В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Предположим, что в пространстве распространяется плоская монохроматическая волна. 'Хогда из-за равноправия всех инерциальных систем отсчета, напряженности электромагнитного поля этой волны в системах отсчета К и К' будут иметь аналогичный вид: г Е = ЕоехР (~ ~м~ — (к г)) ), к Шс + (lй/ )Сс + Ра '/С2 32 ' 1 ()2 (37.2)- 214 опециАльнАя теогия Относительности (гл. с%:::„; Н = Ноехр [с[и( — (Й г)1 ) = — (1с Е), Е~ = Цехр1г[асУ вЂ” (1с г~))), )с~ = —, Н' = Ноехр1([м'г' — (1с' г')~) = —,()с' Е'), различаясь только наличием или отсутствием штрихов, =', Н силу преобразований Лоренца для полей (34.6) эти-' векторы будут связаны соотношениями: ЕоИ ехр й '4 — Ж г)] ) = Ео~( ехр (([а'(' — (1с' г )1 ) (37 1):-,с Н~)~ ехр 1([ьл — (1с г)) ) = Но~~ ехр 1([иУ вЂ” (гс г )) ), 1с [сгс-()с г)) ) ЕОь с ( с Но) 1с [сгс' — ()сг)) ) 1 — ъ с Но 1(с [сгс — ()с г)) НОЛ. + с Рс Ео) ((с [с >'с'-()с'г')~ ) 1 — % где, как обычно, знаки Й и (.
означают компоненты векто-;:";-", ра параллельные и, соответственно, перпендикулярные нл вектору относительной скорости. Так как соотношения (37.1) должны выполняться во,":;,. все моменты времени Ф и в любой точке пространства, то ';, показатели экспонент в правых и левых частях равенств ':,:-''~ (37.1) должны быть равны друг другу независимо от ве=" личины и направления относительной скорости: зАкОны пРВОБРАЭОВАния чАстоты 215 Сравнивая это выражение с законами преобразования (31.9) — (31.11) тензоров, несложно убедиться, что при преобразованиях Лоренца фаза плоской электромагнитной волны преобразуется как скаляр. Поэтому она и является скаляром при преобразованиях Лоренца.
Это обстоятельство позволяет нам установить геометрическую при)юду часГО'Гы и ВОлнОВОГО Век'ГОРБ,. Пусть, например, вектор относительной скорости Ъ' направлен вдоль оси Х. Тогда п~дст~вля~ соотношения (27.5) в правую часть равенства (37.2), получим: с с( — ()с г) = Ф вЂ” " е — й„р — й,з. Р2 сс1 Рг Так как это равенство должно выполняться в любой момент времени ( и в любой точке г, то отсюда следует, что при выбранных нами преобразованиях Лоренца частота м и компоненты волнового вектора )с плоской электромагнитной волны должны преобразовываться по закону: Разделив правую и левую части первого из равенств (37.3) на скорость света с и сравнивая полученные соотношения с законом (32.7) преобразования четырехвектора, несложно убедиться, что частота и волновой вектор образуют волновой четырехвектор к"', компоненты которого имеют вид: ра* (1 —,8 сов д) /1 Рз (38.2) 1 — /1 сов д (38.3) 216 специАльиАя теогия относительности [гл.
ач ,Опуская тензорный индекс у этого вектора, имеем: й„= ., 1АЕ = и/с,.—.1с1. Используя это выражение, соотношение (37.2) в декартовых координатах инерциальной системы::: отсчета можно переписать в виде скалярного произведе-:,': ния векторов Й„и я*'. вА — (1с г) = Й„х" = м'1' — (Й' г') = Й„'е'" = 1пе Построим теперь квадрат волнового четырехвекто- . с Так как в вакууме кз = ыз/св, то Й„1с" = О.
ТакиМ, образом„волнсаой четырехвектор является изотропным,' четырехвек тором. 3 38. Эффект Доплера и астрономическая аберрация Законы преобразования (37.3) частоты и волнового'" вектора позволяют исследовать ряд релятивистских эф-;; фектов. Одним из них является эффект Доплера. Для ис-; следования его характерных особенностей предположим,—.,' что в штрихсванной системе отсчета К' помещен источник электромагнитных волн с собственной частотовгг ы~ = ив. Будем считать, что вектор относительной ско';::: рости У направлен вдоль оси Х, а вектор 1с' расположен " плоскости ХОУ'.
Тогда из последнего соотношения (37,31 следует, что й„, = й', = О. Поэтому и вектор к будет раа."," положен в плоскости ХОУ. Обозначим углы, которы составляют векторы Й и Й' с вектором Ъ', через д и, 3 З81 эФФект доплеРА и АстономическАЯ АееРРАция 217 ответственно, д': 1сх = Йсовд, Йв — — ЙЕ1пд, Й' = Й'совд', Йд — — Й'в1пд'. (38.1) Запишем формулы, обратные формулам (37.3): Подставляя сюда выражения (38.1) и учитывая, что й = ы/с, Й' = ы'/с, получим: (сов д —,8) и'совд' = м, ~'в1пд' = мв1пд. /1 ф2 Первая из этих формул дает эффект Лоллвра — изменение частоты электромагнитных волн при движении приемника относительно их источника.
Предположим, что в движущейся инерциальной системе отсчета покоится источник электромагнитного излучения, частота которого в этой системе отсчета равна и ' = ыв. Подставляя ~ ' = ыв в выражение (38.2), найдем частоту ~, измеряемую в лабораторной системе отсчета в зависимости от направления распространения электромагнитной волнье Исследуем эту формулу. для наблюдателей, находящихся в лабораторной системе отсчета, на оси Х угол д = О 218 специАльнАятеогияОГнОсиГельнОсти [гл.п/ ,или 7Г) в зависимос'Ги От того~ приближзеГСЯ к ним или в удаляется от них источник излучения.
В первом случае (о = О) измеряемая в лабораторной системе отсчета ча- ': стота со будет больше частоты м' = ыо. (7+ р оЧ = ыо~ — ~ ыо, а во втором (д = з.) — меньше мо.. Это так называемыи продольный эффект ДопАвра При .: малых скОрОстЯх (,9 « 1) выражения длЯ м1 и мз в линейном приближении по ~3 совпадают с соответствующими выражениями для эффекта Доплера, установленного в нерелятивистской физике: о1= ~о(1+Р), я = о(1 — Р) Однако, в отличие от нерелятивистской физики, специ-,: альная теория относительности предсказывает существование и пперечноео доперовсноео эффекта, когда вол-::;. новой вектор 1с' электромагнитной волны перпендик ля- У рен вектору 'Ч.
В этом случае о = я/2 и из выражения ':.',:; (38;3) имеем ю = 4~оЪ~~ Р < о~о. Так как для наблюдения поперечного эффекта До- '? плера требуется скорость движения источника, сравни- '.:. мая со: скоростью света, то этот эффект после его пред- " сказания достаточно долго не имел экспериментального "..' ~ 381 эв эект поплкгА и Астономичкскля Аекгглцня 219 подтверждения. И лишь в 1938 гсду в экспериментах с канеловыми лучами американских физиков Айвса и Стиуэлла этот эффект был обнаружен и исследован.
Найдем теперь при каких значениях угла до измеряемая в лаборатории частота м совпадет с собственной частотой мо излучения движущегося источника: м = юо. Подставляя в это равенство выражение (38.3), получим: 1 р' 9= — 1 — 1 — д' = <1. 9 1+,/1: Р Таким образом, при ~9 ф О частота м измеряемая наблюдателями, находящимися на поверхности конуса д = оо = агссое ~ф/(1+ Ч'1 — ~Зз)1 < зг/2, ось которого совпадает с направлением вектора 'Ч, будет совпадать с собственной частотой мо движущегося источника, электромагнитных волн. Для наблюдателей, попавших внутрь конуса о = оо, измеряемая частота м будет превышать ио, в то время как для наблюдателей, находящихся вне этого конуса, измеряемая частота м < ио. Доллер-эффжт в настоящее время считается надежно проверенным предсказанием специальной теории относительности.
Поэхому он нашел широкое применение для измерения скорости движения различных обьектое от автомобилей и самолетов до звезд и галактик. Соотношения (38.2) позволяют установить и заков преобразования углов, составляемых волновым векторон электромагнитной волны и вектором относительной ско рости Ч двух инерциальных систем отсчета. Так как з вакууме поток энергии электромагнитной волны распро страняется вдоль волнового вектора этой волны, то это~ угол совпадает с углом между электромагнитным лучоз и вектором Ч. 220 спвцияльняя твовия относительности ~гл. 1ч ': Для нахождения законов преобразования этих углов .
при.перехсде из сдной инерциальной системы отсчета'к ' другой псцставим первое соотношение (38,2) во второе.',„ и третье..Тогда после сокращения общих множителей-: получим: ~ д — Р ., в1пд.„/~ —,дз совд =, вшд = " ~ . (384).';: 1 — ~Зсовд' 1 — ~3совд ..Обратные'преобразования можно получить из этих вы- ",',:. ражений.по общему правилу, заменив Ъ' на — Ъ', убрав;-'.-'; штрихи там, где они есть, и поставив там, где их нет: совд'+ ~3 . вшд' là —,дз совд.= ., в1пд = " . (38.о) ';: 1+ ~3 сов 6 ' 1+,В сов д' Из формул (38.4) и (38.5) следует, что сцин и тот же луч," света в: разных инерцивльных системах отсчета будет на- ', блюдаться под разними углами к вектору относительной:: скорости ~.
Этот эффект в научной литературе получил название асвзроиовичесной аберрации, так как впервые был замечен при астрономических измерениях углового положшсия .звезд на небесной сфере еще в ХУП1 веке. Углом аберрации принято называть изменение угла, под которым наблюдается луч, при переходе от сдной инерциальной системы к другой. Земля с большой точно- ' ) стью представляет собой инерциальную систему отсчета, вектор скорости которой относительно центра масс Солнечной системы очень медленно изменяет свое направление. Через полгода этот вектор изменяет свое направление на противоположное. Поэтому угловые положения звезд на небесной сфере, измеряемые с Земли, через каждые полгсда должны 3 391 чвтыгвхввктогы скогостн н ускогвння 221 изменяться на некоторую величину. Действительно, рассмотрим, например, Полярную звезду.
Ее лучи в инерциальной системе отсчета, связанной с центром масс Солнечной системы, составляют с вектором скорости Земли У' угол д я/2. Этот угол, измеряемый на Земле, будет отличаться от угла д = я/2 на угол аберрации Ьд. Поэтому выражения (38.4) в рассматриваемом случае дадут: сов — — Ьд~ = в1п Ьд = —,О ~2 l вш ~~ — — Ьд) = сов Ьд = ~/1 —,92. ~2 Так как Земля движется по орбите со скоростью и— 30 км/с, то отсюда получается, что Ь д — 10 4 радиан 20 угловых секунд. 3 39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
