложную функ- .,' цию от переменной интегрирования ~и: )г — го(М') ~ с Исследуем свойства этой функции, считая г и Ф фиксиро-:-„ ванными величинами Пля этого сначала продифферен-,, цируем функцию Р(Ф') по 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
