В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Р4" Р . Р'~-~юР ,( Ав) ввввв Ьв вввр ВА 14 ° ВАВ ВАВ+ в ° ав Сворачивая оставшиеся индексы в этом выражении.',:.' получим скаляр, который будем называть инвариантом;: электромагнитного поля Ю-го порядка: Р( ) вв(ньв вв ввв+ Легко убедиться, что из-за антисимметрии тензора Р,ь =,' — Р)в;, четные степени этого тензора будут симметрич- .: ев(2вв~) (2в"в') ными (Р,.„,л+, = Р;, „,), а нечетные степени — анти- '„ ввв д является симметричным, то несложно убедиться, что, инварианты электромагнитного поля нечетных порядков -', тождественно равны нулю. Поэтому отличными от то- .,',',. ждественного нуля могут быть только инварианты элек- ":.' тромагнитного поля четных порядков: Х4 = Рв')в Р Р4ввв Рм™ Х6 = РвЬ Р Р~ Рп™Р РР В Л"в) ИНВАРИАНтЪ| ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 205 Все эти инварианты не зависят от выбора не только инерпнальной, но и неинерциальной системы отсчета: в любой из них каждый инвариант остается неизменным. Однако не все из них являются независимыми.
Как можно показать, среди бесконечного числа инвариантов электромагнитного поля четного порядка несколько инвариантов являются независимыми, а все остальные могут быть выражены через них. Число независимых инвариантов для произвольного тензора зависит от числа измерений Ю пространства-времени, совпадал с ним для случая симметричного тензора и равняясь (Ф/21 — целой части от половины размерности пространства-времени в случае антисимметричного тензора. Так как тензор электромагнитного поля является антисимметричным, а размерность пространства-времени равна четырем, то независимых инвариантов электромагнитного поля всего два.
Б даже если бы вдруг обнаружилось пятое измерение, это число не изменилось бы, что свидетельствует об определенном "запасе прочности " электродинамики по отношению к изменению размерности пространства-времени. Таким образом, в качестве независимых инвариантов тензора электромагнитного поля можно выбрать любые два из бесконечной совокупности (35.1) инвариантов. Очевиднов что наиболее простой случай реализуется, если в качестве независимых инвариантов выбрать инварианты низшего порядка Х2 и Х4. Х2 = Р;ьРыв Х4 = РввьРЫРв Р '.
(35.2) Ис льзуя представления (33.3) и (33.4), р~скрывая суммирование в этих выражениях, после несложных, но весьма громоздких вычислений можно найти явную зависимость инвариантов Х2 и Х4 от векторов полей Е и Н в 206 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ О'ТНОСИ'ГЕЛЬНОСТИ [ГЛ. ДЭД(, декартовых координатах инерциальной системы отс та: Х =2(Е' — Н'), Х, =2(Е' — Н')' + 4(ЕН)г Сравнивал эти выражения, легко заметить, что инвар ант ХА ссдержит инвариант Хг как свою составную част ' ХА = -Хгг + 4(ЕН)г 2 Поэтому в декартовых координатах инерциальной систе'':,: мы отсчета в качестве независимых инвариантов элж-.
тромагнитного поля можно взять более простые выра, .7д — — Š— Нг, .7г — — (ЕН)г. (35.3)'-' П Одставляя в эти инварианты выражения (34.6), неп~;, средственной проверкой можно убедиться, что Ег Нг Едг На 7 (Е~ )г (ЕдНд)г, Существование инвариантов электромагнитного по-,::;.'," ля (35.3) накладывает определенные ограничения на воз- ", можности изменения полей при преобразсвавиях Лорен-:.:,,' ца, позволяя установить ряд утверждений, имекнцих абсолютньтй характер, независящий от выбора системы от-.',„ счета. В частности, если в какой-либо точке пространства одной из инерциальных систем отсчета [Е~ = [Н~, то ' и в любои другои инерциальной системе отсчета в этой =; точке в силу условия,7д —— 0 поля Е' и Н' будут удовле- .
творять соотношению [Е'[ = [Н'(, хотя, возможно, они ' будут и изменяться: [Е~ ф [Е'~. ~[ 36[ кОВАРНАнтнАЯ 3Апись УРАВнений мАксВеллА 207 Другим важным частным случаем является случай Взаимно перпендикулярных векторов электрического и магнитного полей. В этом случае если в какой-либо точке пространства в одной из инерциальных систем отсчета Е [. Н, то в силу того, что,7г — — О, и в любой другой инерпиальной системе отсчета в этой точке векторы поля будут либо взаимно перпендикулярными (при Хд = О), либо адин из них обратится в нуль (при Хд ф 0.) В последнем случае Е' = О, Н' ф 0 при,7д ( 0 и Е' ф О, Н' = 0 при ,Хд > О. Поэтому при Хд ф 0 мы можем исклдочить либо электрическое, либо магнитное поле, переходя в одну из указанных систем отсчета.
Если же .7д ф О, Хг ф О, то всегда можно'найти пнерциальную систему отсчета, в которой векторы Е' и Н' будут параллельными. В заключение этого параграфа отметим, что поле излучения в электрс[пинамике занимает привилегированное положение, так как для Всех электромагнитных волн В вакууме выполняются соотношения:,7д —— ,Хг — — О. Это означает, что в лдобой системе отсчета поля Е и Н электромагнитной волны при ее распространении в вакууме должны быть взаимно перпендикулярными и равными друг другу по модулю.
3 36. Ковариаитиая запись уравнений Максвелла Поставим теперь задачу записать уравнения Максвелла в четырехмерном виде, или, как иногда говорят, в ковариантной форме. Уравнения Максвелла (3.19) представлядот собой систему уравнений в частных произвс[дных первого порядка относительно векторов Е и Н. Поэтому и их четырехмерный аналог должен также содер- дА; дА„ й в дх" дх' дА» дА — = — — Г»„, д дх» (36.2) Н =гоФА И,» дг».
дГ.; * + ."+ — ™=0. дх дх' дх» (36.5) 208 спвцилльнля теогия относительности [гл. ~ч,~ жать только. частные производные первого порядка от,' " тензора электромагнитного поля Р;». Но так как систе-", ма уравнений Максвелла содержит две существенно раз-,, ные группы уравнений — однородные и несдноропные, тс':= и четырехмерное обобщение этих групп осушествляетсм, по-разному. Рассмотрим сначала сцнородные уравнения:, 1дН гоФЕ = — — —, сй' (36.1) ' дн~Н =О.
Из этих уравнений, как показано в 3 5, сднозначно следу-.;=.-; ет связь между полями Е и Н и потенциалами ~о и А: 1дА Е=-6 а~ — — —, с д~ ' Сеичас же возникает обратная задача: зная четырех-'! мерное обобщение дА» дА; "'» = дх*' дх" (36.3) соотношений (36.2), необходимо найти четырехмерный . аналог уравнений (36.1). В качестве руководящей идеи '': при решении этой задачи воспользуемся тем обстоятель-;:- ством, что уравнения (36.1) обращаются в тождество при ": подстановке в них соотношений (36.2).
Поэтому нам не-, '., обходимо построить такую комбинацшо частных произ-,. всцных дг';»/дх", которая автоматически обращалась бы, в нуль при подстановке в нее выражения (36.3). Для по- -,, лучения такого соотношения запишем верное равенство::;. ~ Щ ковлрилнтнля злпись урлвнвний млксввллл 209 Так как в классической электродинамике вторые частные производные непрерывны, то переставим их местами. В результате будем иметь: Учтем теперь, что в силу определения (36.3) справедливы равенства: Подставляя эти равенства в правую часть соотношения (36.4), приводя подобные члены и перенося все слагаемые налево, получим: Таким образом, тензорное уравнение (36.5) при подстановке в него соотношений (36.3) удовлетворяется тождественно в силу своей математической конструкции.
Подсчитаем теперь число уравнений в выражении (36.5) и выясним, при каких наборах значений индексов ~, Й и и эти уравнения дают уравнения (36.1). Так как в равенстве (36.5) любой из индексов может принимать четыре значения независимо от других индексов, то одно тензорное уравнение (36.5) оказывается эквивалентным, вообще говоря, 4 = 64 покомпонентным уравнениям. Однако, независимых и нетривиальных среди них всего четыре.
Чтобы в этом убедиться, заметим прежде всего, что выражение, стоящее в левой части уравнения 210 специАльнАИ теоРия относительности [гл. 1х (36.5), является абсолютно антисимметричным, так к оно изменяет знак при перестановке любых двух инде ':.' сов. Поэтому, при совпадении хотя бы двух индексо '- уравнение (36.5) Превращается в тривиальное тождеств' ' О = О. Несложно псдсчитать, что среди всевозмож наборов значений индексов в уравнении (36.5) имеетс ' сорок таких случаев. ' Таким образом, нетривиальные уравнения можно по,".
лучить из уравнения (36.5) только в тех случвях, когда' все три индекса 1, я и и принимают разные значения. Но',. так как эти индексы входят равноправно, то Все их пере1;; становки дают с точностью до знака одно и тоже урав-'':,' нение, Следовательно, из 24 нетривиальных уравнений': независимых только 4.
Эти уравнения удобно классифи-:,, цировать по тому значению индексов, которое не содер-';:.„: жится в индексах уравнения (36.5). Пусть, например, ни"; оаин из индексов этого уравнения не равен нулю. Тогда: с точностью до перестановки индексы г, Й и и могут при-'.;1 нимать значения 1 = 2, Й = 1, и = 3 и уравнение (36.5): дает; дЕз1 дг1з дГзз + + — — О доз дез д 1 Заменяя в этом выражении компоненты тензора Р1у, ком- '. понентами векторов электромагнитного поля с помощью::, соотношения (33.3), получим: йУН = О. ~ 361 кОВАРиАнтнАЯ 3Апись УРАВнений мАксВеллА 211 В силу соотношения (33.3) это равенство принимает вид: дЕ„дЕ, 1 до дг ду с д1 Это уравнение представляет собой проекцию на ась Х векторного уравнения 1дн гоФЕ = — — —.
с дФ (36.6) Несложно убедиться, что выбор значений 1 = О, Й 1, п = 3 и 1 = О, 1с = 1, п = 2 приведет к получению оставшихся проекций уравнения (36.6). Рассмотрим теперь неоднородные уравнения Макс- 1 дЕ 4я. гоФН = — — + — 1, сд1 с Й1уЕ =4хр. (36.7) (36.8) Поскольку в правую часть этих уравнений входят компоненты четырехвектора тока ~' = (ЗВ = ср, Ц, то очевидно, что четыре уравнения (36.7) должны представлять из себя четыре проекции одного четырехвекторного соотношения. Несложно убедиться, что вид этого соотношения, включающего только частные производные первого порядка от тензора Р;1, практически единственнен: Полагвяз= О, 1с =2, и = 3, будем иметь: дГоз доз джазе + — + — = О. дяв д з где а — некоторый постоянный множитель.
Полагая в этом уравнении 1 = О, 1,2, 3, видим, что компоненты уравнения (36.8) совпадают с уравнениями (36.7) при а = — 4х/с. 212 спвциАльнАя теоРия относительности ~гл. 14 Хаким образом, система уравнений Максвелла в ч тырехмерных тензорных обозначениях принимает вид: д~~ь дгА~ дЕ~; + — + — = О дх- д'* дхь дР'" — = — — У. дх с Эти уравнения мы будем использовать при дальнет~-,:,.:.
ших исследованиях, в частности, при построении тензорв энергии-импульса электромагнитного поля и при изуче--:;. нии некоторь1х других вопросов. Найдем теперь уравнение, которому удовлетворяет:: четырехпотенциал А'. Для этого, учитывая определение::,, (36.3) и используя правило псднятия индексов, запишем:~: сз1А РА )ст сз дА А дА~ = У У ~'~~А = ~' — — О "—. д" д' Подставляя это соотношение в последнее из уравнений, (36.9) и учитывал, что компоненты метрики псевдоев-", клидова пространства-времени в декартовых координа- ' тах инерциальной системы отсчета постоянны, получим:; д* д*- + ~ д*-д*» Если теперь воспользоваться калибровочной инвариант- ."! постыл тензора Р';ь, а следовательно, и данного уравне- ', ния и потребовать выполнения условия Лоренца дАА — = О дх" ~ з71 ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТЫ ТО это уравнение существенно упрощается: д'А' 4я .; — Д дх" дх" с раскрывая суммирование в этом уравнении по индексам Й и и, несложно убедиться, что в декартовой системе координат инерциальной системы отсчета частные производные второго порядка образуют даламбертиан: 1 дз1; 4к,; и А* = ~Ь вЂ” — — 1А' = — — 7.
сз дгз с Очевидно, что это уравнение при 1 = О, 1, 2, 3 дает четыре уравнения (7.6) для потенциалов, которые мы использовали ранее. 3 37. Законы преобразования частоты и волнового вектора Полученные нами законы преобразования электромагнитных полей (34.6) при преобразованиях Лоренца позволяют доказать утверждение об инвариантности фазы электромагнитной волны и установить тензорную природу ее частоты и волнового вектора. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: лабораторную К и штрихованную К', движущуюся со скоростью 'Ч относительно лабораторной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
