В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Вводя обозначение В(Ф') =:: г — го($') т получим: ,у' ~ ой')В(~')) <И' сВ(И) Так как (ъо(1')) < с, а ~В(Ф")/В(Ф')~ = 1, то легко убедить--- ся, что данная производная всегда отрицательна. Это „,. означает, что функция Р(г') при фиксированных значе-::: ниях Ф и г монотонно убывает с ростом г'. Поэтому в ин- " тервале -оо < 1' < оо функция Р(Ф') имеет только один . корень г' = т и он является сднократным. Следовательно,: Я~' — т) сЯ(т)Ь($ — т) ~э~ ~-("~ ж ~)) Подставляя это соотношение в равенства (19.3) и интегрируя их по к', получим окончательные выражения для потенциалов Лиенара - Вихерта: 'Р(г г) = ~сВ(т) — ~В(т)ъ'о(т)) 1 А(г,$) = еъ о(т) ко(т) = — ч'( ~) ~л~ ~ — (а~ ~.(~)) (19.4) где В(т) = г — го(т).
Корень уравнения Р(т) = О, входящий в выражения (19.4), удобно представить в виде, определя|ощем его как неявную функцию $ и г: т(Р,г) = 1— 1г — го(т)1 с Таким образом, значения потенциалов электромагнитного поля в точке наблюдения с радиусом-вектором г и в момент времени $ в силу выражений (19.4) определяются не положением заряда го(8) в тот же самый момент времени, а положением заряда го(т) в некоторый предшествующий момент времени т, отличающийся от момента наблюдения Ф на величину времени запаздывания ~ г — го(т) ~~с необхсднмого для прохождения возмущением электромагнитного поля расстояния Л(т) = )г — го(т) ~.
112 [гл. ш з 201 ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ пз электРомлгнитные ВОлны ~ 20. Физические условия применимости мультипольиого разложения для излучанццих сис'гем Рассмотрим некоторую систему заряженных частиц,:-:. движение которых происходит в области прострэнстваостровного типа„причем зависимости плотностей заряда: и тока от координат и времени будем считать известны-:: ми: р = р(г,с), 3 = 3(г, с). Потенциалы электромагнит- .,; ного поля, создаваемого данной системой, как мы уже::,' знаем, могут быть записаны в виде запаздывающих по-- тенциалов: (20.1); Согласно этим выражениям для нахождения скаляр-:, ного и векторного потенциалов электромагнитного по-', ля в некоторой точке пространства с радиусом-вектором,.' г в любой момент времени 1 необходимо проинтегриро-::.' вать по объему, занимаемому источником, произведение.', характерной весовой функции ~г — г'~ 1 на плотность за-; ряда и, соо'гветственно, на плотность тока, взятые в раз-::,: личные для каждой точки источника предшеству|ощие:: моменты времени с' = Ф вЂ” ~г — г'~(с, Однако, точное инте-::., грирование в псдавляющем большинстве случаев произ-! вести как раз и не удается.
Поэтому в электрсдинамике широкое распростране-;: ние получили различные метсды приближенного опре-.", деления электромагнитных полей, создаваемых системами заряженных частиц. С сдним из них, получившим наибольшее распространение при исследовании излучения островных систем, мы сейчас и познакомимся. Как известно, практически любой метсд приближенного вычисления основан на разложении точных выражений в ряды по одному или нескольким малым параметрам, которые встречаются в задаче. Таким образом, первым этапом на этом пути является отыскание малых параметров, наличие или отсутствие которых целиком предопределяется постановкой задачи.
Очевидно„что в рассматриваемом нами случае, как и в электростатике, сдним из малых параметров может служить отношение максимального линейного размера источника Х к расстоянию т от источника до точки наблюдения. Это означает, что мы будем интересоваться электромагнитным полем только на далеких расстояниях от источника, значительно превышающих его максимальный линейный размер.
Используя это обстоятельство, произведем разложение выражений т' = ~г — г'~(с и 1г — г'~ 1, входящих В соотношения (20.1). Помещая начало отсчета системы коОрдинат в какую-либо тачку источника и учитывал, что В этой системе координат Выражения для т' и ~г — г'~ з мы можем зэлисать в виде Я 201 Физические услОВия ЛРименимОсти 115 электРОмАГнитньсе ВОлны ~гл. ш абсолютно сходягцихся бесконечных рядов: ]г -гс) г 2ггг гп г ~ гг! г' = — = — 1 — ' — + — = — 1 — — +... с с гз г~ с ~ г~ (20.2) Однако, в отличие от.электростатики, для исследования:, тиАм взлучевая в данных'разложениях достаточно огра-: ничиться всего Одним-двумя членами. Для определения! требуемой точности разложения величин г' и ~г — г'~ нам необхсдимо конкретизировать понятие излучения.
Элеитраивгниглвыи взлрчевие.и мы будем называть:: ту часть электромагнитного поля, которая способна пе-: . реносить энергию от источника поля до пространствен- ': ной бесконечности. Длк количественного описаниЯ пРо-:.с цесса переноса любого вида энергии, как известно, слу- ':. жит вектор потока энергии. В электродинамике этот век- '-' тор называется вектором Пойнтинга а и он представляет: собой простейшую комбинацию векторов Е и Н: а.
= . с(ЕН]/(4я ). Используя вектор а, можно определить интенсивность электромагнитного излучения Н через эле-: мент площади с1Б: ИХ = (стсБ) = (сг п)сБ, где и -'вектор внешней нормали к элементу площади сс5..; С физической тачки зрения АХ представляет собой ко-:.' личество энергии электромагнитного поля, протекающей ' в единицу времени через площадь сЖ. При проведении ' практических расчетов интенсивность электромагнитного излучения ссХ удобно относить не к элементу площади ~ сБ, а к элементу телесного угла сИ, опрр~еляемого как элемент сферической поверхности единичного радиуса и образованного дифференциалами сферических углов дд и Жр (см.
рис. 2). Как было показано в 3 3, Нй = зсп ВЫМАЙ, а сСО' = г~ Нй. При таком выборе элемента поверхности вектор ее внешней нормали совпадает с единичным вектором, направленным из источника в точку наблюдения и = г/г, поэтому интенсивность электромагнитного излучения, отнесенная к элементу телесного угла, принимает вид: — = г2 (псг) = — (г(ЕН]). (20.3) сХХ 2 сг ИЙ 4~г Из этого выражения следует, что перенос энергии электромагнитным полем от источника островного типа до бесконечно удаленных от него точек пространства 1пп ИХ/сЖ ф О) возможен только в том случае, когда г-+оо вектор ст при г -+ со убывает не быстрее чем 1/гз.
Поэтому при исследовании электромагнитного излучения от островных систем заряженных частиц все поправки к вектору ст, убывающие быстрее чем 1/г~ при г -+ СО, могут быть отброшены. Заметим теперь, что потенциалы (20.1), а, следовательно> и напряженности полей Е и Н, создаваемые системами островного типа, на больших расстояниях убывают не медленнее чем 1/г. Так как вектор ст пропорционален произведению векторов Е и Н, то отсюда непосредственно следует, что для изучения электромагнитного излучения системами островного типа в выражениях для потенциалов у и А должны быть оставлены только те члены, которые при г -+ ОО убывыот как 1/г. Это означает, что с достаточной для наших целей точностью в 116 2 201 Физические хслОВия применимОсти 117 [ГЛ.
П1 электромАгнитнме ВОлны *(г — г'~ т (гг') T (20.4) '; с с ст Лействительно, записывая первое из разложений (20.2) в,;: виде т (гг') т / т'2 1 '= — — — + —.о ~ ~—,)~, ~")' легко убедиться, что отброшенные члены в соотношении:,:-; (20.4) имеют следующий порядок малости: ГДЕ 1рт,р — — т'/С .О/С вЂ” СОбСтВЕННОЕ ЗанаЗДЬ1ВЕНИЕ В СИ- '; стеме — время; необхсдимое электромагнитному возмуще-:: нию для распространения в пределах излучающей систе- -,. мы.
Так как т'/т « 1 и при т -+ ОО это отношение стре-.: МнтСЯ К НУЛЮ, та ОЧЕВИДНО, Чта ВЕЛИЧИНОИ т'1р„,р/т Маж- .:- но пРенебРечь по сРавнению с 2 „р. ПоэтомУ с достаточ-, ной для дальнейшего точностью полное время запазды-: вания т1 можно представить в виде (20.4). Следует от- -: метить, что каждое слагаемое в этой сумме имеет свой::. определенный физический смысл: первое слагаемое пред- '-',; ставляет вр~зя рапространения электромагнитного сиг-:":: нала из центра источника до точки наблюдения (в силу,~: , соотношениях (20.1) вместо второго из разложений (20.2):~. МОЖНО ПОЛОЖИТЬ: 1 1 (г — г1! По этой же причине в разложении для т' нам сл~1ует:, ограничиться лишь двумя членами: чего величина 8,„„= т/с может быть названа временем запаздывания всей системы), а второе — описывает собстВеннОе запаздывэ.ние В сис'1'еме.
Подставляя полученные разложения в выражения (20.1) и учитывая, что т не зависит от переменных интегрирования ~1, получим: ~р(г, 1) = — сЛ"'р г', 1— А(г, 1) = — 1Л~',1 г', 1— (20.5) р ~г',1 — — + — ) = р(г',т)+ (20.6) т (1.г ) с ст Напомним, что 1П" = с1х'ду'1Ь' и г' = (х', у', з', ) . Следует отметить, что в отличие от электростатики первый из полученных интегралов, вообще говоря, не совпадает с полным зарядом системы, а второй — не равен нулю.
Основной причиной этого является зависимость р и 1 от времени, в результате чего плотность заряда и плотность тока в разных точках источника должны быть взяты в различные моменты времени, зависящие от времени запаздывания в системе (г г')/(ст) т'/с. Легко понять, что данное обстоятельство существенно усложняет интегрирование в выражениях (20.5). Позтому возникает необхсдимость в устранении зависимости величин р и 1 от времени запаздывания в системе. Очевидно, что проще всего это сделать, разложив функции р и) в ряды Тейлора в окрестности тачки т = 1 — т/с: ~гл.
ш электРОмАгнитные ВОлны 1. др(г',т) ((г г')~( 1 дзр(г',т) ~(г г')~ Ц дт \~ ст / 2) дт2 ~ ст / ~ 201 физические 'УслОВиЯ пРименимОсти 119 Таким образом, безразмерным параметром в разложениях (20.6) служит отношение максимального линейного размера системы Е к длине волны, излучаемой этой системой. Поэтому для обеспечения схсдимости рядов (20.6) достаточно потребовать выполнения условия: А1ля того, чтобы данные разложения имели смысл и их —.; можно было почленио интегрировать, необходимо нало- ':: жить на функции р и 2 ряд ограничений.
С математиче- '. ской точки зрения эти ограничения эквивалентны требо-: ванию сходимости рядов (20.6) во всех точках источника," и во все моменты времени. Это требование заведомо может быть обеспечено, ес- .'- ли члены этих рядов будут достаточно быстро убывать, --' т.е. ряды (20.6) будут представлять собой разложения по .'.: степеням некоторого малого безразмерного параметра.: Так как величина (г г')Дст) т'/с, степени которой фи- ': гурируют в разложениях (20.6), является размерной ве- ! личиной, то она не может служить таким параметром.:!, Для выяснения вида этого параметра возьмем отноше- '. ние некоторого члена ряда к предыдущему члену: у 1 1 а —,, ~~ ~>~" ' и~а"„'.ф ст Ц~ атк-х 1 ~~ / Полагая, что д"р(дт" ю "р, где м - некоторая характерная частота излучения системы, отсюда будем иметь: У„~ (г г~) ~т~ ~Ь Ь вЂ” — — — ( — м и ст с с Л С физической точки зрения это условие означает, что разложения (20.6) будут иметь смысл, если за время, равное периоду волны Т, распределение зарядов и токов в системе изменится несущественно и смещение зарядов за это Время будет значительно меньше длины волны Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
