В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Обозначая характерную скорость движения зарядов в системе через и, смещение зарядов 1 за время У можно представить в виде 1 = НТ. '1'ак как Л = СТ, то из условия 1/Л (< 1 следует, что характерные скорости зарядов в системе должны быть значительно меньше скорости света: В « с. Полагая, что условия (20.7) и (20.8) выполнены, попставим разложения (20.6) в выражения (20.5). В результате получим: у(г,1) = — / р(~',т)Н/' + — — ~ сЛ"р(г', т) — + г + — — Л' р(г,т) — + ...
А(г,2) = — 1 М,Т1М + — 1 яг', т) — (и/~ + дт / ~ сзт2 (20.9) 120 электгомлгнитные ЕОлны «гл. ш ',': 3 2е« ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 121 Вводя удобные для дальнейшего обозначения (20.10);,'„ «ре(г, т) — —. сй "р(г, т), 1 д 1',(г г') «рз(г„'т) = — — «5 —.' р(г, т)~ тдт / ст 1рз(г, )= — — ~ Л" ~ — ) р(г' ) 2т дт ст Аз(г., т) = — Л",1(г', т), (г г'), (г ~(г', т)) ст ст (г г')., (г з(г' т)) —,1(г,т) + д Г А (г,т) = —.†.~ «11" ~ 2ст дт 1 д Г Аз(г,т) = — — ~ «« 2ст дт и .'ограничиваясь только выписанными в разложении; (20.9) шенами, будем иметь: р(г,Ф) =~ро(г,т)+р,(г,т)+О+«рз(г,т), (20.11) ' А(г, $) = А1 (г, т) + Аз(г, т) + Аз(г, т). 'Используя обозначения (9.5), (9.8), (9.13) и (15.8), вы- ф разны встречающиеся в данных разложениях интегралы:.
через мультипольные моменты системы. Начнем с разложения скалярного потенциала. Учи-: тйвая; что входя«цая в эти выражения функция р(г', т) должна быть взята в един и тот же момент времени т = '::: 1' — г/с для всех точек системы, первое из соотношений:..
(20.10) можно записать в виде: ре(г,т) = —, Фт) где Я(т) — полный заряд системы в момент времени т. Очевидно, что в силу закона сохранения заряда эта величина не зависит от времени, в результате чего потенциал «ре описывает постоянное кулоновское поле и не дает вклад в поле излучения. Поэтому в дальнейшем мы его будем опускать. Обозначал произвспную по времени т точкой и учитывая, что единичный вектор и = г(т, направленный из источника в точку наблюдения, не зависит от переменных интегрирования, второе из соотношений (20.10) приведем к виду: (и «1) р«(г,т) = —, ст (20.12) где с« = «1(т) — вектор электрического дипольного момен- Рассмотрим теперь потенциал ~аз. Вспоминая опре- деление (т) 3 «Л' р(г т)х х для тензора электрического квадрупольного момента си- стемы ~'"р, этот потенциал можно залисать в виде: ~рз(г> т) = — п ЛАЯ (т), (20.13) 1 2т где использована тензорная форма записи и учтено, что согласно принятому нами (вплоть до изучения специальной теории относительности) соглашению иа — — и (п«пд п2 = т«у пз пд) и ЛО дважды ПОвтОряющимся греческим индексам подразумевается суммирование от 1 до 3.
~ГЛ. ИП электРОмАгнитиые ВОлны с1 = Л ',1(г',т). (20.10) а с(с — сй".ь(г',т) = О. Совершенно аналогично и все оставшиеся члены в,! разложении (20.9) скалярного потенциала у(г,1) могут::;: быть выражены через.произвсксные по времени т от муль-; тицольньах моментов системы высших порядков.
Переходя к анализу разложения векторного потенциала А, следует отметить, что в рассматриваемом нами,: случае, в отличие от случая стационарных магнитных." полей, плотности заряда и тока явно зависят от времени, ': в результате чего дифференциальный закон сохранения, заряда (3.3) можно записать и в терминах запаздываю- . щего времени т: — р(г', т) + сБУ, Яг', т) = О, (20.14) дт где радиус-вектор г', стоящий внизу у дифференциаль-:,' ного оператора, означает, что дифференцирование про-: изводится по штрихованным переменным: дд (г', т) дуг(г', т) д1',(~г, т) д с ду' дк' Поэтому соотношение (15.3) здесь уже не выполняется:.',.
и потенциал А1 в общем случае оказывается не равным,:: нулю, Для того, чтобы записать его в терминах мульти-';; польных моментов, рассмотрим вспомогательное соотно--,: шение: а(т)= Л" ' ~( ") дт Умножая это, равенство скалярно на произвольный по-': стоянный вектор а и учитывая дифференциальный закся(': сохранения заряда (20.14), будем иметь: (ас1) = — сЛ~'(аг')с1тт, с (г', т).
~ го1 ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ 123 Проводя тождественное преобразование под знаком инте- грала с использованием соотношения (аг')с1гу, 1 = с11у, ((аг')д) — фг', т) 3гас1,,)(аг') = = с11у „((аг )Ц вЂ” (а1(г, т)), ( а)=-~(БХ~,.ф ')~-/4У'( з~",.)). Так как поверхность интегрирования в этом выражении предполагается целиком находящейся вне источника излучения, то плотность тока 1(г', т) на ней тождественно равна нулю. Это обстоятельство позволяет утверждать, что скалярное произведение при любом выборе постоянного вектора а. Легко убедить- ся, что это условие может быть выполнено лишь в том случае, когда Действительно, выбирая, например, Вектор а = (а, О, О), приведем соотношение (20.15) к виду: ~гл. ш электгомАгнитные ВОлны 124 2 2вЛ 'вв~ = Сйв'"7~(Г', т).
А1(г,Ф) = —. 1() ст (20.17) будем иметь: 1 Г пз(т) = — / сЛ~'(г'.1(г'в т)), будем иметь .4з = НРО 6сзт (20.19) При а ф 0 из этого равенства. следует, что Выбирая вектор а параллельным другим осям координат, можно убедиться в справедливости и оставшейся части соотношения (20,16). Учитывая равенство (20.16), потенциал А1 можно записать в виде: Перейдем теперь к векторному потенциалу Аз. Легко заметить, что подынтегральное выражение у этого потенциала представляет собой двойное векторное произвщение ~гЦ ~г)1 /(ст). Воспользовавшись тем, что единичный вектор и = г/т не зависит от переменных интегрирования и учитывая определение (15.8) Аз(г,з) = [гп(т)п) (20.18) И, наконец, рассмотрим потенциал Аз. Для приведения его к более компактному виду, выведем сначала одно полезное соотношение.
Продифференцируем произведение НРЯ Р(т) по времени т. Используя определение для Я Р, ПОЛУЧИМ: ~вРП 8 Двв ва вя Р. в в ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОС'ГИ 125 Учитывая соотношение (20.14), легко убедиться, что Л в в= в в~ЯЗФ 'вв' ~вв дт Так как на границах объема интегрирования заряды и токи отсутствуют, то первый интеграл в этом соотноше- нии равен нулю. Преобразуем теперь второй интеграл. Учитывая тривиальное равенство д ввв Д 8гап в)х =2~ — Р =3 6р =3 дхвР— Л" "в = в"в ~вв' ~в в» ')* +в ~' '~* ! Сравнивая это соотношение с последним из выражений (20.10) и учитывая, что (пг') = пях'Рв получим: Таким образом, потенциалы, входящие в разложение (20.11), естественным образом разбились на отдельные группы, в каждую из которых входят производные по времени то'тько от одного из мультипольных моментов системы: <Р1 и А1 содержат электрический дипольный момент, Аз — магнитный дипольный момент, а вРз и Аз — электрический квадрупольный момент.
электРОмлгнитвые ВОлны [гл. ш Поэтому в научной литературе потенциалы у1 и А| '.! получили наименование потенциалов электрического ди-;:! польного приближениц потенциал Аз — потенциала наг-:~ нитпного дипольного приближения, а потенциалы уз и Аз — потенциалов электрического кеадрупольного прибли- '; жения. Такое деление, кроме чисто внешнего, имеет и ', более глубокий физический смысл, так как эти группы потенциалов представляют собой разные порядки разложения по степеням малых параметров Х /Л и о/с. Поэтому .::-, основной вклад в излучение, как правило, вносят потенциалы электрического дипольного приближения.
Излучение же в магнитном дипольном приближении, а тем бо-::-'; лее в электрическом квадрупольном приближении, обычно имеет характер малой добавки к электрическому дипольному и учитывается не всегда. В заключение еще раз перечислим физические условия применимости полученных разложений (20.11) для ! потенциалов электромагнитного поля в случае излучающих систем: а) малость линейных размеров излучающей системы Ь по сравнению с расстоянием т От сисгемы до точки наблюдения; б) малость линейных размеров излучающей системы Ь по сравнению с длиной волны Л излучаемых электромагнитных волн; и) малость длины волны излучения Л по сравнению с расстоянием т от системы до точки наблюдения (волновая зона). ~ 21.
Электрическое дипольиое излучение Изучим теперь характерные особенности излучения ~ 2Ц ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ЛИПОЛЬНОЕ ИЗЛРЧЕНИЕ 127 в электрическом дипольном приближении. Как следует из выражений (20.12) и (20.17), потенциалы электромагнитного поля в этом приближении целиком предопределяются первой производной по запаздывающему времени т = 1 — т/с от вектора электрического дипольного момента системы: (и с1(т)) ст А(г,й) = —.
6(т) Используя эти выражения, мы можем найти'векторы Н и Б для поля излучения. Учитывая, что Лгал т = — г/ст = — и/с, для напряженности магнитного поля будем иметь: Н(г,~) = Ы А = ~à — ~ = ~~7 — '1(.)~+ (21.2) с1(т) 1 +~к 1 — ~ - — ! 4 )1 — — ьФ В Й(т)1 1 ° 1 ст от~ сзт Рассмотрим полученное выражение. Легко заметить, что первое слагаемое в правой части этого соотношения не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к полю излучения, так как при т -+ оо оно убывает быстрее, чем 1/т, и поэтому не принимает участия в переносе энергии от источника на пространственную бесконечность, Второе же слагаемое имеет требуемую асимптотику и при г -+ оо представляет собой поле излучения. Однако, выделить поле излучения из общего поля можно не при всех значениях т, а лишь в той области пространства, где первое слагаемое выражения (21.2) пренебрежимо мало по З 2Ц ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛ4 ЧЕНИЕ 129 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [Гл.
41! '1 сравнению со вторым слагаемым. Выясним, при каких " значениях 4 это условие вь[полняется. Для этого разде-:,: лим первое слагаемое, взятое по модулю, на модуль вто-:;: рого слагаемого. Полагая, что И '*)! - 4~( 1)[, где 444 = 244с/Л вЂ” характерная частота излучения систе-,' мы, легко получить, что данное отношение по порядку величины равно Л/т. Это означает, что второе слагаемое в выражении:, (21,2) вносит основной вклад в общее поле лишь в тех "'.: точках пространства, расстояние от которых до излуча- .':: ющей системы значительно больше длины излучаемой::, волны: т» Л.
Эта область пространства в научой ли- ':,' тературе получила название вовновой зоны или дальней ','; зоны. Если же расстояние от излучающей системы до точ- -. ки наблюдения сравнимо с длиной волны (т Л), то:,,'. переменное поле имеет сложный характер, выделить из,' которого поле излучения практически невозможно. По- .',, этому область пространства, удовлетворяющая соотношению т Л, в научной литературе получила название бана!вней зоны или невовновой зоны. Так как основной интерес для нас будет представлять поле излучения, то в дальнейшем будем предполагать, что точка набшодения находится в волновой зо- .: не, в результате чего условие т» Л всегда выполняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
