В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В силу, этого условия при дифференцировании потенциалов ь4ножитель 1~т и вектор п мы будем считать постоянными величинами, так как их дифференцирование в рассматриваемой нами области пространства приводит к появлению так называемых неволновых слагаемых (убывающих быстрее, чем 14'т), которыми мы должны пренебрегать по сравнению со слагаемыми, описыва4ощими поле излучения. Таким образом, единственной величиной, которая в области т» Л может быть псдвергнута дифференцированию, является запаздывающее время т = Ф вЂ” т~ с. Учитывая это обстоятельство, для напряженностей полей Н и Е в электрическом дипольном приближении будем иметь: Е(г,1) = п(Ы(т)) — а( ) (п!а(т) п)1 Н(,) (д(.)-1" СЗ4.
(21.3) Проанализируем полученные выражения. Покажем, прежде всего, что в рассматриваемом нами случае электромагнитная волна является сферической. Действительно, замечая, что напряженности полей электромагнитной волны (21.3) зависят от времени лишь в комбинации т = Ф вЂ” ! /с, убедимся, что поверхность постоянного аргумента (или постоянной фазы в случае монохроматической волны) для вектора 41 имеет вид: Ф вЂ” т/с = то = сопА.
Разрешал это уравнение относительно т, получаем уравнение сферы: тз = сз(Ф вЂ” то)з, что и оправдывает название волны. Далее, из выражений (21.3) следует, что векторы Е н Н этой волны ортогонэльны направлению ее распространения — вектору п. Это Означает, что данная волна является поперечной. Подставляя второе из соотношений (21.3) в первое, легко убедиться, что векторы Е и Н 130 [гл. "' ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ з 20 электРическое пипОльнОе излУчение 131 ортогональны и друг другу (21:, Е = — [пН) Отсюда следует, что векторы Е, Н и и, вход в выражение (21.3), взаимно ортогональны и образ правую тройку. И, наконец, взяв модуль от равенс: ' (21.4) и учитывая, что [и[ = 1, получим: [Е[ = [Н[.
Таким образом, в электрическом дипольном ближении поле излучения прецставляет собой сфер скую электромагнитную волну, которая обладает гимн свойствами, присущими плоской электромагнитн ' волне: векторы Е и Н этой волны в любой точке новой зоны равны по модулю и ортогональны друг др .' гу и направлению распространения.
Именно это обе '' ятельство и позволяет любую сферическую волну в м''", лой области (точнее, в области пространства, лине размеры которой малы по сравнению с расстоянием этой области до излучающей системы) рассматриват' как плоскую электромагнитную волну. Определим теперь интенсивность излучения в мент телесного угла ггй в рассматриваемом нами слу электрического дипольного приближения. Исходя из щей формулы (20.3), будем иметь: сУ сгз — = — (п[Е НД. сЮ 4я Н сгз Нз ст~Е2 гней 4я 4я (21 ц Так как Щ = [Н [ и все три вектора, входящие в это выр "' жение, взаимно ортогональны, то его можно переписа и в двух других эквивалентных формах: Отсюда непосредственно следует, что интенсивность излучения в любой элемент телесного угла является функцией знаконеогрицательной (гУ/ггй > О), причем в нуль Оиа обращается только в отсутствие электромагнитного поля. Это, в частности, означает, что электромагнитнь1е волны переносят положительную энергию, уменьгпая, тем самым, энергию источника излучения.
Подставляя второе из выражений (21.3) в соотношение (21.5), получим: а [а(т)п)з г1й огсз (21.6) Из этого выражения следует, что интенсивность излучения в элемент телесного угла существенно зависит от взаимной ориентации векторов д(г) и и: при п [[ Й она равна нулю, в то время как для точек наблюдения, вектор п которых ортогонален вектору Цт), она максимальна. Вводя обозначение О для угла между векторами г1(г) и и и учитывая, что [с1п)~ = [гЦ~ яп О, мы можем построить диаграмму направленности электрического дипольного излучения, откладывая в определенном масштабе из начала отсчета отрезки, пропорциональные интенсивности излучения в данном направлении.
В результате мы получим поверхность, симметричную относительно вращений вокруг оси, определяемой вектором Й(г), Одно из сечений которой показано на рис. 6. Следует отметить, что как величина вектора Й, так и его ориентация в пространстве, может изменяться с течением времени, в результате чего и угол О в общем случае будет функцией времени.
Поэтому и вся диаграмма направленности излучения, представленная на рис. б, может с течением времени 132 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [гл. ш Я2 Х = —. Зсз (21,8) АХ 1 — = — (~12 — (пй)2). гИ 4ггсз (21.9) (и'1) =~.Р, (ПС1г)2 = И ПрС1 Р. изменять ориентацию, следуя за вектором с2(т). Рнс.
б. Диаграмма направленности излучения в; электрическом дипольном приближении. Наидем теперь количество энергии, излучаемой си- "; стемой в единицу времени по всем направлениям в электрическом дипольном приближении. Эта величина в научной литературе получила название полной интенсивности излучения н ее обычно обозначают буквой Х, Для ее определения мы должны проинтегрировать выражение,:. (21.6) по всему телесному углу: Х /~~Х1 1 Г Х = ~ ~ — ~ 11 = —, ХХ (1(т) и)' 111.
(21.7) Учитывая, что ориентация вектора с1(т) может изменяться с течением времени, это можно сделать двумя способа- 2 2Ц электРическОе липольное излУчение 133 ми. Во-первых, можно, зафиксировав некоторый момент времени, ввести сферическую систему координат, полярную ось которой удобно направить вдоль направления вектора с1 в данный момент времени, после чего проинтегрировать выражение (21.7) по всем направлениям. 'Гак как в выбранный момент времени (сап~2 = с12э1п сг, то выражение (21.7) примет вид: гг 2гг д2 Х = а1ПВсЮ / йгг — эш~сг.
4ясз о о Интегрируя это выражение, получим: Однако, с нашей точки зрения, более последовательным является второй способ, который, к тому же, оказывается единственно возможным при вычислении полной интенсивности излучения и высших мультипольных приближениях. Для его использования подставим первое из выражений (21.3) в соотношение (21.5). В результате будем иметь: Залишем теперь скалярное произведение, входящее в это выражение, в явно тензорном виде; МАГНИТНОЕ ЛИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 135 [гл. ш электгомАГнитные ЕОлны Проинтегрируем выражение (21.9) по телесному углу й.
Учитывая, что 4я Нй = еш дддйр, и пр Хй = — Б~р, после интегрирования выражения (21.9) по углам д и у,; получим: Я2 Х=— Зсз ЫХ д' — = — (ап12, Нй 47гсз 22 г Х =— Зсз (21.10) „ Из этих выражений непосредственно следует, что излу- ... чение частицы в электрическом дипольнам приближении:,. возникает только при ее ускоренном движении. Учиты-,' вая уравнения движения 1 та = Е = д(Е + -(ъ Н)), с В случае, когда рассматриваемая нами излучающая.'„' система состоит из одной частицы с зарядом д, движу-,: щейся со скоростью е « с по закону г = г(1), выражения:-,' для интенсивности и полной интенсивности существен-::,." но упрощаются.
Действительно, так как для Одной заря-::- женной частицы Й(т) = дг(т), то сй(т) = да(т), где а(т) — ' ускорение частицы в момент времени т. Поэтому выра-,-' жения (21.6) и (21.8) в этом случае принимают вид: выразим ускорение частицы через внешнюю силу, дей- ствующую на нее. В результате получим: Х = Г2 = (Е + -[УНЦ2. 2д2 2д4 1 3пг'с' Зт'с' с Таким образом, интенсивность излучения частиц, движущихся в одном и том же внешнем поле, оказывается пропорциональна четвертой степени величины их зарядов и Обратно пропорциональна квадрату массы. Поэтому излучение протона, масса которого примерно в тысячу раз больше массы электрона, а заряд равен заряду электрона, при движении в Одном и том же поле оказывается в 10 раз менее интенсивным.
З 22. Магнитное дипольное излучение Основной вклад в поле излучения для большинства излучающих систем, как уже упоминалось, вносит излучение в электрическом дипольном приближении, в результате чего магнитным дипольным излучением обычно пренебрегают. Но в тех случаях, когда система по тем или иным причинам не излучает в электрическом дипольном приближении, или оно сильно подавлено, магнитное дипольное излучение начинает играть ведущую роль, В этом приближении скалярный потенциал электромагнитного поля равен нулю, а векторный зависит от изменений магнитного момента системы с течением (ш(т)п) (22.1) Используя выражения (5.2) и (22.1), легко найти напряженность электрического поля магнитного дипольного 136 3 23] электРическое кВАНРУпОльнОе излУчение 137 электРОмАгнитные Волны ]ГЛ.
]П 4 излучения: [йз(т) п1 (22.2); Пренебрегая неволновыми слагаемыми, напряженность;:- магнитного поля в этом приближении можно найти по'„ формуле." Н = гоФА = ~7 — ~ = — [з7 т[гпп]] =— [пзп]'! 1 .. [п[йшД ст ~ ст сзт (22.3), Псдставляя соотношение (22.2) в выражение (22.3), полу- ':.
чим: Н = [пЕ). (22.4) '. Из выражений (22.2) — (22.4) следует, что в магнитном '-,": дипольном приближении векторы Е и Н ортогональны" вектору п и друг другу и образуют правую тройку. Учи-,':, тывая это обстоятельство, интенсивность излучения в ':; элемент телесного угла мы, как и в случае электрическо-. -' го дипольного излучения, можем представить в любой из -. двух форм (21.5). Вторая из них приводит к соотноше-,:.:'. нию, аналогичному соотношению (21.6): 61 1 — = — [гп(т)п) .
дй 4хсз (22.5);:; Таким образом, диаграмма направленности магнит-— ного дипольного излучения аналогична диаграмме на-,." правленности электрического дипольного излучения (см. рис. 6), только вектор Й(т) в рассматриваемом нами слу- ':: чае необходимо заменить на вектор гп(т). Полную интенсивность излучения можно найти,;: проинтегрировав выражение (22.5) по телесному углу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
