В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Чтобы в этом убедиться, запишем уравнения Ньютона в некоторой инерцивльной системе отсчета для системы, состоящей из двух взаимодействующих материальных точек: и Г| УП1 = (Г1 Гз) ~(~Г1 Г2~)~ птз (2б.1) с(згз тз — — — (г — г1)У(~à — гз!), йз где г1 и г2 — радиусы-векторы первого и, соответственно, второго тела, а т1 и тв — их массы. Функция ЯГ1 — гз~) зависит от физической природы действующей между телами силы. Это, например, 162 Опецивльнля теОРия ОТНОсительности ~гл. ~~ з 261 ПРИНПИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ может быть сила упругости Яг1 — гг ~) = — Й или тяго- „',:; ТОНИЯ Стгтг Яг2 — гг~) = ~Г2 — Гг~ где С вЂ” гравитационная постоянная, Й вЂ” козффициент:-, жесткости упругого элемента, соединяющего тела.
Легко убедиться, что вид этих уравнений не изменя-::,' ется при осуществлении преобразований Галилея: (26.2): г = г'+'~Ю', где 'К вЂ” некоторая постоянная скорость. Действительно, так как при этих преобразованиях'„ ускорения тел не, изменяготся (Рг Нг дгг' — = — (г +Ю') =— Щг,,ЦФг,,Я~2 Р Р и в выражения для разности векторов г1 — гг — — г1 — гг: вектор 'К не вхсдит, то уравнения (26.1) при любом зна--: чении к переходят в уравнения: '/ тг —, — — (г', — гг)Яг1 — гг~), гг ( ~у(~ г г 1) Таким образом, единственное отличие у уравнений дви-", жения в штрихованной системе отсчета — зто наличие' штрихов у всех входящих в них величин.
Несложно установить и физический смысл преобразований Галилея, выяснив закон движения начала отсчета сдной системы координат относительно другой. Для этого положим в выражении (26.2) г' = 6. В результате получим: Это соотношение означает, что начало отсчета О' штрихованной системы координат движется относительно нештрихованной системы с постоянной по величине и направленшо скоростью. А так как в силу соотношений (26.2) оси координат все время остаются сонаправленными, то можно сделать вывод, что преобразования Галилея в механике Ньютона описывают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета, движущейся относительно исходной с постоянной скоростью Ъ". Взяв дифференциалы от правых и левых частей равенств (26.2), несложно получить закон сложения скоростей в механике Ньютона: ~'+у у = ъ~+ Ч.
ас й' Кроме того, из выражений (26.2) следует, что в механике Ньютона длинь одного и того же отрезка и промежуток времени между двумя событиями, измеряемые из лабораторной ("неподвижной" системы отсчета) и из движущейся инерцивльной системы отсчета, будут Одинаковыми: с (1 — 1е) — (г — г) = О. 164 спвциАльнАя твоРия относительности [гл. 1~ Последующее развитие физики показало, что инер-,': цнып ные системы отсчета являются равноправными для ' „, описания и других физических явлений. Поэтому прин- -; цип:относительности в настоящее время принял сле-::: дукицую форму: законы физических явлений одинаковы ' для "неподвижного" наблюдателя и для наблюдателя, со- .,':.'-' вершающего равномерное поступательное движение, так „; что мы не имеем и не можем иметь способа определить, находимся ли мы в подобном движении или нет.
' Таким образом, классический принцип относитель- ',' ности, утвержда|ощий равноправие всех инерциальных,'. систем отсчета для описания физических явлений, экви- ' валентен требованию форминвариантности (неизменно- '' сти формы) уравнений физики при преобразованиях ко- -, ординат и времени от одной инерциальной системы от-:,' счета к другой инерциальной системе отсчета.
Это, в свою очередь, означает, что для нахождения соотноше- ':.'-: ний, связывающих координаты и время в двух физиче-: ски равноправных, с точки зрения какого-нибудь фунда-::. ментального уравнения физики, системах отсчета, мож- -. но воспользоваться условием форминвариантности дан- -'„ ного'уравнения относительно искомого преобразования.:,'. систем отсчета. 3 27. Преобразования Лоренца Предположим, что у нас есть исходная лабораторная инерциальная система отсчета, в которой уравнения -", Максвелла имеют вид (3.19).
Поставим задачу опреде- э лить закон преобразования координат и времени при переходе от исходной системы отсчета К к другой инерциальной системе отсчета К', которую условно назовем::: штрихованной системой отсчета. Так как все инерциальные системы отсчета должны быть эквивалентными, то уравнения Максвелла в системах отсчета К и К' должны иметь одинаковый вид, т.е. быть форминвариантными. Но уравнения Максвелла, в отличие от механики Ньютона, помимо производных по координатам и времени содержат еще и векторы Е и Н, законы преобразования которых нам пока не известны. Поэтому для решения поставленного вопроса удобно использовать не уравнения Максвелла, а уравнение фронта (18.15) электромагнитной волны, которое является прямым следствием уравнений Максвелла и не содержит полей Е и Н.
Преобразуем уравнение (18.15), описывающее распространение фронта электромагнитной волны, к виду: Полагая в этом соотношении 1 = 1с + й, г = г' + 0г, несложно убедиться, что в исходной лабораторной системе отсчета, в которой мы сформулировали систему уравнений Максвелла 13.19), уравнение, описывающее распространение фронта волны, примет вид: Так как это уравнение содержит только координаты и время и не содержит, в отличие от уравнении Максвелла, из которых оно получено, векторов Е и Н, то его мы н будем использовать для анализа представлений о пространстве и времени, с которыми согласуется электрсдина мика Мз ксвелла. '! 27! 167 пгюоБРАЗОВАния логенцА (27.1' ' у = у(Ф,х,у, а), у' = 1; (27.2); х =Х+ 1'Т, ~ =Т, у = У, х = Я 166 спвцилльнля теогия относительности !гл.
1~:;,: Обозначая координаты и время исходной системы от-,':, счета К буквамн х, у, э, 1, асистемы отсчета К' — штри-., хованными буквами х', у', х', 1', уравнения, определяю'.-"! шие распространение фронтов в этих системах отсчета:" мы можем записать в виде: сзйз — Их~ — Иу' — Игз = О, с~се'~ — Их'~ — ду — ~Ь~ = О Таким образом, наша задача определения закона пре';, образования координат и времени при переходе от систе:: мы К к системе К' сводится к поиску такой зависимоств ~(~,х,у, л), * Фтх,у, е), которая после подстановки в первое из выражений (27.1~„: переведет его во второе из этих выражений.
Предположим, что искомые преобразования являют-'.' ся преобразованиями Галилея с относительной скоростью)! и', параллельной оси Х. Обозначая координаты и время~ системы отсчета, получаемой из исходной путем преобра-',:;:. зований Галилея, заглавными буквами, будем иметь: Взяв дифференциалы от этих соотношений и подставив.': в первое из выражений (27.1), получим: Ратф- — 1 — титах-ах' — Л" — 1г' = О. (27.З):. с~ У Сравнивая это равенство с соотношениями (27.1), видим, что преобразования Галилея не обеспечивают форминаариантности интервала (27.1), поскольку в него явным образом вошла относительная скорость у и появился перекрестный член 2Ъ'ЙТ йХ. Для приведения выражения (27.3) к виду (27.1) выделим в нем полный квадрат так, чтобы исчез перекрестный член.
В результате будем иметь: сэ с1Т 1 — —— Р.з 1/ДХ ДХз э з с2 1 — —, Теперь для приведения этого выражения к виду (27.1) нам достаточно ввести штрихованные координаты в со- ответствии с равенствами: $' = Т 1 — — — , (27.4! Ъ'з Ъ'Х с~ 1 — ~~- Тогда выражение (27. 3) принимает требуемый вид (27.1): Из' = сэва" — Нх'з — с!у" — ДР = ИР = О. Таким образом, два последовательных преобразования (27.2) и (27.4) перевели первое выражение (27.1) во второе, Следовательно, мы 'совершили переход из лабораторной системы отсчета К в эквивалентную ей, с точки 168 спвциАльнАя 'ГеОРия ОтнОсительнОО'ги сгл. 1ъ' ~ 28) пгеоеРАзовлние пгомежутков внеменм и длин 169 зрения электродинамики, систему отсчета К'. Исключая:, с помощью выражений (27.2) из соотношений (27.4) про-': межуточные переменные Х, 1", Я, Т, получаем связь ко-':, ординат и времени систем отсчета К и Х'.
~ — ~~а, е — 1сг у у зы з (27 5 Д2 1 2 1 — -зс 1 — — зс Эти преобразования в научной литературе получи-,':.'; ли название обратпных преобразований Лоренца. Пря-: Асые преобразования Лоренца получаются, если соотно-';:: шения (27.5) разрешить относительно нештрихсванных,'с переменных: +ск* т +Рà — х=, у=у', з=е'. (27.6): ~/3 1;2 1 — -з- 1 — -з- С с Обсудим теперь преобразования (27.5) и (27.6). Во-пер;„':.:,; вых, заметим, что преобразования Лоренца, также как'.
и преобразования Галилея, описывают переход от исхсдс'. ной лабораторной инерциальной системы к другой инер-.:,', циальной системе. Лля того чтобы в этом убедиться,"! найдем закон движения начала отсчета О' системы К с';: точки зрения наблюдателя,нахсдящегося в системе от-''~ счета К. Псдставляя х' = у' = з' = 0 в выражения (27.5),' получим следующий закон движения точки О' по часаь~:; наблюдателя К: х Ъ' Это означает, что система отсчета К' движется равнси-:" мерно и прямолинейно относительно инерцивльной си-::: стемы Отсчета К, т,е. и сама является инерциальной. Во-вторых, следует отметить, что преобразования Лоренца существенно отличаются от прео(эразованзй Галилея, перехсдя в них с некоторой точность ю при Р' « с, Так как первые из них Описывают перехоц между двумя инерциальными системами отсчета, оставляющия форминвариантными уравнения электродинамики, а вторые — тот же перехсд между двумя инерциалытыми системами отсчета, но Оставляющий форминвариантными уравнения механики Ньютона, то возникает вопрос, кек согласовать между собой это противоречие между требованиями электрсдинамики Максвелла и механики Ньютона.
Как мы увидим далее, данное противоречие между требованиями электрспинамики и механики режется в пользу электрсдинамики, в результате чего механика Ньютона будет заменена релятивистской механикой, предельным случаем которой при Р' « с является механика Ньютона. И, наконец, анализ соотношений (27.5) и (27А) показывает, что они имеют смысл только при $' < с. Это означает, что преобразования Лоренца (27.5) и (27 6) согласуются с принципом предельности скорости свеча, согласно которому любой физический объект не может двигаться со скоростью, большей скорости с, причем предельную скорость 1' = с могут иметь только безмассовые частицы. з 28. Преобразование промежутков времеви и длин отрезков В качестве непосредственных кинематических следствий преобразований Лоренца рассмотрим как в специ- 170 спвциАльнАя 'ГеОРия ОтнОсителънОстн [гл.
1у '! альиой теории относительности происходит преобразова-:: ние. промежутков времени и длин отрезков при переходе . от сдной инерциальной системы отсчета к другой инер-.' циальиой системе отсчета. Для сравнения напомним, что при преобразованиях-,' Галидея (26.2) ни промежутки времени, ни длины отрез- ' ков (26.4) не. изменяются. Это свойство является прямым следствием абсолютности времени и независимости про-':,' странства от времени в механике Ньютона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
