В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В качестве таких соотношений наиболее естественно выбрать выражения, связывающие на- -'' пряженности полей Е и Н с потенциалами электромагнитного поля: твкзОР элвктгомАГнитного поля 197 Действительно, так как в выражения (33. 1) входят потенциалы электромагнитного поля, тензорная природа которых нами уже установлена А' = (А = у, А~» А» —— (Ас = у, — А), а также операторы дифференцирования по координатам и времени, то, представив правые части в явных тензорных обозначениях, мы, тем самым, установим тензорную природу и левых частей. Запишем, используя определения (33.1), выражение для компоненты Н,: дА, дА„ Н ду дз Учитывая, что у = х', з = хз, Аз — — А' = — Аз, А, = Аз = — Аз, это соотношение мы можем представить в дАз дАз Н = — з — †', и Н х дхз дхз дхз дх' Но с точки зрения тензорной алгебры последнее из этих соотношений является неправильным, так как содержит два члена,, индексы которых имеют существенно разное расположение: у первого члена индекс 3 является контра- вариантным, а индекс 2 — ковариантным ~, в то время как 1) 11 Индексы, стоящие у дифференциалов координат в выражениях для частных производных, для всего выражения являются ковариантными.
Это непосредственно следует из того, что при преобразованиях координат выражение д~дх', в силу принятых правил дифференцирования, преобразуется по закону ковариантного 4-вектора. 198 специАльнАя теОРия Относительности !Гл. !у ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 199 у второго члена они расположены наоборот.
Так как в:;:, определение тензора входит порядрк и расположение ин-:,- дексов, то эти два члена имеют разную геометрическую: прирс!пу и производить их алгебраическое сложение не-,' льзя, тькже как нельзя, например, производить сложе-":: ние двух тензорав Аь~ + В,". Поэтому для Н~ остается'-;: единственное представление, согласующееся с правила-" ми тензорной алгебры: дА~ дАз Н дхз дх~ дАь дА; р.ь = — — —. дх! дхй ' (33.2) В этой связи возникают два вопроса: в какой геометрический объект вхсцят напряженности электрического поля и что дают компоненты тензора Р;ь, когда с!Лин из индексов равен нулю. Оказывается, что на эти два вопроса ответ сдинт компоненты тензорь Рц, при ! = О, Й = О и ! = ст, !т = 0 дают как раэ все компоненть! вектора Е.
Так как справа имеются два свободных (по ним нет сум-::. мирования!) ковариантных индекса 3 и 2, то компонента:: Нт, очевидно, должна быть компонентой некоторого ко-:., вариантного тензора второго ранга. Обозньчая этот тен- --,'-, зор буквой г', мы можем записать: Н = Рзг. Поступал '',: аналогично, несложно установить, что Нэ — — .Г"тз, Н, = Ез!. Таким образом, компоненты вектора Н не являют- ' ся пространственной частью какого-либо четырехвекто- .:;.:' ра, ь представляют собой пространственные компоненты,' тензора второго ранга: др 1 дА Х дх с дг Совершенно аналогично можно установить, что Ргг —— Еэ .Гоз = Е,. Таким образом, компоненты векторов Е и Н с точки зрения четырехмерного пространства-времени не являются независимыми друг от друга величинами, а представляют собой различные компоненты тензорь второго ранга (33.2). Этот тензор в научной литературе получил название тлеиэара элеятпромагнитпного т!о~ы.
Изучим тензор электромагнитного поля подробнее. Из определения (33.2) следует, что этот тензор является антисимметричным, поскольку при перестановке индексов ! и Й он изменяет знак: К!, = — Гы, причем при ! = Й соответствующие компоненты его равны нулю. Отсюда следует, что из шестнадцати компонент тензора электромагнитного поля независимыми являются только шесть, по числу компонент векторов Е и Н. Если представить тензср .р";ь в виде матрицы, строки которой нумеруются первым индексом тензора поля, а столбцы — вторым, то будем иметь: Л' Е 0 — Н.
Н, 0 Ех 0 Н, — Нэ (33.3) Для того, чтобы в этом убедиться, запишем выражение (33,2) при 1= О, Й = 1; дА! ОАо .Гг! = —— =д* д учитывал соотношения х = СФ, х! = х, х~ = у, хз, = г и о А1 = (Ас = ~а, — А), Отсюда получим: 200 специАльнАВ теоРия 'относительности [гл. 1Р Поднимая индексы у этого.тензора с помощью устано- ' вленного в 3 31 правила: псднятие нулевого индекса не ": изменяет знак у этой компоненты, а поднятие простран-: ственного индекса изменяет знак на противоположный, . несложно установить, что (33.4) Соотношение (33.2), связывающее тензор поля Е;ь с четырехпотенциалом А;, также как и соотношения (33.1), допускает проведение калибровочного преобразования, оставляющего тензор электромагнитного поля инвариантным (неизменным).
Это преобразсвание имеет вид: А; =А'; — — '. дДг, й) д' ' где Дг,.з) — произвольная дважды дифференцируемая по своим аргументам функция, Используя это преобразование, всегда можно добиться, чтобы четырехпотенциал удовлетворял условию Лоренца дА' — =О дж' 0 Е К 0 Вз — Н, Е, Н„ Π— Е Е о ЖВ Н .Е, -Нз Я Н, а — Н з 34] зАкОны пРеОБРА3ОВАние ВектОРОВ пОПЯ 201 позволяющему существенно упростить решение многих задач электродинамики. 3 34. Законы преобразования векторов поля Установив тензорную прирсду компонент векторов Е и Н, мы, тем самым, получили возможность находить законы их преобразования при различных преобразованиях координат и времени. Для нас наибольший интерес, естественно, представляет закон преобразования векторов Е и Н при преобразованиях Лоренца.
Найдем этот закон. Для этого запишем сначала общий закон преобразования тензора второго ранга: д*"д" р' — р дх" дх'" (34.1) Так как и лабораторная, и штрихованная инерциальиые системы отсчета являются физически эквивалентными, то в штрихованной системе отсчета связь компонент тензора Р'А с компонентами векторов Е' и Н' может быть представлена матрицей, аналогичной матрице (33.3): О .Е' Е„' .Е,' — ~е Н' О Н' Поэтому для получения законов преобразования векторов Е и Н необходимо произвести перебор шести значений индексов 1 и Й в выражении (34.1), соответствующих шести компонентам векторов Е и Н.
Для этого запишем преобразования Лоренца (27.6) в индексной форме: о я +~* з * +Р~ з а з ~з ж = ~ Ж =, ж =х 1 т =х /~ Дз ' ~;) фз 202 спвциАльнАя твОРия ОтнОситкльнОсти )Гл. Составим всевозможные производные от нештрихов ных коордииат по штрихованным.
Ненулевыми из будут: дхо дх1 дхРо дхР1 /Г т23 (34.$ )9 дх~ дх' дх /1 34 ' дх)4 д Рз Полагал в выражении (34.1) 3 = О, Ре = 1, будем иметь: дх" дх Ео1 = д~)о д Л Е Раскроем суммирование по индексу т в правой часта= этого равенства и учтем ссютношения (34.3). В резуль-''Р) тате получим: дх" ~ дх дх' дхз дх' Ро1 = — ~ — Р*о+ — ЕН1+ — Е з+ — Е дхРо Ьх'~ дх" дхл дхР' з )9 дх" 1 дх" Раскрывая оставшееся суммирование по индексу и, при- ' ходим к равенству: го~ = го1.
Из выражений (33.3) и '- (34.2) для матриц Е;е и Р!~ следует, что Ео1 — — Е„', Ео1 — — ' Е . Поэтому при г = О, 1с = 1 имеем: Е' = Е . Совершенно аналогично можно найти формулы пре- '-:; образования и для остальных компонент векторов Е и Н.
;' В результате будем иметь: ЕР— Е Н' =Н„ ЕР—,ВН„Р Нз + )3Е, 4РР— )Р " 4Рà — 3 )34.4) Е,+~3НР Р Н,— ДЕР ~ зэ ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 203 ° ) Н~, = Н'~р Н,4 4)ЕЕ') Р Е1 — Е)р е', —,-')ен') (34.6) Из этих выражений видно, что, подбирая соответствую- щим образом инерциальную систему отсчета, в ряде слу- чаев можно значительно упростить выражения для полеи Е и Н в этой системе Отсчета. '3' 35. Инварианты электромагнитного поля Как следует из выражений (34.5) и (34.6), при преоб азованиях Лоренца величина и направление векторов р Е и Н могут существенно изменяться.
В этой связи возникает вопрос: а есть ли какие-то величины, построенные из полей Е и Н,которые при преобразованиях ко- ОР динат и времени не изменяются, т.е. являются инс вариантными тными (неизменными) во всех системах отсчета. Соотношения (34.4), связывающие компоненты полей в системах Х и Х'3 несложно записать в векторном виде, позволяющем рассматривать инерциальное движение в произвольном направлении. Обозначая компоненты полей Е и Н, параллельные вектору относительнои скорости 3Р, через Е~~ и Н~~ соответственно, а перпендикулярные компоненты — через Е ) и Н ), будем иметь: Е~~ — — Е)), Н~)~ — НРО Е4 -,'- 4)УН), Н4 — -')\'Е) )34.3) Е' =, Н4 —— ,РГ-ЕЕ ' ' 3-3 Обратные преобразования получаются из этих формул по общему правилу: 204 спецнАльнАя теоРня Относительности (гл. (' Оказывается„что такие величины есть и их бесконе много.
В качестве таких инвариантов может быть вз " любой скаляр, построенный из тензоров поля. Введем некоторые определения. ))(-Ой степенью тМ зора Рв» мы будем называть тензор второго ранга Р( . ) ВВ ВВВ+Ав построенный из ))( тензоров Р;4, все индексы которых и-,': следовательно свернуты за исключением первого индек " у первого тензора и последнего индекса у последнего тей%. зара: = Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
