В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Мощность излучения быстро движущегося заряда в зависимости от скорости и ускорения Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в лабораторной системе отсчета со скоростью ъ, сравнимой со скоростью света: и с. Найдем количество энергии, излучаемой этой частицей в единицу времени, т.е. полную интенсивность Х. Для этого перейдем сначала в мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчета, т.е. в штрихованную систему отсчета, в которой в интересующий нас момент времени частица покоится в начале координат. Так как частица предполагается движущейся с ускорением, то в следующий момент времени в штрихованной системе отсчета она приобретет малую скорость у' « с и покинет начало координат.
Очевидно, что в этой системе отсчета движение частицы некоторое время будет 3 441мощность излу чвния в злвисимооти от ускоувния 249 нерелятивистским. Поэтому основной вклад в ее излучение будет вносить электрическое дипольное приближение и выражение для полной интенсивности будет иметь вид сК' 2<0 ~ 2дзг' з 2дза' з 1' = — — —— Преобразуем эту формулу, чтобы наиболее, наглядно вы- явить ее тензорную природу где Е~ — энергия, уносимая электромагнитным излучени/ ем. Так как сК~~ — — спр'~, сй' = сЬ'~, то получим Из этого равенства следует, что общая формула должна иметь вид 2 с~р' = — а дх '. (44.2) Зсэ Действительно, при г = 0 отсюда получим выражение (44.1), а при ~ = 1, 2, 3 соотношение даст закон изменения импульса электромагнитного поля 2дза' ~, 2дза' ~ гр' = 1г' = — кЖ'.
Зсэ Зсэ , где р~ — импульс, уносимый электромагнитным изпуче- .. .нием. 259 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ ~ГЛ. Ч 3 441мошность излучвния в зАИИСИмости от ускоРвния 251 Так как при нерелятивистском движении О' « с, то с~41р'~ < < сК' и величиной уносимого импульса можно пренебречь, что мы и делали в 3 21 при расчете электрического дипольного излучения. Однако признать выра.жение (44.2) четырехмерным тензорным пока нельзя, поскольку в него входит квадрат трехмерного ускорения.
Поэтому перепишем выражение (44,2) в виде 2 з 41РН = — /41х ', Зсз (44.3) где неизвестная скалярная функция / должна быть построена нами из кинематических характеристик частицы и при е' « с иметь пределом / -+ а' ~, Составляя различные инварианты (скаляры) из четырехскорости частицы и'~, четырехускорения 4Р'~, четырехвекторов сйР' /ОЬ, О'ю'~/~Ь~. и т.д., несложно убедиться, что скалярная функция / может иметь только единственный вид: / = — с4ш'"ш„'. Действительно, так как при Р' « с функция / не содержит производных выше второй (/ -+ а' 2), то для построения скаляра / использовать можно только четырех- векторы и'~ и 4Р' (сЬс' /Иэ и 0~и~'~/4Ь~ содержат да'/~П' и другие высшие производные).
Из четырехвекторов и'~ и и' можно построить три СКаЛЯРа: И'~иью Ю'~иь~ И 4Р'~Ю~~,. НО ТаК КаК ДЛЯ ЛЮбОй Маесивной частицы и и~~ — — 1, 4Р иь~, — — О, то нетривиальным й ". 'г» является только третий из них. При и' « с, как следует из выражений (39.5) и (39.7), ш'~и~, — — — а™/с4. Поэтому скаляр 4Г'~и~ должен входить в функцию / линейно и с коэффициентом — с4. Таким образом, формула, определяющая энергию и импульс, уносимые электромагнитными волнами„долж- на иметь следующий четырехмерный вид 2 з Зс (44 4) Теперь воспользуемся физической эквивалентностью различных инерциальных систем отсчета: так как в штрихованной системе отсчета искомая формула записывается в четырехмерном тензорном виде (44.4), то в нештрихованной (лабораторной) системе отсчета, где скорость частицы уже может быть сравнимой со скоростью света, эта формула должна иметь тот же тензорный вид, только у всех входящих в нее величин будет отсутствовать штрих: ~Р' = — — и и~ьсЬ*.
(44 5) Зс Используя это выражение, исследуем потери энергии и импульса релятивистской заряженной частицей на электромагнитное излучение. Учитывая соотношение (39.6), при г = 0 из выражения (44.5) получим ИЯу 2д~ ( аз (а ч)з сй Зсз ( (1 —,У)з сз(1 — Рз)з 1 При 4 = 1, 2, 3 имеем Нру 2д~ ( а~ (а ч)2 1 ч т'= — 3,.~(,,),.„,.) ~-,- Из этих выражений следует, что при движении частицы с заданным ускорением а потери энергии и импульса на электромагнитное излучение максимальны при (45.1) |1~ 24г(его — (Г )г) (45.2) Й Зтгсз(1 — ?9г) 252 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ |ГЛ. Ъ" параллельных векторах скорости и ускорения и оказываются пропорциональными шестой степени лоренцевского фактора Г = 1/ /1 —,У: |1с/|Ы Ге, |1р/с(| Г6.
Если векторы скорости и ускорения перпендикулярны, то дс/|й и |1р/|1| оказываются пропорциональными только четвертой степени лоренцевского фактора Г. З 45. Мо|цность излучения заряда, быстро движуп|егося во внешнем электромагнитном поле Предположим, что частица с зарядом д и массой т движется в заданном электромагнитном поле Е и Н. Тогда на нее со стороны этого поля действует сила Лоренца Под действием силы г" релятивистская частица, как мы видели в З 42, приобретает ускорение (42.9): Подставляя это выражение в соотношения (44.6) и (44. 7), после несложных преобразований получим ~р 2дгч(сгрг (Е,,)г) |11 Зп?гсб(1 — ?3г) Из этих выражений следует, что под действием заданной внешней силы излучательнэя способность частиц обратно пропорциональна квадрату массы частицы. Поэтому 5 4в1 ПЛОТНООТЪ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 253 излучательная способность электронов при движении в одном и том же внешнем электромагнитном поле в 4 10 раз выше, чем у протонов.
Исследуем теперь зависимости ||су/|Г| и ||ру/й от лоренцевского фактора Г. Если релятивистская частица движется перпендикулярно вектору внешней силы, то (Е ъ ) = 0 и из выражений (45.2) следует, что потери ею энергии и импульса на излучение оказываются пропорциональны квадрату лоренцевского фактора.
Если релятивистская частица движется вдоль векторавнешней силы, то(Е Р)г = Ггс~ иизвыражений(45.2) следует, что потери энергии и импульса на излучение не зависят от лоренцевского фактора. З 46. Плотность функции Лагранжа для электромагнитного поля при заданном движении источников Действие О' для заряженной частицы, находящейся в заданном электромагнитном поле, как мы видели ранее, состоит из двух частей: где О'„ — часть действия, зависящая только от свойств частицы (ее мэссъ| скОрОсги), а 5?~«| — часть деиствия описывающая взаимодействие между полем и частицей и зависящая как от характеристик частицы, так и от четырехпотенциала А; электромагнитного поля.
При наличии нескольких заряженных частиц, находящихся во внешнем электромагнитном поле, их'общее 254 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ЛЕЙСТВИЯ 1ГЛ. Ъ' действие равно сумме действий для каждой частицы: Я = — Т / А — Т вЂ” /А ь~. 146.11 ~~,1 а,1 1,1 2,1 з с,/ (46.2) описывающий свободное электромагнитное поле.
При получении уравнений движения заряженных частиц в заданном внешнем электромагнитном поле этот член нас не интересовал,так как он не зависел от характеристик заряженных частиц. Однако, для вывода уравнений электромагнитного поля он становится одним из центральных объектов. Так как в декартовой системе координат инерциальной системы отсчета ~/ — д = 1 и метрический тензор имеет вид (31.1), то плотность лагранжиана свобсдного электромагнитного поля Е~, входящая в выражение (46,2), может зависеть только от функций поля А; и их частных производных.
В теоретической физике все эти возможности были исследованы и полученные результаты можно сформулировать следующим образом. Если мы хотим получить калибровочно инвариантные уравнения для электромагнитного поля, содержащие ча,стные производные не выше второго порядка, то плотность лагранжиана А",7 должна быть функцией только Если теперь рассматривать электромагнитное поле не в качестве заданного поля, то в выражение (46.1) следует добавить член з 46] ПЛОТНОСТЬ ФХНКЦИИ ЛАГРАНЖА 255 двух независимых инвариантов 14 = Р1АГ~"Г~„,Г ' и 72 — 'Г1 -Г При произвольной зависимости.Су от Хз и 14 уравнения электромагнитного поля будут нелинейными.
Как известно, электродинамика Максвелла в отсутствие вещества является линейной теорией. Ее предсказания по самому широкому кругу вопросов, не затрагивающих субатомный уровень, постоянно подтверждаются со все возрастающей точностью. Построенная на основе электродинамики Максвелла и дополненная процедурой перенормировок квантовая электродинамика также хорошо описывает различные субатомные процессы и, по об1цему мнению, представляет собой одну из наиболее добротных физических теорий. Поэтому, казалось бы, нет никаких оснований рассматривать нелинейные варианты электрсдинамики в вакууме. Однако из фундаментальных физических соображений следует, что электродинамика в вакууме должна быть нелинейной теорией.
Эксперименты по неупругому рассеянию лазерных фотонов на гамма-квантах, выполненные в 1997 г. в Стэнфорде, подтвердили этот вывсд. Поэтому различные модели нелинейной электродинамики вакуума и их предсказания, доступные проверке, заслуживают самого серьезного внимания. Однако, при достижимых в земных лабораториях полях В, Е 10 Ес, которые значительно меньше харак- а терного квантовоэлектрсдинамического значения В4, нелинейные поправки к уравнениям Максвелла настолько малы, что наблюдать эффекты, вызываемые ими в вакууме, очень и очень непросто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
