В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пействительно, составляя разность о12 — с2 и используя выражения (29.2), несложно. получить: 2 (1 ~~~ )(1 ~~~ ) (1 — ~4 )' Так как 1- Ъ'2/с2 > О и 1-и2/с2 > О, то ер2 — с2 < О. Это; означает, что если в одной системе отсчета (например,; нештрихованной) скорость материального тела е < с, то в любой другой системе отсчета, движущейся отно-,!' сительно исходной со скоростью У < с, скорость этого ': материального тела также будет меньше с. А так как 1 все системы отсчета создаются из материальных тел, то -':,:: никаким переходом к другим системам отсчета нельзя превысить скорость света. ~ ЗО.
Преобразование углов Рассмотрим теперь вопрос о преобразовании углов при переходе от сдной инерциальной системы отсчета к другой ииерциальной системе отсчета, Следует сразу же отметить, что какого-то единого закона преобразования углов не существует, так как в зависимости от того, чем образован угол, применя1отся те или иные формулы преобразования. Рассмотрим несколько наиболее важных частных случаев. Предположим, что в лабораторной системе отсчета К вдоль оси Х со скоростью Ъ' движется штрихованная инерциальная система отсчета К'.
Пусть в системе отсчета К' покоится прямоугольный треугольник, един из катетов которого параллелен оси Х~, а другой — оси У'. Тогда тангенс угла д', составляемого гипотенузой этого треугольника с осью Х', в системе отсчета К' будет раВен: М-у1! 12'2 х1! ,~ !У2 — У1! 28 д = »х2 — х1( При преобразованиях Лоренца (27.5) и (27.6), как мы видели в з 28, длина движущегося отрезка, параллельного вектору скорости Ъ" штрихованной системы отсчета, и измеряемая из лабораторной системы отсчета, сокрал* р'Т вЂ” р~~~ р, л рю, р лл рлярная вектору Ъ', не изменяется: — — 1 — —, Т 1,л2 »У2 У1 1»У2 У1! ' где»х~2 — х',) — длина первого катета, а»у2 — у,'~ — длина второго катета, измеренные наблюдателем штрихованной системы отсчета.
В лабораторной системе отсчета тангенс этого же угла будет определяться аналогичным выражением: ПРЕОБРАЗОВЛНИЕ УГЛОВ ив1п Вф — Р' 2д В'= е сов  — ~'" (30.1), Т~7 2 ф~В'= 1 — — гб В. с2 е~ = е сов В, е„= е вш В, е' =е'сов В', е„' =е'в1п В в1п В'ф — Р 2дВ= \ сов В'+Д (3023) (30.3) /Г рг гд В'= е'в1п В' /1 — фг 2дВ= егсо. Вг+1~ 132 спепилльнАя твоРия относительности [Гл. 1и , Поэтому тангенсы этих углов треугольника оказываютси',. связанными соотношением: Предположим теперь, что в системе отсчета К' дви-":-' жется частица со скоростью ъ' под некоторым углом к оси' Х'.
Не ограничивая обшности, будем считать, что век-. тор скорости 'У' частицы расположен в плоскости Х'О'У'- и составляет угол В' с осью Х'. Тогда обозначая угол между вектором скорости этой частиць1 'у и осью Х в:: системе отсчета К через В, будем иметь: Подставляя эти соотношения в выражения (29.3) для ре- ''.:: лятивистского закона сложения скоростей, получим: е' В'+1 . е'в1п В' /à — Рг есов В= „... ВВ1п В= 1+ -"-,у- сов В' 1+ — ",, сов В' (30.2) ,' где ~3 = Ъ'/с.
Исключим из этих равенств скорость е. Для этого:; разделим второе соотношение (30,2) на первое. В результате будем иметь: Совершенно аналогично можно получить и формулы обратного преобразования: Таким образом, в этом случае законы преобразования углов (30.3) и (30.4) зависят от скорости частицы с' н отличаются от закона преобразования (30.1).
Поэтому две частицы, движушиеся в штрихованной системе от- / Р счета с различными скоростями е1 и ег под саним и тем же углом В' к вектору у', в лабораторной системе отсчета в обшем случае будут двигаться под разными углами В1 И В2. е',в1п В', /1 — Р2 е' сов В', + ~' ~Гà — д Вг = д ~ В~+71 2 2 Исключение составляет тривиальный случай движения частиц вдоль вектора 'у': при В1 = В~г — — 0 имеем: В1 —— Вг — — О. Формулы преобразования углов (30.3) и (30.4) справедливы для любых частиц, включая и фотоны. В последнем случае в выражениях (30.3) и (30.4) следует положить: е = с = с.
В результате будем иметь: 184 специАльнАя 'теОРия Относитех1ьности [Г11. уф , Позднее мы эти формулы получим и из закона преобра-.-'; зования частоты и волнового вектора электромагнитн волны. Совпадение формул, получаемых двумя разнымзз способами, лишний раз свидетельствует о непротиворе[-: чивости специальной теории относительности. 3 31. Тензоры в пространстве Минковского Изучение уравнений электрсдина мики показало, чтд[ пространство и время представляют собой единое целое"1 — четырехмерное пространство-время. В этом четырех-..' мерном пространстве мы можем ввести четыре взаимнсг';, о,~ 1 г „з, Т гда радиус-вектор некоторой точки этого пространства; будет иметь четыре компоненты и его можно записать в'-; виде х" Рн .(хо х1 хг хз) (с[ г) При такой записи обычно считают, что любой ин- ' декс, обозначенный буквой латинского алфавита (1, 1, Й ' и т.,д.), может принимать четыре значения: 1, 1, Й = .
О, 1, 2, 3, а индекс, обозначенный буквой греческого Влфа вита (о, [!1, 'у и т.д.), может принимать три значения: ' сх,,8, 1' = 1„2,3. Лгобой четырехвектор А можно спроецировать начетыре координатные оси и определить его проекции сле- '.:. дующим образом: Аз = (Ао А'. Аг Аз). По аналогии:. с компонентами х~ компоненту Ао называют временной .','- компонентсй, а компоненты А1, Аг, Аз — пространствен- ".,' ными компонентами. В прямоугольных декартовых ко- ";:, ординатах компонентам А1, Аг, Аз соответствуют ком- .' поненты А,, Аю А .
Четырехвектор А~, у которого индексы расположены вверху, называется кснтравариантным. Наряду с кон- 3 ЗЦ ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 185 травариантными четырехвекторами сугцествуют и ковариантные четырехвекторы, у которых индексы расположень1 внизу: Аз = (Ао, А1, Аг, Аз). Следующим по сложности объектом является нонптраварианп1ный те Взор второго ранга, имеющий два индекса: Т'". Так как индексы 1 и А. у этого тензора "могут принимать независимо друг от друга значения О, 1,2,3, то данный тензор можно представить в виде матрицы, строки которой нумеруются индексом 1 (первый индекс), а столбцы - индексом [с (второй индекс).
При этом следует учесть, что в отличие от обычной матрицы здесь нумерация начинается не с единицы, а с нуля: ~начала идет нулевая строка, за ней первая и т.д.: Тоо Т01 Т02 Тоз Т10 Т11 Т12 Т13 Т20 Т21 Тгг Т23 Тзо Т31 Т32 Тзз Наряду с контравариантными тензорами в электро- динамике употребляются новариантные тензоры второго ранга, у которых индексы расположены внизу: Тоо То1 Тог Тоз Т10 Т11 Т12 Т13 Тго Т21 Тгг Тгз Тзо Тз1 Тзг Тзз Кроме того, используются и е,ие~ианные цензоры второго ранга, у которых один индекс является ковариантным (расположен внизу), а другой — контрзвариантным (расположен вверху). 136 спвциАльн~я твоеия относительности ]гя. ]ж':-':. 31] тензоРы В пРостРАБстве минковского 187 Тензор называется симметричным, если он не изме-::; няется при перестановке индексов Т'» = Т"' и антисим-,,-'.
метричным, если при такой перестановке он изменяеу знак: Т' = -Т»'. Любой тензор второго ранга Т'» все-'', гда можно представить в виде суммы симметричного и] антисимметричного тензоров: Т]» Т(]») Т$]»] где Т]к»] = Т1ы] = '1Ть» + Т~'1/2 — с»п»метричная часть',; тензора Т'», а Т]'~1 = — Т~~1 = 1Т'» — Т»'1/2 — антисим-,. метричная. Одним из наиболее важных тензоров второго ранга] является ковариантный метрический тензор д;».
Пред:„'-' полагается„что этот тензор является симметричным а определитель матрицы дс» всегда отличен от нуля, по:-".. этому по данной матрице д;» мы всегда можем построит '-„' ей обратную. 'Уензор д' соответствует матрице, обрат,", ной к матрице д]»; его назь]вают метрическим тензороЫ'; с контравариалтными индексами ~или, просто, контрава;: риантным метрическим тензором). Так как матрицы д»» и д'» взаимно обратны, то выФ полняется соотношение 1 Опригф]с, В тензорнам анализе обычно принимают правило сумми.",; рования Эйнштейна: по индексам, обозначенным одно ';, и той же буквой и стоящими един вверху 1контравари+' антный ии,лекс), а другой внизу 1ковариантный индекс'., предполагается суммирование по всей совокупности принимаемых данными индексами значений.
В силу этого правила, записывая выражение д;„А'"", мы подразумеваем, что по индексу п происходит суммирование от 0 до 3: з д;„А"» = ~~ д; А"». Это правило позволяет в ряде случаев значительно упрощать запись сложных тензорных выражений. В декартовых координатах инерциальной системы отсчета псевдоевклидова пространства-времени матрицы, соответствующие тензорам д;» и д'», совпадают: 1 0 ' 0 0 0 — 1 0 О 0 0 — 1 0 0 0 Π— 1 Четырехмерное пространство-время, у которого метрический тензор в декартовых координатах инерциальной системы отсчета имеет вид 131.1), называется пространством Минковского.
Используя метрический тензор, мы можем опускать и поднимать индексы и у других тензоров, и, тем самым, нахсдить связь между контра- и ковариантными компонентами одного и того же тензора. По определению имеем: Т,:,» = д,„Т"», Т,» = д;„д» Тв, (31.2) Т,'„= д'"Т„, Ть» = д™д»-Т.. (В) = д;АВ'В" = В'В;. (31.7) Т вЂ” Т т =Т о. (31.3); Т ь Т1ь 1. ТЗ. 188 специАльнАя 'теОРия ОтнОсительнОсти 1Гл. «х '1'ак как в определение тензора входит расположение и ':;, порядок следования индексов, то рекомендуется вакан- '! сии для индексов обозначать точками, чтобы при мно-::" гократном псднятии и опускании каждого индекса было:-.' наглядно видно его место среди других индексов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
