В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В '' результате будем иметь: 2 Х = —. 3" ' Сравнивая это выражение с выражением (21.8), видим, что они полностью аналогичны и отличаются только векторами дипольных моментов. Так как отношение модуля вектора магнитного дипольного момента к мсдулю Вектора электрического дипольного момента по порядку величины равно и/с « 1, то интенсивность магнитного дипольного излучения, как правило, меньше интенсивности электрического дипольного излучения. 3 23.
Электрическое квадрупольное излучение Проведенный в предыдущих параграфах анализ показал, что существуют системы, которые не излучают ни В электрическом, ни в магнитном дипольных приближениях. Поэтому низшим ненулевым приближением является электрическое квадрупольное излучение, к изучению которого мы и приступаем. Потенциалы электромагнитного поля в этом приближении, как следует из выражений (20.13) и (20.19), зависят от вторых производных по запаздыва|ощему времени т от компонент тензора электрического квэдрупольного момента: Проведем калибровочное преобразование (6.3) потенциа- лов (23.1) с калибровочной функцией 138 В Р(т)п пэ у(г,Ф) = бс г [п[П и]) бсзт (23.6) [П и) без г (23.4 (О) =.О ~зла О~ =В ~ляй „п", элккткомАгнитнык волны ~гл. щ ,Подставляя выражение (23.2) в соотношения (6.3) и оста;.'." вляя после дифференцирования только волновые слагае4,; мыс, получим: Так как при исследовании полей излучения вектор и дифференцируется, то эти тензорные соотношения обы ~ но переписывают в трехмерном векторном виде, вв вспомогательный вектор О, компоненты которого соста'.' клены из тензора В"~ и вектора пр = (и) по правилу.*':.-,, у тыкая, что (Пп) = Х) ~зп пФ выражения (23.3) мои(.' на переписать в формально векторном виде= Следует особо подчеркнуть, что в отличие, скажем, вектора Й, вектор Ю определяется не только свойст ми излучаю1цей системы (в силу зависимости от те ,0'"Р),.но и расположением точки наблюдения (в силу висимости от вектора пя).
Поэтому при интегриров по телесному углу выражений, включающих вектор его нелвзя, например, выносить за знак интеграла. з 23) элкктгичкскок кялдк~польнок излучкник 139 Найдем теперь напряженности полей Е и Н электрического квадрупольного излучения. Дифференцируя выражения (23.5), получим: Сравнивая выражения (21.3) и (23.6), видим, что формально они аналогичны, если не обращать внимания на различия в коэффициентах и в числе произвсдных.
В силу этой аналогии очевидно, что векторы Е, Н и и взаимно ортогональны и образуют правую тройку. Также легко убедиться, что векторы Е и Н сферической волны (23.6) равны по мсдулю. Однако, выражения (23.6) дают более сложное распределение энергии излучения в пространстве, чем электрическое дипольное приближение. Для того, чтобы в этом убедиться, подставим первое из выражений (23.6) в соотношение (21.5). Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая, что Я = б (О пФ~ ~ха~' "О лсЛф1-~рип и ~. (23.7) Нй 144ясб Для получения полной интенсивности излучения системы в электрическом квадрупольном приближении нам 14О ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [гл. ш Р ЯРоБри =.Р ~~ад~ Р"РР""3 „5р„=Р"ЯР в, (24.1) ссс — = (Р~), сй н еобходимо проинтегрировать равенство (23.
7) по телесному углу. Воспользовавшись формулами (1.18) 4п НЙ п~пдп„п„= — ~А„РБР„+ 6,„бз„+ Б „БД,1, 15 4х Нйа ад= — 8„р, а также учитывал, что получим: Роф 1= (23,8) Анализируя это выражение, следует отметить, по край- ней мере, три обстоятельства. Во-первых, предполагал, что по порядку величины выполняется соотношение Р'"Я ° ызР"д, легко заме- тить, что интенсивность электрического квадрупольного ".: излучения, в отличие от интенсивности электрического и ".. магнитного дипольных излучений, оказывается пропор- циональной шестой степени частоты, с Во-вторых, как показывает детальный анализ, элек- трическое квадрупольное излучение имеется практиче- ски у любой излучающей системы, в результате чего по- иск таких физических ситуаций, при реализации кото- рых система не излучает в электрическом кввдрупольном:...;: приближении, представляет собой непростую задачу, СИЛА РАХЗИАНИОННОГО ТРЕНИЯ 141 И, наконец, третц ей характерной чертой электрического кввдрупольно-го приближения является то, что частота излучаемых в1олн в большинстве случаев равна удвоенной частоте элежтрического дипольного излучения этой же системы (еслзи оно есть).
3 24. Сила рзадиационного трения в нерелятинвнстском приближении Как известно, в ьиеханике Ньютона уравнения движения заряженной часзгицы под действием внешней силы г', как и любой матерзиальной точки, имеют вид: где р = тз — импульс частицы, а с = тииз/2 — ее кинетическая энергия. Согласно этим уразвнениям при наличии внешней силы частица должна дв-игаться неинерцивльно.
Однако, любая заряженная част ица, движущаяся неинерциально, в силу уравнений Мыссвелла излучает электромагнитные волны, в результате чего она должна постоянно терять свою энергию. П.отеря энергии частицей, очевидно, должна сопровожда-ться и потерей импульса, так как уходящие электромагнзптные волны обладают не только энергией, но и импульссем. Уравнения же (24.1) это обстоятельство не учитываю т. Поэтому для согласования механики Ньютона с элек:трсаннвмикой Максвелла в этом вопросе в правые части' уравнений (24.1) необходимо добавить слагаемые, котсерые должны отражать обратное СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ 143 [ГЛ. Н! 142 электРомлгнитные ВОлны влияние создаваемого электромагнитного излучения на,'. частицу, уменьшающее ее энергию и импульс: !1 р-Р+Р Й (24.2) .! — Е =(Ру) + (Р ич).
!1 й Сила Р„„л, стоящая в этих уравнениях, в соответствии ., с придвваемым ей смыслом, в научной литературе по- ', лучила назваиие силы радиационного трения или силы.'.. лучистого трении. Таким образом, для реализации этой идеи нам остается найти явное выражение для силы Р„л в виде функ-:'! ции от кинематических и, возможно, иных характери-:"-.
стих излучающей частицы. Однако, последовательное ' решение этой задачи оказалось невозможным. Действи- ' тельно, для правильного описания потерь энергии части- ', цей на излучение произведение (Р~аи~), равное работе'; сил радиационного трения, совершаемой в единицу вре-, мени, в соответствии с его физическим смыслом нам не-.'- обходимо приравнять полной интенсивности излучения: частицы, взятой с обратным знаком: (Р..л~!) = -Х. (24.3):," После этого, рассматривая данное соотношение как урав-:,-.. нение относительно силы Р„,и, следует определить ее яв-, А ный вид. Но интенсивность излучения заряженной ча;!, стицы даже в низшем электрическом дипольном прибш~--;:, женин не содержит зависимости от скорости частицы, а:'-.
определяется квадратом ее ускорения: Х= — а~= — г. 2!Х г 2д Ря (24.41'' 3сз 3сз Отсюда непосредственно следует. что при произвольном законе движения заряженной частицы уравнение (24.3) не может быть решено. Обсуждение этага обстоятельства и поиск наиболее приемлемого с физической тачки зрения выражения для силы Р,„л явнлнсь предметом ~ног~~~с~~~~~х исследований, не утративших своего значения и в наше время. Одно из первых предложений по решению этой проблемы было высказано еще Лоренцем в 1892 г. Его смысл состоял в следующем. Так как соотношение (24.3) не позволяет в обшем случае найти явное и строгое выражение для силы радиационного трения, то вместо него нам необходимо сконструировать некоторое приближенное выражение, которое можно было бы использовать хотя бы в ряде важнейших частных случаев, например, при квазипериадическом движении.
11ля этого, вместо условия (24.3), обеспечивающего равенство (Р„,л'ь') и -Х е каждый момент времени, потребуем, чтобы это соотношение выполнялось е среднем за некоторый характерный для рассматриваемого движения промежуток времени. Таким образом, предположим, что заряженная частица под действием внешних сил совершает квазипериадическое движение, при котором ее скорость и ускорение через определенный промежуток времени принимают исходные значения. Обозначая два последовательных промежутка времени, в которые частица возвращается в исходное состояние, через 1! и $г, будем иметь: 'Р(1!) = Р([г), а($!) = а(1г), (24.3) Очевидно, что такое движение может быть осуществлена, если внешняя сила за рассматриваемый период полно- электРОмАгнитные волны силА РАННАционного ТРения [ГЛ.
1Н 292 г тг=г+ —, Зс' ' (24.9) 292(чг ) зсз 242 Ыа Щ ~«аН = зсз «й . Зсз (24,8) стью компенсирует потери энергии и импульса частицей::,.: на излучение. Потребуем теперь, чтобы соотношение (24.3) выпол-': нялось в среднем за периад: «2 «2 (г«2«««'У)«2« = — 1«««. (24.6) '„.
11 Подставляя в правую часть этого соотношения выраже-!1 ние (24.4), проведем в нем тождественные преобразова-',, ния, учитывая, что Й«И «[а а = а — = — (а'Р) -~« —. Й «Й Й' В результате будем иметь: 12 | 2 1Й = — (ач) — — ~м — )Й. (24.7) [ з., з" ~а) ' Легко убедиться, что в силу условий (24.5) внеинтеграль- ,':;:- ный член в этом выражении равен нулю и соотношение:!,-. (24.6) принимает вид: 1 «2 Я,«'~)ю~ = — / ~ъ — )й. «1 «1 Сравнивая сомножители, стоящие при векторе ъ в этом соотношении, можно утверждать, что для его выполнения достаточно положить Таким образом, в случае квазипериодического движения частицы воздействие на нее силы (24.8) в среднем за перисд прив«щит к тем же самым потерям, что и на излучение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
