В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Четырехвекторы скорости и ускорения В механике Ньютона одними из важнейших кинема- тических величин являются скорость и и ускорение а материальной точки. Переходя к изучению релятивистской механики, выясним, как можно обобщить зти понятия на четырехмерный случай. Начнем с четырехвектора скорости. Отметим прежде всего, что три компоненты вектора к не могут быть объявлены трехмерными компонентами четырехвектора и' = (и~,и,и,и~). Действительно, если бы выполнялись соотношения 222 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ О'ГНОСИТЕЛЬНОСТИ сГЛ.
СУ , то при пеРехоце из одной инерциальной системы отсчета к другой в силу закона (39.1) преобразования четырех- вектора „о и +/3и", ил+/1и'в Л:Р' ";/Г-р ' " =' ' " =" компоненты трехмерной скорости т преобразовывались бы по закону: е,' .)- е~ ~ С ав Р нвсвая эти законы с релятивистским законом сложения скоростей (29.3)г несложно убедиться, что никаким .
выбором и~ в выражениях (29.3) и (39.2) не свести одно к дРугсзму. Поэтому соотношения (39.1) не могут связыватв компоненты трехмерной скорости с трехмерными компон мпонедтами четырехвектора скорости. БО.ЛЕЕ ее последовательным способом построения четыРехвек'Аора скорости и' 'является следующий. Рассмо. трим дифференциал сЬ'. Как показано в 3 31, он представляет собой бесконечно малый контравариантный четырехвек ыр ектор. Для получения из него конечного четырех- вектора нам'необхсдимо разделить сЬс на дифференциал каксз ого-то универсального скаляра. Как мы видели, в прострьнстве Минковского таким дифференциалом является и2ктервал сЬ.
Повтому с геометрической точки зрения и' = Нх'/сЬ б дет У тхредставлять собои четырехвектор. Однако квадрат иьзтервала может быть отрицательным, равным нулю и и:оло оложительным, в зависимости от рассматриваеьпях событий. Четырехвектор и' будет вещественным ~ зэ! четыРехвектОРы скОРОсти и ускОРения 223 векторон, компоненты которого принимают конечные значения, если и только если ссв ) О. Используя опреде- 2 ление (31.5), это условие в декартсэвых координатах инерциальной системы отсчета запишем в виде: дственно следует, что четырех тор и' = ссх'/ав можно использовать только для описания частиц, скорость движения которых не превышает скорость света: и < с. В дальнейшем мы, не оговаривая особо, будем предполагать выполнение этого условия. Выразим компоненты четырехвектора и' через компоненты трехмерной скорости у = с1г/сй в инерпиальной системе отсчета,.
Пля этого учтем соотношения и2 Ь,2,Ы2 дгз=с 1- — а, Нх =Ихх=сй,дг). В результате получим: ссх' о и'= — =1и = — =, и= = — — )' / в2 с 1 — р (39.3) Зтот четырехвектор в научной литературе получил нв; звание чегпырехвеитора сиорос2пи. Следует отметить, что четырехвектор и' безразмерен. Поэтому для получения величины с размерностью скорости, его необходимо умножить на скорость света.
При малых скоростях движения, когда можно пренебречь величиной гэ/с2, соотношение (39.3) принимает вид: ( о с 324 с.'пвциАльнАЯ теОРия ОтнОсительнОсти [гл, си Отсюда следует,. что только при ия « с2 трехмерная часть > ~егырехвектора. си' перехсдит в три компоненты вектора чсНай22ем теперь квадрат четырехвектора ц'.
Используя опре,деления (31.'4) и (39.3), несложно установить, что в любой системе Отсчета й ' с1 ь. дьс[хсс[хь и~22 У[ь = У[2 сЬ сЬ ЕЬ сЬ2 = — = 1. таК22М. Образоы, Квадрат четЫреХВеКтора СКороСти для люб;зй мсасснвной частицы не зависит от величины ее ридй скорости (при условии, что ц < с) и равен еднщще, В:.сзсра>ведливости Ох>тношения с[вьиси = 1 в инерциальН4зй системе отсчета можно убедиться и непосредстие>нНО, 22ОДстааняя В вмряО2[ение д[Ьи[и" = (ие)2 — П2 яаныи внй (39.3) компонент четырехвектора скорости. 'Хак как квадрат четырехвектора скорости положителен, то ои является временипсдобным вектором.
При перехсде из сдной инерциальной системы отсчета и другузо инерциальную систему отсчета, движуп[ук>ся Относительно первой со скоростью $', направленной вдоль с2сзк Х> компоненты четырехвектора скорости, как и коыпоненты любого четырехвектора, преобраз1 ются по закойус ио — [> ц~/с >2 2 и =и ' — р О~ 2 39] четыРехвектогы СИОРости и ускОРения Разделим последние три равенства на первое.
В резуль тате получим: ц' и ' ' и[ — рис~с и и~ — Ъ"и'/с' ц 1 —— 2 >>с ц с ц с цо 1>.ц[~ > 1 > Д З [2 ~с с с ц >с> цс — 1>'и[/с Псдставляя в правые части соотношений (39 4) в ния для компонент четырехвектора скорости (39,3), приходим к релятивистскому закону сложения скоростей: [2 ц 1 —— Р сс Ю 1 — У»- с ц, 1 — Я с2 Этот результат еще раз свидетельствует о том, что специальная теория относительности является самосогласованной теорией и внутренне не противоречивой. Построим теперь четырехвектор ускорения ц>'. Для этого продифференцируем четырехвектор скорости по сЬ и рассмотрим полученное выражение ц>' = с[и'/сЬ.
Учитывая, что в декартовых координатах инерпиальной системы отсчета справедливо соотношение 1 с >>2с,>, > .* с> с ь с ь — (дсьи и ) = 2дсьи ю = О. сЬ а (азс)ч сз ~1 — яя) .4 ~1 в~) дсьи'и" = и'сР— (пи) = О. 226 спвциАльнАя твория относительности !гл.
си и используя явный вид (39.3) компонент четырехвектора скорости„будем иметь. и~' = '(цР,зсс~, иР =, (39.5) (а~с) "('-й где а =.сЬ/Й вЂ” трехмерный вектор ускорения. При малых скоростях движения, когда величиной и/с можно пренебречь, зтот четырехвектор принимает вид: ссс '.'(сид О.зс~' а~сз) Найдем ксвадрат четырехвектора ускорения. В декартовых координатах инерциальной системы отсчета из выражения (39.5) получим: а~ (ач)~ '('-"')' "('- )'„ Так как квадрат четырехвектора ускорения отрицателен, то зтот четырехвектор является пространственноподобнйм.
При малых скоростях и сс. с выражение (39.6) дает: а Ш.сс' = — —. с (39.7) ,И, наконец, построим скалярное произведение четырех:, векторав скорости и" и ускорения и '. Пля зтого прскснффдренцируем выражение д;у,и'иь = 1 по сЬ. Учитывая, з ЗЩ чвтыРвхввкторы окогости н ускогвния 227 что метрический тензор (31.1) является симметричным и в декартовых координатах инерциальной системы от- счета его компоненты не зависят от координат и времени, будем иметь: Таким образом, четырехвекторы скорости и' и ускорения и' являются взаимно ортогональными векторами. Это свойство аналогично известному свойству трехмерных векторов: если квадрат трехмерной скорости и постоянен по величине, то вектор ускорения а ортогонален вектору скорости: (ка) = О. Следует отметить, что в справедливости соотноше- ния можно убедиться и непосредственно, псщстевляя в выражение (39.8) компоненты (39.3) и (39.5) четырехвекторов з 40] ОснОВные постулАты пгинципА 220 ГЛАВА Ч ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ ~ 40. Основные постулаты принципа стационарного действия В настоящее время вариадионный принцип стационарного действия стал основным способом построения теорий различных физических полей и уравнений движения' частиц.
Ключевыми моментами этого принципа являются два утверждения: а) каждая физическая система может быть охарактеризована некоторой функцией от обобщенных координат фФ) и их'производных от времени, так называемой функциеи Лагранжа Х~ ЦЩ(1), Щ(М),, $)~ с пОМОщью кО'ГО- рой можно построить функцию действия О' (или просто, действие): (40.1) б) истинное движение системы в промежутке време- .',,"' ни от Ф1 до 1з соответствует такому виду обобщенных '- функций ц;(Ф), для которого функция действия (40.1) при-, нимает стационарное значение, в результате чего вариа-:,,'-. ция фуйкции действия должна обращаться в нуль: 0О =О. (40.2);, Размерностьдействия Яравнапроизведениюразмерностей энергии и времени.
С точки зрения математики действие представляет собой функционал, ставящий в соответствие каждой зависимости и;(1) определенное число. Поэтому, если мы имеем два состояния системы: начальное, характеризуемое значениями обобщенных координат системы ц;(Х1), и конечное д;(Хя), то каждой из зависимостей д;(1), перевсдящей начальное состояние системы в конечное, допускаемое связями, будет соответствовать свое вполне определенное число. Среди всех возможных зависимостей д;(1) имеется одна, которая реализуется при действительном движении системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
