В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следует отметить, что при ином законе движения частицы такое соответствие из-за неравенства нулю внеинтегрального члена в соотношении (24.7) уже не выполняется. Однако, из-за отсутствия другого, более последовательного описания реакции излучения, выражение (24.8) приходится использовать в качестве силы радиационного трения и при отсутствии квазипериодичности в движении частицы. С учетом этого выражения уравнения движения нерелятивистских («1 < < с) заряженных частиц во внешнем поле следует записать в виде: Характеризуя эти уравнения с математической точки зрения, следует отметить, что они представляют собой систему из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трех координат частицы.
Как и в механике Ньютона, можно показать, что четвертое уравнение системы (24.9) — уравнение для знергии— является следствием трех первых уравнений и поэтому может быть опушено. Важнейшим отличием уравнений системы (24.9) от уравнений механики Ньютона является их порядок: они представляют собой систему уравнений не второго, а третьего порядка.
Согласно общей теории обыкновенных 146 электРОмАГнитные Волны [ГЛ. Ш, 2дгг тг = —. 3сз (24.10). Общее решение этого однородного уравнения будем, как:;. обычно, искать в виде: дифференциальных уравнений для получения единствен-': ного решения этих уравнений необходимо задавать не; шесть начальных условий, как в механике Ньютона, а::. девять, например, значения координат, скорости и уско-,:„ рения частицы в некоторый начальный момент времени.::.'. Последнее обстоятельство оказалось (в определенной:; степени) в противоречии с существовавшими в ньюто-,:;: новской механике представлениями о детерминизме, со-':: гласно которым ускорение частицы в любой момент вре-,':,' мени должно определяться ее положением и скоростью,-, взятыми в тот же момент времени, Как следствие на-,.; рушения этого условия, уравнения (24.9) при неудачном.":, выборе начальных условий (в основном, для начального"'.: ускорении) в ряде случаев приводят к физически абсурд-:-' ным предсказаниям.
Особенно ярко это можно увидеть в том случае, ко-:; гда на заряженную частицу не действуют внешние силы. ';. Уравнения (24.9) в этом случае принимают вид: силА РАлиАционного твения 147 Пля получения нетривиальных (г ф О) решений этого уравнения необходимо потребовать, чтобы выполнялось равенство: а т за — 0 Отсюда следует, что параметр а может принимать три значения: '""3 ад =О, аг = О, аз = —, 2я Поэтому общее решение уравнения (24,10) будет иметь вид: Зтсзг1 г = Кз + чзэс + Кг ехр ~— ~ 27г Согласно этому соотношению, если частица в момент времени з = О имела начальное ускорение а(0) = ае (например, выходила из области действия внешних сил и далее на нее внешние силы не действовали), то при 1 > 0 она будет двигаться по следующему закону: г = Во — ( — ) а + (ч — — во)1~ 2,г г 2я Н аФ Подставляя это выражение в уравнение (24,10), будем::,',.
иметь". гГ 29г аг ~т — — а)г = О, З з где Во и че - положение и скорость частицы при 1 = О, Таким образом, мы приходим к физически неприемлемому результату. "после прекращения действия внешней силы любая заряженная частица согласно уравнениям (24.10) должна ускоряться по экспоненциальному закону, причем показатель экспоненты очень велик (для ~гл. ш;: 148 элвктРомАгнитныв ВОлны — « 1.
Я М тсз (24,11) ':;, 7!» 1Р-~! А » го. (24.12) 22г 22 Р„а= — в — Г: 8сз 8„зсз электронов тсз~д2 и 102з сек 1, а для других заряженных частиц еще больше). Как показывает более детальный анализ, существу-,'.; ет несколько путей, позволяющих избежать получение ",:' таких физически абсурдных результатов. Один из них:-,:. предполагает, что выражение (24.8) для силы радиационного трения может быть использовано лишь в том слу- ' чае, когда внешняя сила Г, действующая на нереляти-:" вистскую частицу, значительно больше силы Р„~. В этом случае силу Р,„~ можно рассматривать как ма лую добавку к внешней силе и учитывать ее по методу:::, последовательных приближений.
Если же условие (24.11)::",: не выполняется, то должны использоваться более слож-::.'.. ные методы решения задачи о движении заряженной ча-::: стицы с учетом потерь энергии и импульса на излучение.,:,' Выясним, какие ограничения накладывает условие:::. (24.П). Для этого, считая, что условие (24.11) выполня- '':,' ется, ускорение частицы мы можем представить в следу- '„:;,'-' ющем приближенном виде: Подставляя это соотношение в выражение (24.8), полу- чим: Полагая, что по порядку величины ~Р~ ж ц~Щ, где ~— ~ 251 РАссвянив элвктгомАгиитной волны 149 характерная частота излучения, из условия (24,11) и со- отношения (24.12) будем иметь: Используя обозначение гс = дз/(тпсз) и переходя от ча- стоты излучения к длине волны А = 2тс/м, это неравен- ство мы можем записать в виде: Так как для заряженных частиц го < 10 12 см, то условие (24.11) применимости метода последовательных приближений в случае частиц, движущихся со скоростью значительно меньшей скорости света в вакууме, оказывается выполненным для широкого диапазона электромагнитного излучения, вплоть до жестких рентгеновских лучей, где вступают в действие квантовые закономерности и классическая электродинамика оказывается неприменимой, Тем не менее, при решении задач с участием силы радиационного трения (24.8) всегда необходимо проверять выполнение условия (24.11) и, по возможности, освобождаться в выражении (24.8) от трех производных по времени с помощью приближенного соотношения (24.12).
2 25. Рассеяние электромагнитной волны на изотропном гармоническом осцилляторе При падении внешней электромагнитной волны на систему зарюкенных частиц они в результате действия З 25] глсоелние элвнтГОмАГНИтной ВОЛНЫ 151 15б [гл. ш электгомАГнитяые Волны силы Лоренца приходят в движение.
Это движение, есте- .-,' ственно, сопровождается излучением частицами вторич- .:„-' ных электромагнитных волн. Этот процесс в научной ли-;: тературе получил название рассеяния электпромагнити- хоб Волмы на системе заряженных частиц, Для изучения характерных особенностей этого про- -:, цессь рассмотрим рассеяние плоской линейно поляризо- ":;. ванной электромагнитной волны на одном заряде, входя-:: щем в состав изотропного гармонического осциллятора с собственной частотой мо. Найдем закон движения это- го заряда под действием линейно поляризованной элек- тромагнитной волны.
Напряженности электрического и -'-:, мьгнитного полей падающей волны в рассматриваемом -;, случае можно записать в виде: Е = Ео сов ~сА — (1сК)1, (25.1) ': Н = Но соя ~со2 — (1сК)1, где вещественные векторы Ер, Но и 1с взаимно перпен-::" дикулярны и удовлетворяют соотношениям: [Ео[ = [Но[, [Ц = м/с. Считая, что скорость заряда во все моменты времени значительно меньше скорости света в вакууме, запишем уравнение его движения с учетом силы радиационного трения". 2езК г К+г ~о(К вЂ” Ко) = — з+ (25.2) где л2 — мьссь частицы, Ко — радиус-вектор положения равновесия осциллятора, К вЂ” радиус-вектор заряженной частицы.
Вводя вектор смещения частицы. относительно положения равновесия г = К вЂ” Ко, уравнение движения (25,2) мы можем записать в более удобной для наших целей форме: пзбг+ тавот = с~ Ео + -[ГНо) ~ х с 2езг х сов ~~Л (Хсг) (1сКо)~ + Для дальнейшего упрощения этого уравнения учтем, что в изотропном гармоническом осцилляторе возвращающая сила по модулю должна превосходить остальные силы, так как в противном случае осциллятор был бы разрушен, Поэтому приближенно можно считать, что г ~ — мозг.
Используя это соотношение, понизим порядок производных В силе радиационного трения (в соответствии с рекомендациями формулы (24.12)): г — ш г. 2 о . Уравнение движения частицы в этом случае примет вид: е( 1. 'г+ уг+ мог = — ~Ее+ -[гИо] х т ( с х соз ~м1 — (1сг) — (кКВ)1, (25.3) где у = 2ез~оф(Зглсз) = 2ыозго/(Зс) > О. Таким образом, мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Решение ее в приведенном виде встречает определенные математические трудности. Поэтому рассмотрим условия, ]ГЛ. Ш электРомАГнитные ЕОлны 'г+ ]г+ маг = 0 2 аС г= гее (25,5) Г,Ы„ = Г]Е ' + Г2Е а11 а21 , при которых зто векторное уравнение может быть линеаризовано и выясним их физический смысл. Учтем сначала, что у нерелятивистской заряженной:: частицы скорость движения мала по сравнению со ско-:; ростью света: В « с.
Так как ]Ее~ = ]Не~, то это до-: пущение позволяет пренебречь магнитной частью силы .'; Лоренца по сравнению с ее электрической частью: 2] [-[гНй - -~Н ! « ~ЕВ~. с с И, наконец, для окончательной линеаризации уравнения;. (25.3) необходимо исключить зависимость фазы электромагнитной волны от скалярного произведения (1сг). Учи- -.' тывая соотношение ы = 22ГГ/А, мы можем залисать: 22ГГ фг)]' ]ст = —. А ' Из этого соотношения следует, что величина (]сг) мала лишь в том случае, когда длина волны падающего излу-:: чения значительно больше величины смещения заряжен- Ф ной частицы от положения равновесия.
Полагая, что и это условие выполняется 2], уравнение движения (25,3) в начальном приближении по указанным малым параметрам принимает вид: г+ ~г+ ме~г = — соз [м2 — Дсйо)~. [25.4) В случае атомов, например, максимальная величина смещения зарядов по порядку величины совпадает с размером первой боровской орбиты Г ° 10 зсм, поэтому условие Г « Л достаточно хорошо выполняется для .: всего диапозона электромагнитного излучения вплоть до рентгеновского. 3 25] РАссеяние электРОмАГнитнОй ВОлны 153 Решение этого линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами не представляет особого труда. Согласно теории, его общее решение равно сумме общего решения соответствующего оцнорсцного уравнения и любого частного решения неоднородного.
Решение однородного уравнения будем, как обычно, искать в виде: где а - неизвестный параметр. Подставляя это выражение в однородное уравнение, получим: [о2 ] о-~+ ~,р2]г — 0 Для того, чтобы это уравнение имело нетривиальные ре- шения (г ~ О), необходимо, чтобы выражение в квадрат- ных скобках равнялось нулю. Отсюда следует, что пара- метр а может принимать два значения: Так как обычно ]2 « ме2, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид: ИГЛ.
1Н злектРОмАГнитные ЕОлны еЕо сов [о12 — (1сйо) + Ф1 [( 2 >2)2 + а12 ~2)1/2 где г1 и гг — произвольные. постоянные векторы. Пля нахождения частного решения неоднородно-: го уравнения (25.4) удобно воспользоваться его линей- ' ностью и перейти к комплексной форме записи: г+ 'уг + 1оог = — ехр [ — 1[а12 — (усц )1 ), еЕо предполагая в окончательном результате взять только:::: вещественную часть от решения этого уравнения. Под- ставляя вектор г в виде г„, = гз ехр ( — 1[о1~ — (1сво)Ц, сведем данное дифференциальное уравнение к алгебраи-:,' ческому: еЕо [~4о — а1 — 1ы у!гз = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
